山东省九市联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题(含详解)

山东省九市联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题（青岛版）（总分120分考试时间120分钟）2024.12注意事项：1．答卷前务必将你的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡上的相应位置。2．本试题不分Ⅰ、Ⅱ卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题。3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围。一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．二次函数的顶点坐标是（）A． B． C． D．2．若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20253．化学实验中常使用的酒精是由纯度为的乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度与酒精的质量的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，已知酒精的浓度，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（）．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．某校九年级在复习四边形时，该校老师为了考查本校学生的灵活应用能力，给出下面的规定：对于一个矩形，如果存在一个新矩形，新矩形的面积和周长分别是已知矩形面积和周长的4倍，则称这个新矩形是原矩形的“伴手矩形”．当已知矩形的长和宽分别为4cm和2cm时，设其“伴手矩形”的一边长为，则根据题意列出的方程是（）A． B．C． D．5．如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为米，则铅垂高度约为（）米．A． B． C． D．6．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，如图，已知点为第一象限内单位圆上的点，则等于（）A． B． C． D．7．如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（）A． B． C． D．8．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得两点的俯角分别为和，这时点相对于点升高了．该摆绳的长度为（）．A． B． C． D．9．如图1所示，石磙是古代劳动人民的一种碾压工具，其截面如图2所示，已知，则石磙横截面圆的半径长是（）A．4 B．5 C．6 D．810．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．已知：，则锐角的度数为______．12．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则______．13．已知点都在反比例函数的图象上．如果，且，则的大小关系是______．14．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，当电流为时，变阻器消耗的电功率为______．15．中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具－－土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为______尺．16．如图所示，是的弦，是的直径，且，则阴影部分图形的面积为______．三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤．17．（本题每小题5分，共10分）（1）解一元二次方程：．（2）如图所示，某市有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，为了便于行走，市城建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，试求的长度约为多少米？（保留一位小数，参考数据：）18．（本小题满分9分）如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强是“木海马”底面面积的反比例函数，其图象如图．（1）请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）；（2）当“木海马”底面面积为时，压强是多少；（3）如果要求压强不超过，那么“木海马”底面面积至少要多少．19．（本小题满分9分）“远远的街灯明了，好像闪着无数的明星。天上的明星现了，好像是点着无数的街灯”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯走向路灯的过程中，当她行到点时，她在路灯下的影长为1.5米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了5米到处，恰好她在路灯下的影子位于路灯的正下方（已知小华身高1.6米，路灯高8米）（1）计算小华站在处在路灯下的影长；（2）计算路灯的高度．20．（本小题满分10分）在现代汽车成为人们出门的代步工具之一，汽车的心脏是发动机，如图1所示是发动机的一种动力传输工具，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且．当与相切时，求点到最短距离21．（本小题满分10分）青岛啤酒以历史悠久，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元．（1）求该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率；（2）该电商市场调查发现，当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商青岛啤酒的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则售价应为多少元？22．（本小题满分12分）《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方案：改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，预计挖空后平时水面宽，拱顶离水面．据推算，该河段水位在此基础上再涨达到最高．改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1．6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决：问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．（注：）问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．23．（本小题满分12分）【实践课题】南海是我国的固有领土，近年来由于海运量增大，对珊瑚礁的破坏严重，为了保护某珊瑚礁，我国某科考队在南海画出了一个海洋保护区，在航海图上标明了三个观测点的坐标，请你帮助科考队完成任务．【实践工具】中国南海地图，直尺，铅笔等工具．【实践活动】该班甲小组在地图上确定三观测点，建立平面直角坐标系，如图1所示，、、，由这三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．【问题解决】若在观测点测得一艘渔船的位置为，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？【交流研讨】甲小组问题解决后，乙小组提出了另一种方案：如图1所示，在甲小组确定的，三个观测点的基础上，再连接，比较和的大小，来确定在的内部还是外部，请你利用乙组的方法确定当渔船的位置为时，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？（注：当时，点在内部，当时，点在外部，当时，点在上）（注：时，角随正弦值的增大而增大，）

2024－2025学年山东省九年级12月联考数学试题（青岛版）（总分120分考试时间120分钟）2024.12参考答案及评分标准一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．D解析：由题意，二次函数为，其顶点为．故选：D．2．C解析：把代入得：，把代入得：，故选C．3．A解析：根据题意，可知的值即为乙醇质量，描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，乙、丁两瓶乙醇质量相同．点甲在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，甲瓶的的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的的值最小，即乙醇质量最少，故答案为：A．4．B解析：已知矩形的长和宽分别为4cm和2cm，其“伴手矩形”的一边长为，该边的邻边为．根据题意得：．故选：B．5．B解：由题意得：，斜坡的坡比接近，，设米，则米，在中，（米），米，，解得：，米，故选：B．6．A解析：如图，过点作轴于点，则、，，，故选：A．7．B解析：如图2所示，由图形知道，，而，，，，，即地面上阴影部分的面积为．故选：B．8．C解析：过点作于，过作于，设摆绳的长度为．则．由题意知：，在中，，，在中，，．，，解得：，即摆绳的长度为．故答案为：C．9．B解析：设圆心为，过点作于点，交于点，连接，四边形是矩形，，四边形是矩形，，设，则，，在中，即：解得：，故选：B．10．C解析：①由图象知，二次函数开口向上，则，故①正确：②由函数图象得：，对称轴为直线，，，故②正确：③根据题意可知：图象与轴交于另一点，，故③不正确：④当时，函数有最小值为，，，故④不正确：⑤拋物线与轴有两个不相同的交点，一元二次方程，，⑤正确．故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．．解析：，，锐角的度数为．故答案为：．12．12．解析：，，，故答案为：12．13．．解析：反比例函数的，反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，，点分布在不同一支图象上，，在第一象限，在第三象限，．故答案为：．14．（或96.25）．解析：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为，把代入得：，解得，抛物线解析式为，当时，（或96.25），变阻器消耗的电功率为（或96.25）：故答案为：（或96.25）．15．1.5解：，，，，根据题意得：尺，尺，（尺），第一时刻的影长为1.5尺：故答案为：1.5．16．．解析：如图，假设线段、交于点，是的弦，是的直径，且，，又，，和都对着，，，，，．故答案为：．三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤．17．（1）解：，，或，．（2）解：在中，米，，则米，在中，米，，则（米），则（米），答：的长度约为3.7米．18．解：（1）设反比例函数的解析式为，点在反比例函数图象上，将点代入解析式中得：，解得，．故答案为：．（2）当时，，即压强是．压强是；（3）由题意知，，，即“木海马”底面面积至少要有．19．解：（1）由题意得，，，解得：米：（2），，，解得：米．答：路灯的高度为12米．20．解：如图所示，连接，则，与相切于点，，，，，，点到圆最短距离为．21．（1）解：设该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率，某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元．，解得：或（舍去），，答：该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率为：（2）解：设售价应降低元，则每天可售出箱，当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．，整理，得：，解得：或，要尽量减少库存，，（元），答：售价应为56元．22．解：（说明：本题因建立直角坐标系不同，抛物线的函数表达式会不同．请老师酌情给分．）问题1：设桥拱圆弧所在圆的圆心为，拱顶为，连接，设交于，如图：由为拱顶和圆的对称性可知，，设半径为，，，解得，圆弧所在圆的半径长为12.5m：问题2：如图：根据题意可知，，由问题1可知，，，，，，，能顺利通行．问题3：以拱顶为原点，建立如图2所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，设抛物线的解析式为：，把点代入得：，，抛物线的函数表达式为：：问题4：该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，当悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，当时，，，悬挂点的横坐标的取值范围是：：说明：以下两种方案答出一种即可得满分。方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，灯笼挂满后成轴对称分布，共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼的