2025届高中数学二轮复习 微专题10　导数与三角函数问题（课件）

板块一函数与导数微专题10导数与三角函数问题高考定位导数与三角函数的交汇问题是高考命题的热点问题，一般以解答题的形式出现，由于三角函数无论怎么求导仍是三角函数，所以此类问题难度较大.【

难点突破

】高考真题(2)若f(x)＋sinx<0，求a的取值范围.样题1样题2当a>1时，h′(x)>0，g′(x)单调递增，且g′(0)＝1－a<0，g′(1)＝e＋sin1>0，所以存在x0∈(0，1)使得g′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)<g(0)＝0，不合题意；当a＝1时，h′(x)>0，g′(x)单调递增，且g′(0)＝0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)>g(0)＝0，符合题意；

样题3(2)若对任意x∈[0，＋∞)，不等式g(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.g(x)＝sinx－xcosx－ax3，则g′(x)＝x(sinx－3ax)，令h(x)＝sinx－3ax，x∈[0，＋∞)，则h′(x)＝cosx－3a，导数与三角函数问题的解法(1)利用三角函数的有界性：在含参数的问题中，往往需要分类讨论，若能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解.(2)利用三角函数的周期性：涉及零点问题时，可根据三角函数的周期性分段来研究.规律方法已知f(x)＝axlnx＋x2，若0<a≤1，求证：f(x)<ex－sinx＋1.训练不等式f(x)<ex－sinx＋1，即axlnx＋x2<ex－sinx＋1(x>0)，先证当x>0时，sinx<x.令h(x)＝x－sinx，则h′(x)＝1－cosx≥0，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以h(x)>h(0)＝0，则x>sinx.所以ex－x＋1<ex－sinx＋1，故若axlnx＋x2<ex－x＋1成立，则原不等式成立.【精准强化练】1.(2024·大连模拟)已知f(x)＝sin2x＋2cosx.(1)求f(x)在x＝0处的切线方程；由于f(x)＝sin2x＋2cosx，f′(x)＝2cos2x－2sinx，得f′(0)＝2，f(0)＝2，所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝2(x－0)，即y＝2x＋2.(2)求f(x)的单调递减区间.由于f′(x)＝2cos2x－2sinx，得f′(x)＝2(1－2sin2

x)－2sinx＝－2(2sin2x＋sinx－1)，若f′(x)≤0，则－2(2sin2

x＋sinx－1)≤0，即－2(2sinx－1)(sinx＋1)≤0，由于－1≤sinx≤1，则sinx＋1≥0，

2.已知函数f(x)＝exsinx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

由已知f(0)＝0，∵f′(x)＝exsinx＋excosx－1，∴f′(0)＝0，∴y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝0.法一设m(x)＝ex－2x(x>0)，则m′(x)＝ex－2，令m′(x)＝ex－2＝0可得x＝ln2.当x∈(0，ln2)时，m′(x)<0，函数m(x)单调递减；当x∈(ln2，＋∞)时，m′(x)>0，函数m(x)单调递增.∴m(x)≥m(ln2)＝2－2ln2>0.∴ex>2x(x>0).法二令g(x)＝ex(sinx＋cosx)－1，3.(2024·郑州质检)已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，x∈[－π，π].(1)求f(x)的单调区间与最值；法一设F(x)＝xsinx＋cosx－a(x2＋1)，x∈[0，π]，则F′(x)＝xcosx－2ax＝x(cosx－2a)，显然当a≤1时，取x0＝0，有f(0)＝1≥a(02＋1)＝a，满足题意；当a>1时，F′(x)≤0，F(x)在[0，π]上单调递减，F(x)max＝F(0)＝1－a<0，不满足题意.综上，a的取值范围为(－∞，1].设h(x)＝(x2－1)cosx－2xsinx，x∈[0，π]，则h′(x)＝－(x2＋1)sinx≤0，所以h(x)在[0，π]上单调递减，当x∈[0，π]时，h(x)≤h(0)＝－1<0，g′(x)<0.所以g(x)在[0，π]上单调递减，当x∈[0，π]时，g(x)max＝g(0)＝1，所以a≤1.综上，a的取值范围为(－∞，1].设h(x)＝x2＋1－(xsinx＋cosx)，x∈[0，π]，则h′(x)＝2x－xcosx＝x(2－cosx)≥0，则h(x)在[0，π]上单调递增，h(x)≥h(0)＝0，即x2＋1≥xsinx＋cosx.(2)若n＝1，判断f(x)零点个数，并说明理由；n＝1时，f(x)＝x3－xcosx，令f(x)＝x3－xcosx＝0，所以x＝0或x2＝cosx.令g(x)＝x2－cosx，所以g′(x)＝2x＋sinx，因为g(－x)＝x2－cosx＝g(x)，所以g(x)是偶函数.不妨研究x≥0时g(x)单调性.当x∈[0，π]时，g′(x)＝2x＋sinx≥0，所以g(x)单调递增，因为