第06讲 等边三角形的性质与判定-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假课（苏科版）

第06讲等边三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。【基础知识】一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．【考点剖析】一．等边三角形的性质（共5小题）1．（2020秋•濮阳期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（）A．80° B．70° C．45° D．30°2．（2022春•江都区月考）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（）A．8 B．9 C．12 D．153．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（）A． B． C．2 D．4．（2021秋•无锡期末）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为．5．（2021秋•宝应县期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，DE∥BC，DE交AB于点E．（1）判断△ADE的形状，并说明理由．（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．二．等边三角形的判定（共4小题）6．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形7．（2021秋•渑池县期末）下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50° C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形 D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形8．（2017秋•兴化市期中）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．9．（2019秋•鼓楼区校级期中）如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形．三．等边三角形的判定与性质（共3小题）10．（2021秋•淮安区期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝cm．11．（2020秋•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数．（2）求证：DC＝CF．12．（2021春•龙口市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，则△ADE的周长为（）A．5 B．36 C．21 D．152．（2021秋•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（）A．点E在AB的垂直平分线上 B．点E到AB、BC、AC的距离相等 C．点E是AD的中点 D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C3．（2021秋•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）A． B． C． D．4．（2020秋•东台市期中）一边上的中线等于这边的一半，此三角形一定是（）A．等边三角形 B．有一角为钝角的等腰三角形 C．直角三角形 D．顶角是36°的等腰三角形5．（2021春•罗湖区校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④二．填空题（共3小题）6．（2021秋•淅川县期末）如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．7．（2020秋•韩城市期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3，则BC等于．8．（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为．（填序号）三．解答题（共6小题）9．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．10．（2018秋•盱眙县期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．（1）求证：∠C＝∠CDE．（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．11．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度数；（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．12．（2020秋•黄陂区期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．13．（2019秋•桐城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠