广东省深圳市南山外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

南山外国语学校（集团）2022—2023学年第一学期期中考试九年级数学试卷一、选择题（每题3分，共10小题．每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡上）1.方程的解是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】先把常数移到右边，再利用开平方的方法解方程即可．【详解】解：移项得：，开方得：，∴或，故选C．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．2.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据概率公式所占部分除以总数即可求得．【详解】指针落在C区域的概率是，故选D【点睛】此题考查了概率问题，解题的关键是用概率公式求解．3.若且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用分式基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，故选D．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的系数是解题的关键．4.如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是()A. B.C. D.直线经过点【答案】B【解析】【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．【详解】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，∴，，直线经过点，，∴，∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．5.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD【答案】D【解析】【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案．【详解】解：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故选：D．【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．6.用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后整理即可得到答案．【详解】解：移项得：，配方得：，整理得：，故选A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，关键是要注意解题步骤要准确.．7.下列命题正确的是（）A.如果线段被点C黄金分割，那么与的比叫做黄金比B.对角线相等且垂直的四边形是正方形C.顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形D.各边对应成比例的两个多边形相似【答案】C【解析】【分析】根据黄金分割的定义即可判断A；根据正方形的判定即可判断B；根据菱形的判定即可判断C；根据相似多边形的判定即可判断D．【详解】解：A、如果线段被点C黄金分割且，那么与的比叫做黄金比，是假命题，不符合题意B、对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，是假命题，不符合题意；C、顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形（可以利用三角形中位线证明），是真命题，符合题意；D、各边对应成比例，对应角相等的两个多边形相似，是假命题，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知黄金分割，正方形和菱形的判定，相似多边形的判定是解题的关键．8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作OGCD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG＝CG，根据菱形的性质可得OB＝OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CFGO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长．【详解】解：如图，作OGCD交BC于点G，∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，∴，∴BG＝CG＝，∴GO是△BCD的中位线∴GO＝CD＝，GOCD∵CE＝1，∴GE＝CG+CE＝+1＝，∵CFGO，∴∠ECF=∠EGO∵∠E=∠E∴△ECF∽△EGO，∴，∴CF＝，∴CF的长为，故选：D．【点睛】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9.若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可．【详解】解：∵方程是“月亮”方程，∴∴，∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解．10.如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：①；②连接，，则为直角三角形；③；④若，，则的长为，其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质及HL定理求得Rt△AEB≌Rt△AEG，Rt△AFD≌Rt△AFG，从而求得∠EAB=∠EAG，∠FAD=∠FAG，然后求得2∠EAG+2∠FAG=90°，从而得到，由此判断①；将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连接MH，MG，NG，由旋转的性质根据结合SAS定理求得△AHM≌△ANM，得到MN=MH，结合正方形和旋转的性质求得∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，从而可得MH2=HB2+BM2，然后根据SAS定理求得△ABM≌△AGM，△AND≌△AANG，从而得到BM=GM，DN=GN，从而求得MN2=MG2+NG2，由此判断②；由垂直可得∠AEG=90°-∠EAG，然后结合①中已证∠EAG+∠FAG=∠EAG+∠FAD=45°，可得∠ANM=90°-∠EAG，由此得到∠AEG=∠ANM，然后根据AA定理求得三角形形式，由此判断③；旋转△ABE到△ADH，由旋转性质和SAS定理可得得△ABE≌△ADH，△AEF≌△AHF，设CF=a，在Rt△CEF中，根据勾股定理列方程求a，从而求得正方形的边长，设MN=x，结合②中的结论列方程求x的值，从而判断④．【详解】解：如图中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∵AG⊥EF，∴∠AGE=∠ABC=90°，在Rt△AEB和Rt△AEG中，，∴Rt△AEB≌Rt△AEG，∴∠EAB=∠EAG，同理可证Rt△AFD≌Rt△AFG，∴∠FAD=∠FAG，∴2∠EAG+2∠FAG=90°，∴∠EAG+∠FAG=45°，∴∠EAF=45°，故①正确；如图②，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连接MH，MG，NG由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM，∴MN=MH∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45°．由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=MB2+ND2．又∵AB=AG，∠EAB=∠EAG，AM=AM∴△ABM≌△AGM∴BM=GM同理可证：△AND≌△AANG∴DN=GN∴MN2=MG2+NG2即为直角三角形，故②正确；∵AG⊥EF∴∠AEG=90°-∠EAG又∵∠ANM=∠BDA+∠DAF=45°+∠DAF由①可知：∠EAG+∠FAG=∠EAG+∠FAD=45°∴∠ANM=90°-∠EAG∴∠AEG=∠ANM又∵∴，故③正确；如图3中，旋转△ABE到△ADH，△ABE≌△ADH∴DH=BE=2，同理②中可证：△AEF≌△AHF，∴FH=EF，设CF=a∴CD=CF+DF=a+3，EF=FH=DF+DH=5，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=a+3∴CE=BC-BE=a+3-2=a+1，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，（a+1）2+32=25∴a=3或a=-5（舍），∴CF=3，∴CD=6，∴正方形的边长为6；由正方形ABCD的边长为6，∴BD=CD=6，由①可知△MAN=45°，∵AB=AD，∠BAD=90°，由②得BM2+DN2=MN2，设MN=x，∵BD=6，BM=，∴DN=∴解得x=，∴MN=，故④正确故选：A．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用探究的结论解决新的问题，属于中考压轴题．二、填空题（每题3分，共5小题．请把正确答案填写在答题卡上）11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】根据完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了利用公式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．12.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小天共摸了200次，其中有40次摸到白球．因此小天估计口袋中的红球大约有______．【答案】20【解析】【分析】求出口袋中的球的总数量，即可求解．【详解】解：根据题意得：口袋中的球大约共有，所以口袋中的红球大约有个．故答案为：20【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据题意求出口袋中的球的总数量是解题的关键．13.如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___．【答案】##1.2##【解析】【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长．【详解】∵ABGH，∴△CGH∽△CAB，∴=，即=①，同理=，即=②，①+②，得+=+==1，∴+=1，解得GH=．故答案为．14.对于实数m，n，先定义一种断运算“”如下：，若，则实数x的值为___．【答案】3【解析】【分析】根据定义，分x≥－2和x＜－2两种情况进行解方程，得出x的值．【详解】解：当x≥－2时，x2+x－2=10，解得：x1=3，x2=－4（不合题意，舍去）；当x＜－2时，（－2）2+x－2=10，解得：x=8（不合题意，舍去）；∴x=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x≥－2和x＜－2两种情况进行解方程是解题的关键．15.如图，在中，平分，则______．【答案】【解析】【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，，再证明是垂直平分线，利用勾股定理和面积法求得和，再求得的长，再利用面积法求得，据此求解即可．【详解】解：在上取点E，使，作于点F，连接交于点G，如图，∵平分，∴又∵，∴，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∵平分，，∴是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵平分，∴点D到和边上的距离相等，∴，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．三、解答题（55分，共7题，其中16题5分，17题6分，18题8分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分．）16.计算：．【答案】【解析】【分析】根据得到，绝对值化简得到，根据得到，最后根据实数运算法则即可计算结果．【详解】解：【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值化简以及算术平方根是解题关键．17.解方程（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：移项得：，配方得：，整理得：，开方得：，解得；【小问2详解】解：∵，∴，∴或，解得．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．18.某学校创办“耕耘文学社”以来，关注度逐年上升．学校为了了解学生对“耕耘文学社”的关注度，采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．（其中A表示“关注”；B表示“不关注”；C表示“非常关注”；D表示“关注很少”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）______；B所在扇形的圆心角的度数为______；（2）请补全条形统计图；（3）该校现有学生420名，请估计这420名学生中“非常关注”的学生人数；（4）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“不关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“不关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．【答案】（1），（2）统计图见解析（3）210人（4）树状图见解析，【解析】【分析】（1）由两个统计图知，“非常关注”有30名，占50%，则可求得调查的总人数，用“关注”的人数除以总人数即可求得m的值，用360度乘以“不关注”的人数占比即可求出B所在扇形的圆心角度数；（2）根据（1）所求从而可求得“关注很少”所占的人数，可补充完整条形统计图（3）用420乘以调查中“非常关注”所占的百分比即是所求的结果；（4）画出树状图，可得到所有的结果数及刚好有这位男同学的结果数，则可求得此时的概率．【小问1详解】解：由题意知：“非常关注”有30人，占调查人数50%，则调查的总人数为：人，∴，∴；，∴B所在扇形的圆心角的度数为，故答案为：，；小问2详解】解：“关注很少”的人数为人，补全的条形统计图如下：【小问3详解】解：人，∴估计这420名学生中“非常关注”的学生有210人；【小问4详解】解：“不关注”的这些同学中有一名男同学和3名女同学，分别用女1、女2、女3表示这3名女生，画出的树状图如下：则选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联、样本估计总体的数量、列表法或树状图求概率等知识，充分利用两个统计图中的信息是解题的关键，用样本估计总体是统计思想的体现．19.如图，在菱形中，，，将一个的的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当与边交于点M，同时与边交于点N时．（1）求证：是等边三角形；（2）当等于多少时，的面积最大，请说明理由．【答案】（1）见解析（2），理由见解析【解析】【分析】(1)连接，利用菱形的性质首先得出是等边三角形，根据定理，可证得，，据此即可证得结论；(2)根据可得，可得，再根据二次函数的性质，可得当时，的面积最大，据此即可求得．【小问1详解】证明：如图：连接，四边形是菱形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，在与中，，，是等边三角形；【小问2详解】解：如图：与相交于点E，过点M作交的延长线于点F，，，，，，，该抛物线的开口向下，当时，的面积最大，当时，的面积最大，此时是等腰三角形，，，，，，，，是等边三角形，．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，根据题意得出时，的面积最大是解题的关键．20.某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？（2）小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．【答案】（1）每件衬衫应降价10元（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，然后根据利润单价盈利数量列出方程求解即可；（2）假设能获得，同（1）根据题意列出方程求解即可．【小问1详解】解：设每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，每天可以售出件．由题意，得，即，解得，．∵每件盈利不少于25元，∴∴商场若想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价10元．【小问2详解】解：不能．理由如下：假设能获得，由题意得．整理，得．，∴方程无实数根，故不能．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程求解是解题关键．21.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，交于点，．（1）求证：；（2）求证：；（3）的值等于______．（直接写出结果，无需解答过程）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案；（2）由相似三角形的性质即可知道AB=2FD，由于AB=AD，所以AD=2FD，从而可知DF=AF；（3）作△ABC的中线AG，交BF于点M，得点M是△ABC的重心，得到BM=2FM，再证△FMA≌△FED，得MF=EF，最后得出结论；【小问1详解】证明：∵DE是BC垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵AB=AD，∴∠ABC=∠ADB，∴△FDB∽△ABC；【小问2详解】∵△FDB∽△ABC，∴∴AB=2FD，∵AB=AD，∴AD=2FD，∴DF=AF．【小问3详解】如图，作△ABC的中线AG，交BF于点M，∵AF=FD，BG=GD，∴点M是△ABC的重心，∴BM=2FM，∵AB=AD，BG=GD，∴AG⊥DE，∵DE是BC的垂直平分线，∴DE⊥BC，∴AG∥DE，∴∠FMA=∠FED，∠FAM=∠FDE，∵AF=DF，∴△FMA≌△FED（AAS），∴MF=EF，∴【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、三角形的重心性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质，本题综合程度较高．22.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系