2024-2025学年广东省茂名市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省茂名市高三上学期12月月考数学检测试题注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合M={x2−2x<0}，N={x|x≤1}，则M∩N=A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(0,1]2.下列函数图象是一个函数与其导函数在同一个坐标系中的图象，其中一定错误的是（）A． B． C． D．3.已知cosθ=23，则cos(θ−A.7215 B.−7215 4.“x>2”是“2x−42A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=x+4x，g(x)=2x+a，若∃x1∈[2,3]，∀A.(−∞,−113] B.(−∞,0] C.(−∞,6.已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=1，A.341 B.340 C.61 D.607.若函数fx的定义域为R，其图象关于点2,2成中心对称，且f(x+1)是偶函数，则f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=(

)A.2023 B.−2023 C.4048 D.−40488.一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件A={2,4,6,8}，事件B={5,6,7,8}，若事件C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，P(BC)≠P(B)P(C)，则满足条件的事件C的个数为(

)A.4 B.8 C.16 D.24二、多选题：本题共3小题，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.复数z=3i−2i2的虚部为−2

B.方程x2−4x+5=0的复数根为2±i

C.若z=(1+i)210.已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)，且AP=xAB+yACA.x+2y=1 B.xy的最大值为19

C.x2+y2的最小值为111.已知函数f(x)=ex−x，g(x)=x−lnA.g(ex)在(0,+∞)上单调递增

B.∀x>1，不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立，则正实数a的最小值为2e

C.若f(x)=t有两个零点x1，x2，则x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x2−2ax+5,x≤1ax,x>1是13.设f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，并且f(x)−g(x)=x2−x，则f(x)14.已知平面向量a，b，c满足a=1，b=2，a,b=π3，且(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间(单位：分钟)，整理得到频率分布直方图，如图所示．

(1)求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数；

(2)从所抽查的每天体育锻炼时间在[10,20)，[60,70)内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选216.(本小题15分)

如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinBc(1)求A;(2)若BC=3BD，AB⋅AD=0，|AD|=2，将△ABC沿AD折成直二角17.(本小题15分)已知函数f(x)=x3+ax(a∈R)(1)求a的值;(2)若过点(3,m)可作曲线y=f(x)的三条不同的切线，求实数m的取值范围．18.(本小题17分)在数列{an}中，a1=1，∀k∈N∗都有a(1)求a2，a3，a(2)求数列{an(3)是否存在x，使得∀k∈N∗，a2k+x，a2k+1+x，a2k+2+x19.(本小题17分)已知实数集X={x1,x2,⋯,xn}，定义：X⊗X={(1)若X={1,2,3,6}，请直接给出X⊗X和|X⊗X|;(2)若x1，x2，⋯，xn均为正数，且|X⊗X|=300，求(3)若|X|=11，求证：|X⊗X|≥17．答案和解析1.【正确答案】D

M={x|0<x<2}；∴M∩N=(0,1]．2.【正确答案】C

对于A，由图得，开口向下，且对称轴大于0，故对应的一次函数为减函数，且与轴的交点在轴的上方，即A符合；对于B，原函数的图象是先增，后减再增，对应的导函数的函数值应先正后负再正，故B符合．对于C，不论把哪条曲线对应的函数当成是原函数，均于函数的单调性与其导函数的正负之间的关系相矛盾，故C不符合；

对于D，因为原函数的图象是先减后增，故其导函数的图象是先负后正，即D符合要求．

3.【正确答案】D

由cosθ=23，得sin2θ=1−cos2θ=4.【正确答案】C

设t=2x>0，则不等式2x−42x>3化为t2−3t−4>0，解得t>4或t<−1(5.【正确答案】A

因为f(x)=x+4x在[2,3]上单调递增，故f(x)max=f(3)=133，

因为g(x)=2x+a在[2,3]上单调递增，所以g(x)max=g(2)=8+a，若∃x1∈[2,3]，∀x2∈[2,3]，使得f(x1)⩾g(x2)，则f(x1)max⩾g(x2)max，即133≥8+a，所以a≤−113．

6.【正确答案】A

因为an=an−1+2an−2(n≥3)，所以an7.【正确答案】C

由fx+1是偶函数知，fx的图象关于直线x=1对称，f2−x=fx①，又fx的图象关于2,2中心对称，所以f4−x=−fx+4②则f(2)=2，f(1)+f(3)=4，f(4)=f(0)=f(2)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，则f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=2+505×8+6=4048．8.【正确答案】C

由题意可得，P(A)=P(B)=12，因为A∩B={6,8}，若A∩B∩C={6,8}，则P(ABC)=14，此时由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)可得，P(C)=1，即C={1,2,3,4,5,6,7,8}，此时P(BC)=P(B)，与题意不符，所以A∩B∩C≠{6,8}，若A∩B∩C={6}，则C中元素不含8，且P(ABC)=18=P(A)P(B)P(C)=14P(C)，即P(C)=12，C中有4个元素，又因为P(B)P(C)=14=28，则B∩C的元素不能是2个，所以C中元素要么只含6或含5，6，7，

含6时，有C43=4种，含5，6，7时，9.【正确答案】BD

对于A，z=3i−2i2=2+3i，虚部为3，A错误；对于B，x2−4x+5=0，则(x−2)2=−1，解得x=2±i，故B正确；对于C，z=(1+i)2=2i，则z−=−2i，复平面内z10.【正确答案】ACD

因为AP=xAB+yAC，所以AP=xAB+2yAD，

又B，P，D三点共线，所以x+2y=1，选项A正确；且x，y>0，1=x+2y≥22xy，当且仅当x=１2，y=１4时，等号成立，∴xy≤18，当且仅当x=１２，y=１４11.【正确答案】ABD

f(x)=ex−x，则f′x=ex−1，可知函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，对于A，g(ex)=ex−x=fx，由fx在x∈0,+∞上单调递增，可知g(ex)在(0,+∞)上单调递增，所以A正确；对于B，当x>1时，lnx2>0，

又a为正实数，所以ax>0，则不等式f(ax)⩾f(lnx2)即为ax⩾lnx2，即a⩾2ln xx对∀x>1恒成立，令φ(x)=2lnxx，知φ′(x)=2−2lnxx2，所以φ(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以φ(x)max=φ(e)=2e，则a⩾2e，所以B正确；对于C，fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，f(x)min=f(0)=1，所以t>1，不妨设x1<x2，则有x1<0<x2，

令F(x)=f(x)−f(−x)，x∈(−∞,0)，则F′(x)=f′(x)+f′(−x)=ex+e−x−2>0，

即F(x)12.【正确答案】[1,2]

根据题意，函数f(x)=x2−2ax+5,x≤1ax,x>1是R上的减函数，

则a≥1a>013.【正确答案】f(x)=−x

f(x)−g(x)=x2−x

①，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以，f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=x2+x

②．由14.【正确答案】3+52

解：设OA=a，OB=b，OC=c，因为|a|=1，b=2，a,b=π3，

由(c−a)·(c−b)=0可得，CA⊥CB，即C点在以AB为直径的圆上，b⋅c=bccos<b,c>=2ccos<b,c>，设D为AB的中点，可作下图：

当CD//OB，C位于上图位置时，15.【正确答案】解：(1)根据题意可得(a+a+0.03+0.03+0.015+0.01+a)×10=1，∴a=0.005，∴估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为：

15×0.05+25×0.05+35×0.3+45×0.3+55×0.15+65×0.1+75×0.05=44.5；.....5分

(2)∵每天体育锻炼时间在[10,20)，[60,70)内的学生人数比为0.005：0.01=1：2，...6分

∴所抽查的每天体育锻炼时间在[10,20)，[60,70)内的学生中，用分层抽样选取的6人分别为：

[10,20)内选2人，设其为a，b；[60,70)内选4人，设其为1，2，3，4，.....8分

再从这6人中任选2人所得样本空间为：Ω={(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共15个样本点，.10分

设A=“所选2人不在同一组“，.....11分

A={(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)}，含8个样本点，..12分∴P(A)=815【正确答案】解：(1)∵sinA+sinBc=sinB+sinCa−b由正弦定理得a+bc=b+ca−b，.....1分

化简得b2+c2−a2=−bc，....2分

由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=−12，故A.....=2π3;4分

(2)设BD=x，CD=2x，在△ACD中，由CDsin∠DAC=ADsinC得2xsinπ6=2sinC，.....6分

解得sinC=12x ①，....7分

在△ABD中，sinB=ADBD=2x=sin(π3−C) ②，.....8分

由 ①、 ②得sinB=277，x=7，∴BD=7，CD=27，从而AB=3，.....9分

∵二面角B′−AD−C为直二面角，【正确答案】解：f(x)=x3+ax(a∈R)，则f′(x)=3x2+a，.....1分

由题意可得f′(1)=3+a=0，即a=−3，.....2分

故f(x)=x3−3x，f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，

故f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

故f(x)在x=1处取得极小值，在x=−1处取得极大值，符合题意，.....4分

故a=−3．.....5分设切点坐标为(x0,y0)，(x0≠3)则f′(x0)=y0−mx0−3=x03−3令g(x)=2x3−9x2+9+m，故g′(x)=6x(x−3)，.....10分

则g(x)有3个不同的零点．

当x∈(−∞,0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增;.....11分

当x∈(0,3)时，g′(x)<0，g(x)单调递减;.....12分

当x∈(3,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，.....13分

g(x)有3个零点，等价于g(0)>0,g(3)<0,，解得−9<m<18，.....14分

故18.【正确答案】解：(1)由题意，a1，a2，a3成等差数列，公差为2；

a3，a4，a5成等差数列，公差为4，

则a2=a1+2=3，a3=a2+2=5，.....1分

a4=a3+4=9，a5=a4+4=13；....2分

(2)由题意，a2k+1−a2k−1=4k，

当n=2k−1，k≥2时，an=a2k−1.....4分

=a1+(a3−a1)+(a5−a3)+⋯+(a2k−1−a2k−3)

=1+4+8+⋯+4(k−1)=1+[4+4(k−1)](k−1)2

=2k2−2k+1=(2k−1)2+12=n2+12，.....6分

且a1=1满足上式，.....7分

所以当n为奇数时，an=n2+12，.....8分

当n=2k19.【正确答案】解：(1)X⊗X={1,2,3,4,6,9,12,18,36}，|X⊗X|=9．.....3分

(2)一方面，积xi⋅xi有n个，

另一方面，积xi⋅xj(xi≠xj)