湖南省长沙市明德教育集团2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

湖南省长沙市明德教育集团2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是正确答案，请在答题卡中填涂符合题1．下列实数中，为有理数的是（）A．34 B．π C．8 2．下列立体图形中，主视图是圆的是（）A． B．C． D．3．近期感染肺炎支原体学生骤增，引发了人们的关注和担心．据了解，支原体没有细胞壁，只有细胞膜，所以支原体的形态可以随机变化，是目前发现的能在无生命培养基中生长繁殖的最小最简单的细胞，直径约为0.0000001m．把0.0000001可以用科学记数法表示为（）A．1×10﹣7 B．1×10﹣9 C．10×10﹣8 D．100×10﹣64．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a6÷a3＝a2C．（﹣a4）3＝﹣a12 D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．2023年12月6日，第十九届中国中学生篮球锦标赛落下帷幕．长沙市明德中学男子篮球队夺得第十九届CSBA男子组全国总冠军!在“无体育不明德，无运动不青春”理念下，某校组织了篮球兴趣小组，共40名学生进行定期训练，他们的年龄分布如下表：他们年龄的中位数是（）年龄/岁15161718人数718123A．15 B．16 C．17 D．186．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．7．我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问人和车的数量各是多少？”若设有x个人，则可列方程是（）A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9C．x3+2=x-92 8．如图，AB∥CD，∠A＝125°，∠CED＝60°，则∠D的度数为（）A．45° B．60° C．65° D．75°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC⊥弦BD，若∠CBD＝30°，则∠A的大小为（）A．30° B．60° C．65° D．70°10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（）A．abc＜0 B．b2﹣4ac＝0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：a2﹣4a＝．12．已知函数y=13-x，则自变量x的取值范围是13．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+8＝0有两个相等的实数根，则k的值是．14．如图，在▱ABCD中，F是边AB的中点，连接DF交AC于点E．若CE＝4，则AC的长是．15．如图点A（x，y）在反比例函数y=kx的图象上，且四边形ABCD为平行四边形，S▱ABCD＝4，则k＝16．如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），则A'的坐标为．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23每小题6分，第24、25每小题6分，共72分）17．计算：-118．先化简，后求值：6-2xx+2÷(519．如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝131厘米，真空集热管AB的斜面坡度为1：3，另一根辅助支架DE＝70厘米，∠CED（参考数据：sin57°≈0.8，cos57°≈0.6）（1）求垂直支架CE的长度．（2）求水箱半径的长度．20．安全无小事，长沙市教育局要求各中小学校在期末考试后进行寒假安全教育．某校在典礼上开展了休学典礼——学生安全知识竞赛，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于50分．为了了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分为100分）作为样本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题：成绩（分）频数频率50＜x≤6010a60＜x≤70200.1070＜x≤80300.1580＜x≤90b0.3090＜x≤100800.40（1）频数分布表中a＝，请补全频数分布直方图；（2）若该校共有学生3200人，分数为60＜x≤90分的记为良好，请你估计该校安全知识竞赛良好的学生人数；（3）该校安全知识竞赛成绩满分共有4人，其中男生2名，女生2名，为了激励学生增强安全意识，现需要从这4人中随机抽取2人介绍学习经验，请用“列表法”或“画树状图”，求恰好选到一男一女的概率．21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接AE交OD于点F，连接CE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为12，∠ABC＝60°，求△ADE的面积．22．已知甲种玩具的售价为每个16元，乙种玩具的售价为每个13元．若超市购进甲种玩具10个和乙种玩具4个需要110元，购进甲种玩具7个和乙种玩具8个需要103元．（1）求甲、乙两种玩具的进价；（2）该超市决定每天购进甲、乙两种玩具共100个，且投入资金不少于660元又不多于688元，设购买甲种玩具m个，求有几种购买方案？哪种方案下超市获得的利润最大？最大利润为多少？23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD=43，求AD和CE24．定义：对于两个关于x的函数，如果存在x取某一值时，两个函数的函数值相等，那么称两个函数互为“明盟函数”，其中x的值叫做这两个函数的“明盟点”，相等的函数值叫做“明盟值”．例如：对于函数y1＝2x与y2＝﹣x+3，当x＝1时，y1＝y2＝2，因此，y1、y2互为“明盟函数”，x＝1是这两个函数的“明盟点”，“明盟值”为2．（1）下列函数中是y＝﹣2x的“明盟函数”的有（填序号）；①y＝x﹣2；②y=1x；③y＝x（2）已知函数y1＝m（x+2）﹣3与函数y2=x-3(x≥3)3-x(x＜3)，若y1与y2只存在一个“明盟点”，求（3）若无论n取何值，y=3x-n(n+1n+2w)(w为常数）与函数y＝x2﹣（2n﹣3）x+4n﹣1（n为常数，﹣1＜n25．如图，⊙O为△ABC的外接圆，点B为ABC的中点，点M为AC上一点，连接AM，且∠AMB＝60°，连接BM交AC于D点，过M点作⊙O的切线交AC延长线于E点．（1）判断△ABC的形状；（2）求证：EM＝ED；（3）已知⊙O的半径为r，且BC平分∠EBM；①求AM•BE；②1CD-1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】A、∵34是无理数，不是有理数，∴A不符合题意；

B、∵π是无理数，不是有理数，∴B不符合题意；

C、∵8是无理数，不是有理数，∴C不符合题意；

D、∵1是有理数，∴D符合题意；

故答案为：D.

2．【答案】D【解析】【解答】A、主视图是三角形，A不符合题意；

B、主视图是长方形，B不符合题意；

C、主视图是梯形，C不符合题意；

D、主视图是圆，D符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用三视图的定义逐项判断即可。3．【答案】A【解析】【解答】0.0000001=1×10-7，

故答案为：A.

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．4．【答案】C【解析】【解答】A、∵a2和a3不是同类项，∴A不正确，不符合题意；

B、∵a6÷a3=a3，∴B不正确，不符合题意；

C、∵（-a4）3=-a12，∴C正确，符合题意；

D、∵（a-b）2=a2-2ab+b2，∴D不正确，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用合并同类项的计算方法、同底数幂的除法、幂的乘方和完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】∵共40名学生进行定期训练，

∴中位数是第20位和21位同学年龄的平均数，

∵第20位同学的年龄是16岁，第21位同学的年龄是16岁，

∴他们年龄的中位数是（16+16）÷2=16岁，

故答案为：B.

【分析】利用中位数定义及计算方法分析求解即可.6．【答案】A【解析】【解答】A、∵该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，∴A符合题意；

B、∵该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B不符合题意；

C、∵该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，∴C不符合题意；

D、∵该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可。7．【答案】C【解析】【解答】设有x个人，

根据题意可得：x3+2=x-92，

故答案为：C。8．【答案】C【解析】【解答】∵AB//CD，∠A=125°，

∴∠C=180°-∠A=180°-125°=55°，

∵∠CED=60°，

∴∠D=180°-∠CED-∠C=180°-60°-55°=65°，

故答案为：C.

【分析】利用平行线的性质可得∠C=180°-∠A=180°-125°=55°，再利用三角形内角和公式求出∠D的度数即可.9．【答案】B【解析】【解答】∵OC⊥BD，OC是⊙O的半径，

∴BC=DC，

∴∠CBD=∠CDB=30°，

在△BCD中，∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=120°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，

故答案为：B.

【分析】先利用垂径定理可得∠CBD=∠CDB=30°，再利用三角形内角和求出∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=120°，最后利用圆内接四边形的性质可得∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，从而得解.10．【答案】D【解析】【解答】A、根据函数图象可得：a>0，b<0，c<0，∴abc>0，∴A不正确，不符合题意；

B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac>0，∴B不正确，不符合题意；

C、∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），∴a-b+c=0，∴C不正确，不符合题意；

D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），且对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∵抛物线开口向上，∴当x=2时，函数值小于零，∴4a+2b+c<0，∴D正确，符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。11．【答案】a（a﹣4）【解析】【解答】a2﹣4a＝a（a﹣4），

故答案为：a（a﹣4）.

【分析】利用提取公因式a，再因式分解即可.12．【答案】x＜3【解析】【解答】根据题意可得：3-x≠03-x≥0，

解得：x<3，

故答案为：x<3.

13．【答案】±8【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程2x2﹣kx+8＝0有两个相等的实数根，

∴△=0，即（-k）2-4×2×8=0，

解得：k=±8，

故答案为：±8.

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程△=0，即（-k）2-4×2×8=0，再求解即可.14．【答案】6【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AB=CD，

∴△AFE∽△CDE，

∴AFCD=AECE，

∵F是边AB的中点，

∴AF=12AB=12CD，

∵CE=4，

∴12CDCD=AE4，

解得：AE=2，

15．【答案】4【解析】【解答】过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，如图所示：

∵四边形ABCD为平行四边形，S▱ABCD＝4，

∴CD×AE=AB×AE=xy=k=4，

∵反比例函数的图象在第一象限，

∴k=4，

故答案为：4.

【分析】利用反比例函数k的几何意义可得CD×AE=AB×AE=xy=k=4，从而得解.16．【答案】（2.5，﹣3）【解析】【解答】∵△A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），

∴点A'的坐标为（-5×-12，6×-12），即（2.5，-3），17．【答案】解：原式＝﹣1+1﹣23+＝3﹣23．【解析】【分析】先利用有理数的乘方、0指数幂、二次根式的性质及绝对值的性质化简，再计算即可.18．【答案】解：6-2x=2(3-x)x+2÷===2(3-x)x+2=2当x＝﹣4时，原式=2【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得23+x19．【答案】（1）解：在Rt△DCE中，DE＝70厘米，∠CED＝57°，∵cos∠CED=CE∴CE＝DE•cos∠CED≈70×0.6＝42（厘米），答：支架CE的长度约为42厘米；（2）解：设水箱半径的长度为x厘米，在Rt△DCE中，DE＝70厘米，∠CED＝57°，∵sin∠CED=CD∴CD＝DE•sin∠CED≈70×0.8＝56（厘米），∵斜面AB坡度为1：3，∴tanA=1∴∠A＝30°，∵sinA=OC∴56+x131+x解得：x＝19，经检验，x＝19是原方程的根，答：水箱半径的长度约为19厘米．【解析】【分析】（1）根据cos∠CED=CEDE，再将数据代入求出CE的长即可；

（2）设水箱半径的长度为x厘米，先利用解直角三角形的方法求出CD的长，再求出∠A＝30°，结合sinA=OC20．【答案】（1）0.05；补全频数分布直方图，如下：（2）解：3200×（0.10+0.15+0.30）＝1760（人），答：估计该校安全知识竞赛良好的学生人数为1760人；（3）解：画树状图如下：所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，∴恰好选到一男一女的概率=8【解析】【解答】（1）根据题意可得：a=1-0.10-0.15-0.30-0.40=0.05，

b=200×0.30=60；

频数分布直方图如图所示：

故答案为：0.05.

【分析】（1）利用频数和频率的统计表中的数据列出算式求解即可；

（2）先求出“良好”的频率之和，再乘以3200可得答案；

（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。21．【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC=1∵DE∥AC且DE=1∴DE＝OA＝OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形；（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝12，∴OA＝OC＝6，∴在矩形OCED中，CE＝OD=AD2∴S△ADE＝S△AOD+S矩形OCED﹣S△ACE=12×=12×6×63+＝183．【解析】【分析】（1）先证出四边形OCED都是平行四边形，再结合AC⊥BD，即可证出四边形OCED是矩形；

（2）先利用勾股定理求出CE的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出△ADE的面积即可.22．【答案】（1）解：设甲种玩具的进价为x元/个，乙种玩具的进价为y元/个，依题意得：10x+4y=1107x+8y=103解得：x=9y=5答：甲种玩具的进价为9元/个，乙种玩具的进价为5元/个；（2）解：设购买甲种玩具m个，则购买乙种玩具（100﹣m）个，超市获得的利润为w元，∵超市投入资金不少于660元又不多于688元，∴9m+5(100-m)≥6609m+5(100-m)≤688解得40≤m≤47，∵m为正整数，∴超市有8种购买方案；根据题意得：w＝（16﹣9）m+（13﹣5）（100﹣m）＝﹣m+800，∵﹣1＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝40时，w有最大值，最大值为760，此时100﹣40＝60（个），∴超市购买40个甲种玩具和60个乙种玩具获得的利润最大，最大利润为760元．【解析】【分析】（1）设甲种玩具的进价为x元/个，乙种玩具的进价为y元/个，根据“超市购进甲种玩具10个和乙种玩具4个需要110元，购进甲种玩具7个和乙种玩具8个需要103元”列出方程组10x+4y=1107x+8y=103，再求解即可；

23．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠OBD，∴∠EBD＝∠ODB，∵DE⊥BC，∴∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝4，BD=43∴AB=A∴AD=1∴∠ABD＝30°，∴∠BDO＝∠ABD＝∠DBC＝30°，∠A＝60°，∴∠BDC＝30°，∠AOD＝60°，∴AD的长为60⋅π×4180∴CD＝BC，∵∠E＝90°，∴DE=1∴BE=B∵∠DCE＝∠CDB+∠CBD＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CE=1∴CE=1【解析】【分析】（1）连接OD，先利用角的运算和等量代换可得∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，即DE⊥OD，再结合OD是⊙O的半径，即可证出DE是⊙O的切线；

（2）先求出∠BDC＝30°，∠AOD＝60°，再利用弧长公式求出AD，再利用勾股定理求出BE的长，再结合∠CDE＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得CE=124．【答案】（1）①③（2）解：当直线y1＝m（x+2）﹣3与y＝x﹣3平行时，y1与y2只存在一个交点，此时m＝1，∴m≥1时，y1与y2只存在一个“明盟点”；当y1＝m（x+2）﹣3经过点（3，0）时，m=35，此时y1与y当直线y1＝m（x+2）﹣3与y＝3﹣x平行时，y1与y2不存在交点，此时m＝﹣1，∴m＜﹣1时，y1与y2只存在一个交点；综上所述：m≥1或m=35或m＜﹣1时，y1与y（3）解：由题可得3x﹣n（n+1n+整理得，x2﹣2nx+4n+2nw+n2＝0，∵只有一个“明盟点”，∴Δ＝0，即16n+8nw＝0，∵无论n取何值都成立，∴w＝﹣2，当w＝﹣2时，x2﹣2nx+n2＝0，解得x＝n，y＝﹣n2+7n﹣1＝﹣（n-72）2∴y≤45【解析】【解答】解：（1）∵-2x=x-2，解得：x=23，

∴y=x-2是y=-2x的“明盟函数”；

∵1x=-2x，x无解，

∴y=1x不是y=-2x的“明盟函数”；

∵x2+1=-2x，解得：x=-1，

∴y＝x2+1是y=-2x的“明盟函数”；

综上，①③符合题意，

故答案为：①③.

【分析】（1）利用“明盟函数”的定义逐项分析判断即可；

（2）分类讨论：再利用“明盟函数”的定义及y1与y2只存在一个“明盟点”分别求解即可；

（3）先根据题意列出方程并整理可得x2﹣2nx+4n+2nw