高考数学二轮总复习专题能力训练13空间几何体文

专题能力训练13空间几何体能力突破训练1.已知各棱长均为2的直五棱柱的俯视图如图所示(五边形底角为直角),则该五棱柱的侧视图的面积为()俯视图A.8 B.4+23C.6+23 D.8+232.(2022浙江,5)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.22π B.8π C.22π3 D3.(2022江苏苏锡常镇二模)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为23,高为6,则球O的表面积为()A.32π B.48π C.64π D.80π4.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲A.5 B.22 C.10 D.55.某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球O的球面上,则球O的表面积是()A.8π B.123π C.12π D.48π6.(2022广西贵港高级中学三模)《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图,在堑堵ABCA1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则在堑堵ABCA1B1C1中截掉阳马C1ABB1A1后的几何体的外接球的体积与阳马C1ABB1A1的体积的比值为()A.1252π3C.2526π D.7.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,则平面A1EC截该正方体所得截面面积为.

8.已知四棱锥VABCD的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.

9.(2022广西南宁二模)已知圆台的上、下底面半径分别为1,2,母线长为2,AB为下底面的直径,若点C为下底面圆周上的动点,点D为上底面内的动点,则三棱锥CABD的体积的最大值为.

10.已知某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为1,对该几何体有如下描述:①四个侧面都是直角三角形;②最长的侧棱长为26;③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形;④外接球的表面积为24π.其中正确的描述的序号为.

11.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.思维提升训练12.一块边长为6cm的正方形铁皮按如图①所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图②放置.若其正视图为等腰直角三角形,则该容器的体积为()A.126cm3 B.46cm3 C.272cm3 D.92cm313.在三棱锥VABC中,△ABC是等边三角形,顶点V在底面ABC上的投影是底面的中心,侧面VAB⊥侧面VAC,则此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为()A.272π B.C.39π D14.在三棱锥ABCD中,底面为直角三角形,且BC⊥CD,斜边BD上的高为1,三棱锥ABCD的外接球的直径为AB.若该外接球的表面积为16π,则三棱锥ABCD的体积的最大值为.

15.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.

16.如图①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角DACB(如图②),并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.(1)证明:AD⊥平面DBC;(2)若在四面体DABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?答案：能力突破训练1.B解析:由题意及俯视图可知侧视图是长为2+3,宽为2的矩形,所以侧视图的面积为4+23.2.C解析:该几何体的直观图如右图所示.它是由一个半球、一个圆柱和一个圆台组合而成的几何体,故该几何体的体积V=12×4π3×13+π×12×2+13π(12+22+1×2)×23.C解析:由题意可知球心O在圆锥的内部.设球O的半径为R,则R2=(23)2+(6R)2,解得R=4.故球O的表面积S=4πR2=64π.4.C解析:如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π.设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,由S甲S乙=2,可知2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V5.C解析:由三视图还原几何体,如图所示,可知该几何体为直三棱柱,底面为等腰直角三角形,直角边长为2,侧棱长为2.把该三棱柱补形为正方体,则正方体的对角线长为22+22所以该三棱柱外接球的半径为3.故球O的表面积是4π×(3)2=12π.6.B解析:在△ABC中,因为AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,所以在堑堵ABCA1B1C1中,B1C1⊥平面ABB1A1.所以阳马C1ABB1A1的体积为13×3×5×4=20在堑堵ABCA1B1C1中截掉阳马C1ABB1A1后得到三棱锥C1ABC,将堑堵ABCA1B1C1补形为长方体,易知长方体的外接球即为三棱锥C1ABC的外接球.设外接球的半径为R,则R=32所以外接球的体积为4π所以所求比值为12527.26解析:如图,取BB1的中点F,连接CF,A1F,EF,易知面A1ECF为平面A1EC截正方体所得的截面,且截面A1ECF是边长为5的菱形,其对角线EF=22,A1C=23,故截面面积S=12A1C·EF=12×23×22=28.π4解析:如图,O1,O分别为圆柱两个底面圆的圆心,M为VC的中点,连接VO,O1M,OC由题意可知,V,O1,O三点共线,O1M∥OC.由底面边长为2,可得OC=1.则O1M=12OC=1O1O=12VO,VO=VC2-OC2V圆柱=π·O1M2·O1O=π×122×1=π4.9.433解析:依题意,圆台的高为22-(又点D为上底面内的动点,点C为下底面圆周上的动点,所以点D到下底面的距离为3,点C到AB的距离最大为2.所以△ABC的面积最大为12×4×2=4又VCABD=VDABC,所以三棱锥CABD的体积的最大值为13×4×310.①②④解析:由三视图还原原几何体,如图所示,可知该几何体为四棱锥,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD为矩形,AB=2,BC=4,则四个侧面都是直角三角形,故①正确;最长侧棱为PC,长为26,故②正确;由已知可得,PB=22,PC=26,PD=25,则四个侧面均不全等,故③错误;把四棱锥补形为长方体,则其外接球的半径为12PC=6,其表面积为4π×(6)2=24π,故④正确11.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EM⊥AB,垂足为点M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97思维提升训练12.D解析:如图②,△PMN为该四棱锥的正视图,由图①可知,PM+PN=6cm,且PM=PN.由△PMN为等腰直角三角形,得MN=32cm,PM=3cm.设MN的中点为O,则PO⊥平面ABCD,PO=12MN=3故VPABCD=13×(32)2×322=92(cm3)13.C解析:由题意易知VA=VB=VC,且VA,VB,VC两两互相垂直.将三棱锥VABC放在正方体中,如图所示.设正方体的棱长为1,则此三棱锥的体积V1=13×12×1×1×1=16,外接球的半径R=32,外接球的体积V2=4∴此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为V114.43解析:如图,因为三棱锥ABCD的外接球的直径为AB,所以BC⊥AC,BD⊥AD又BC⊥CD,AC∩CD=C,所以BC⊥平面ACD,所以BC⊥AD.又BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.因为外接球的表面积为16π,所以外接球的半径为2,所以AB=4.设AD=x,则BD=16-作CH⊥BD于点H,则CH=1.故三棱锥ABCD的体积V=13×1216-又12BD≥1,AD>0,所以0<x≤23,故当x2=8时,体积V最大,最大值为415.22π解析:∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.设O1是B1C1的中点,连接O1D1,则O1D1=3,易证D1O1⊥平面BCC1B1,设P是球面与侧面BCC1B1交线上任意一点,连接O1P,D1P,则O1D1⊥O1P,∴D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P∴O1P=2.即P在以O1为圆心,以2为半径的圆上.分别取BB1,CC1的中点E,F,连接O1E,O1F,EF,D1E,D1F,则B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,∴O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,∴∠EO1F=90°,∴交线EPF=14×22×π=16.(1)证明:设D在平面ABC内的投影为H,则H在AB上,连接DH,如图,则DH⊥平面ABC,得DH⊥BC.又AB⊥BC,AB∩DH=H,所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC.又AD⊥DC,DC∩BC=C,所以AD⊥平面DBC.(2)解:当球的体积最大时,易知球与三