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文档简介

湘潭大学数学与计算科学学院1§6奇异积分计算

一、分部积分与变量替换法

二、区间截去法三、Gauss型求积法

四、乘积积分法欢迎加入湘潭大学期末考试复习资料库研发工作室QQ群：928812498班级集体复印复习资料超级便宜！！拒绝高价垄断！！！请各班学委/班长先联系群主哦！湘潭大学数学与计算科学学院3几种主要类型：1、被积函数在积分上限或下限处的极限存在，但函数值不存在。例2、积分上限是，或积分下限是。3、在积分限的两端存在积分奇异点；例如湘潭大学数学与计算科学学院44.在积分上限和下限之间的某已知点处存在积分奇点。5.在积分区间内某未知点处存在积分奇点。标准数值求积方法不能直接应用的。湘潭大学数学与计算科学学院5一、分部积分与变量替换法基本思想：采用变量替换法将无穷区间变为有限区间；采用分部积分或变量替换法消除或降低被积函数的奇异性。湘潭大学数学与计算科学学院6例1

积分其中在上是光滑的，作变量替换得积分区间变为有限区间.在处的性态为：假设湘潭大学数学与计算科学学院7则积分在处为光滑的被积函数。例2

积分其中在上是一阶连续可微函数.湘潭大学数学与计算科学学院8对I作分部积分，则因此，I原有的奇异性得以消除.

湘潭大学数学与计算科学学院9二、区间截去法

基本思想：若能够选取小数(或大数R),使得或上的积分值处在允许误差范围之内，即或则可将正常积分

或作为（或的近似.

湘潭大学数学与计算科学学院10例3

计算积分上连续，由于在[0,1]上，所以假如精度要求为则可取从而湘潭大学数学与计算科学学院11例4

计算积分因为当时有所以对于的精度要求湘潭大学数学与计算科学学院12三、Gauss型求积法Gauss型求积公式也可计算某些奇异积分或无穷区间上的积分

例：Gauss-Chebyshev求积公式

其中其本身就是对奇异积分的一种算法.湘潭大学数学与计算科学学院13四、乘积积分法

是接近奇异或奇异的函数，是光滑函数.考虑积分其中基本思想：满足下列条件：湘潭大学数学与计算科学学院142、非常容易计算。由此可得所以因此，的一个逼近序列。是湘潭大学数学与计算科学学院15注意：

为上的步长为

的分段多项式插值.在实际应用中，常取例5、计算积分

取为分段线性插值多项式：其中

湘潭大学数学与计算科学学院16由Lagrange插值余项定理知：在上二阶连续可微时，当有因此可见，当n充分大时，可作

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