第07讲 代数式、数字与图形变化规律-【暑假自学课】新七年级数学暑假课（苏科版）

第07讲代数式、数字与图形变化规律【学习目标】1.理解用字母表示数的意义，会用字母表示数，知道求含有字母式子的值的方法；2.了解代数式的值的概念，会求代数式的值，会利用求代数式的值解决较简单的实际问题。【基础知识】一．代数式代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2等．注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．二．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．三．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．四．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．【考点剖析】一．代数式（共3小题）1．（2021秋•宽城县期末）代数式a2﹣的正确解释是（）A．a的平方与b的倒数的差 B．a与b的倒数的差的平方 C．a的平方与b的差的倒数 D．a与b的差的平方的倒数2．（2021秋•海安市期中）下列各式中，符合代数式书写要求的是（）A．x•5 B．﹣ab C．1x D．4m×n3．（2021秋•高淳区期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式100﹣9.8x的实际意义．二．列代数式（共3小题）4．（2022春•鼓楼区校级月考）某种产品的原料进行价格调整，现有三种方案：（1）第一次提价p%，第二次降价p%；（2）第一次提价2p%，第二次降价p%；（3）第一次提价2p%，第二次降价2p%．其中p是正数，三种方案中哪种方案最后定价最低？（）A．第（1）种 B．第（2）种 C．第（3）种 D．三种方案价格一样5．（2022•邳州市一模）周末小明与同学相约在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的菜单总共为10个汉堡，x杯饮料，y份沙拉，则他们点的B餐份数为（）A．10﹣x B．10﹣y C．x﹣y D．10﹣x﹣y6．（2021秋•泰州期末）下列关于“代数式4x+2y”的意义叙述正确的有（）个．①x的4倍与y的2倍的和是4x+2y；②小明以x米/分钟的速度跑了4分钟，再以y米/分钟的速度步行了2分钟，小明一共走了（4x+2y）米；③苹果每千克x元，橘子每千克y元，买4千克橘子、2千克苹果一共花费（4x+2y）元．A．3 B．2 C．1 D．0三．规律型：数字的变化类（共4小题）7．（2022春•邗江区校级月考）我们将如图所示的两种排列形式的点数分别称作“三角形点数”（如1，3，6，10…）和“正方形点数”（如1，4，9，16，…）．在小于300的点数中，设最大的“三角形点数”为m，最大的“正方形点数”为n，则m+n的值为（）A．589 B．565 C．556 D．5328．（2021秋•江阴市期末）将﹣1，2，﹣2，3按如图的方式排列，规定（m，n）表示第m排左起第n个数，则（5，4）与（21，7）表示的两个数之积是（）A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．69．（2021秋•徐州期末）下列一组数：1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1，2，…其中第2022个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2021秋•句容市期末）观察下列两列数：第一列：2，4，6，8，10，12，……第二列：2，5，8，11，14，17，……通过探究可以发现，第1个相同的数是2，第2相同的数是8，…．则第2022个相同的数在第一列中是第（）个．A．6062 B．6064 C．6066 D．6068四．规律型：图形的变化类（共3小题）11．（2021秋•建湖县期末）如图所示的图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，若要得到604个圆，则为第（）个图形．A．200 B．201 C．202 D．30212．（2021秋•宣化区期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S2＝3，第2个图形中总的点数为S3＝6，依次为S4＝9，S5＝12．以下说法错误的是（）A．S7＝18 B．S11＝30 C．若Sn＝60，则n＝21 D．若Sn+Sn+1＝57，则n＝1113．（2021秋•锦江区校级期末）下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，…，按此规律排列，则第10个图形中小圆的个数为（）A．37 B．40 C．41 D．42【过关检测】一．选择题（共11小题）1．（2019秋•邓州市期末）关于代数式“4a”意义，下列表述错误的是（）A．4个a相乘 B．a的4倍 C．4个a相加 D．4的a倍2．（2019春•秦淮区期末）关于代数式x+1的结果，下列说法一定正确的是（）A．比1大 B．比1小 C．比x大 D．比x小3．（2020秋•莲池区校级期末）下面式子中符合代数式书写要求的是（）A．ab3 B．2xy2 C． D．x+3克4．（2021秋•亭湖区期末）用代数式表示“x的2倍与3的差”为（）A．3﹣2x B．2x﹣3 C．2（x﹣3） D．2（3﹣x）5．（2021秋•崇川区期末）有18m长的木料，要做成一个如图的窗框．如果窗框横档的长度为xm，窗框厚度忽略不计，那么窗户的面积是（）A．x（9﹣x）m2 B．x（9﹣1.5x）m2 C．x（9﹣3x）m2 D．x（18﹣2x）m26．（2021秋•东平县期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，上层黑色正方形的数量是（）A．1009 B．1010 C．1011 D．10127．（2021秋•新吴区期末）由点组成的正方形，每条边上的点数n与总点数s的关系如图所示，则当n＝60时，计算s的值为（）A．220 B．236 C．240 D．2168．（2019秋•无锡期中）下列各式：①1x；②2•3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤；⑥x﹣5千克；其中，不符合代数式书写要求的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个9．（2021秋•滨湖区期末）今年苹果的单价比去年便宜了10%，已知今年苹果的单价是每千克a元，则去年苹果的单价是（）A．10%a B．（1﹣10%）a C． D．10．（2021秋•如东县期末）将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，…．按此规律，若2022是第m行第n个数，则m，n的值分别是（）A．m＝674，n＝1346 B．m＝674，n＝1347 C．m＝675，n＝1348 D．m＝675，n＝134911．（2022•安宁市一模）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，…则1+3+5+7+…+2021＝（）A．10102 B．10112 C．20202 D．20212二．填空题（共4小题）12．（2019秋•溧水区期中）已知一个等边三角形的边长为a，则3a所表示的实际意义是．13．（2022春•鼓楼区校级期中）通过计算发现：22﹣21＝2，23﹣22＝22，24﹣23＝23……，则21+22+23+…+22021﹣22022＝．14．（2022春•鼓楼区期中）如图，在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的长为x，宽为y，阴影部分面积为S，则S＝（用含有x，y的代数式表示）．15．（2022春•盐都区期中）如图①是一块正方形纸板，边长为1，面积记为S1，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为S2，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，④，…，记第n块纸板的面积为Sn，则Sn+1﹣Sn＝．（用含n的代数式表示）三．解答题（共3小题）16．（2022春•丰县月考）观察以下一系列等式：①21﹣20＝2﹣1＝20；②22﹣21＝4﹣2＝21；③23﹣22＝8﹣4＝22；④；…（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：；（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：；（3）请利用上述规律计算：20+21+22+…+21000．17．（2022春•滨海县期中）观察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42……（1）请你根据上面式子的规律直接写出第6个式子：；（2）探索以上式子的规律，试写出第n