2024-2025学年上海市徐汇区高三上学期学习能力诊断数学检测试卷（附答案）

2024-2025学年上海市徐汇区高三上学期学习能力诊断数学检测试卷填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.不等式的解集为.2.已知函数，其中，则.3.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为.4.已知向量，，若，则实数的值为.5.设，.若函数是定义在上的奇函数，则.6.已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，，则是的条件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）7.某景点对天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的第百分位数是.已知复数和复数满足（为虚数单位），则________.设，，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________.10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为________.11.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为和，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等．若上面圆台的高为，则该花盆上、下两部分母线长的总和为__________．

12.已知定义域为的函数的值域也是,所有这样的函数形成全集.设非空集合且中的每一个函数都是中的两个函数(可以相同)的复合函数,则集合的元素个数的最小值为__________.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列抛物线中，焦点坐标为的是（）A.B.C. D.14.一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（）A.个B.个C.个 D.个15.已知函数与它的导函数的定义域均为.若函数是偶函数且在上是严格增函数，则下列各表中，可能成为取值的是（）A.12.818821.000030.364440.2468B.10.758021.000031.318841.7979C.12.413221.000031.588544.1116D.10.866421.000031.118841.224016.已知数列的前项和为，设（为正整数）.若存在常数，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（）

A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有.（1）求实数的值；（2）设，当时，，求的值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，，，.为棱的中点，异面直线与所成角的大小为．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）某企业招聘员工，指定“英语听说”、“信息技术”、“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案.方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过.假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是（），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（1）分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率；（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于，两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，求证：；（3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图像上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”.（1）若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由；（2）设的图像在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：；（3）已知，若函数的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值.高三数学答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．2.03.54.5.16.充要7.518.9.10.11.12.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.C14.B15.B16.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由的最小正周期为可知：（2）由（1）可得：.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1），，为棱的中点，且，四边形是平行四边形.，又不在平面上，由线面平行的判定定理知，平面.（2）即，

且异面直线与所成的角为，即，

又，平面，平面．又，由三垂线定理，.

因此是二面角的平面角，．．

不妨设，则.

以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，则，

设平面的一个法向量为，

则可得：

令，则.

设直线与平面所成角为，

则.法二：过作，交的延长线于，连接.由（1）知：，，，即，又，平面，平面．平面，，又是在平面上的射影，由三垂线定理知，，又，平面．再过作，交于，平面，平面，，又，平面，即为直线与平面的所成角.，平面．由三垂线定理，.

因此是二面角的平面角，．设，则，，四边形为正方形，.，，，直线与平面所成角的正弦值为.19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，则.（1）应聘者选方案一考试通过的概率

.应聘者选方案二考试通过的概率

.（2）因为,所以

故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，

所以设双曲线方程为，又双曲线过点，

则，所以双曲线的方程为，即.

（2）由（1）可知，的斜率存在且不为0，设的方程为，联立，消去得，设，由题意得，则，所以所以，得证．

（3），恒成立，，所以圆心到的距离，半径，设所对圆心角为，则，，所以，即所对圆心角的大小为定值.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1），是函数的“..............................，，不是函数的“类数”.（2）因为函数的“类集”为集合，且，

所以存在，使得且，

若，则，所以，

因为函数的图像是连续不断的，

不妨设，由零点存在定理知，必存在使得，