广东省深圳市深圳实验学校中学部2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）

深圳实验学校中学部初三数学月考（12月）一、选择题（共10小题）1.下列光线所形成的投影不是中心投影的是（）A.太阳光线 B.台灯的光线 C.手电筒的光线 D.路灯的光线【答案】A【解析】【分析】利用中心投影(光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影)和平行投影(由平行光线形成的投影是平行投影)的定义即可判断出．【详解】解：A．太阳距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．

B．台灯的光线是由台灯光源发出的光线，是中心投影；

C．手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线，是中心投影；

D．路灯的光线是由路灯光源发出的光线，是中心投影．

所以，只有A不是中心投影．

故选：A．【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义．熟记定义，并理解一般情况下，太阳光线可以近似的看成平行光线是解决此题的关键．2.大自然是美设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A.AB2＝AP2+BP2 B.BP2＝AP•BAC D.【答案】D【解析】【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断．【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或．故选：D．点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．3.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（）A.4：3 B.3：7 C.3：4 D.2：4【答案】A【解析】【分析】根据平分线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解本题的关键．4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据位似变换的性质计算即可.【详解】解：点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是或，即或.故选D.【点睛】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.5.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形的内角，变为菱形，若，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用勾股定理先求C′E，再求BE，最后求梯形D′EBA面积，最后求阴影部分的面积．【详解】解：设BC与C′D′交点为E，∵在正方形ABCD和菱形，ABC′D′中，∴C′D′=C′B=AB=2，∴BE⊥C′D′，∵∠C′＝∠D′AB＝45°，∴C′E＝BE，设C′E=BC=x，则在Rt△C′EB中，解得：，∴C′E=BC∴D′E＝C′D′-C′E=2−，∴梯形D′EBA面积为：S′＝（D′E＋AB）×BE×＝2−1，阴影面积为：S＝−S′＝2×2−（2−1）＝5−2．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的面积，掌握求阴影部分的面积化为面积之差，勾股定理、梯形面积的应用是解决此题的关键．6.在△ABC中，点E在AC上，且，F为BE中点，AF的延长线交BC于D，则＝（）A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3【答案】B【解析】【分析】过E点作EH∥BC交AD于H，如图，由HE∥BD得到=1，则BD=EH，由HE∥CD得到得到CD=3HE，从而可得到的值．【详解】解：过E点作EH∥BC交AD于H，如图，∵F为BE中点，∴EF=BF，∵HE∥BD，∴=1，即BD=EH，∵HE∥CD，∴，∵，∴，∴，即CD=3HE，∴．故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作EH∥BC是解决问题的关键．7.正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（1，2)，则另一个交点的坐标为（）A.（-1，-2） B.（-1，2） C.（1，-2） D.（1，2）【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称，由此求解即可．【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，∵一个交点的坐标为(1，2)，∴它的另一个交点的坐标是(−1，−2)，故选A．【点睛】考查反比例函数图象上点的对称性，掌握正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称是解题的关键．8.如图，线段AB表示一信号塔，DE表示一斜坡，DC⊥CE．且B、C、E三点在同一水平线上，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡DE的坡比为1：2，CE＝72米．某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°，站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°（人的身高忽略不计），则信号塔的高度AB为（）（结果精确到1米）（参考数据：sin37°，tan37°，sin48°，tan48°）A.77 B.62 C.109 D.113【答案】D【解析】【分析】作DF⊥AB于点F，则AB=AF+FB,FB=DC,解直角三角形ADF求AF,利用坡比求DC即可【详解】作DF⊥AB于点F，∵斜坡DE的坡比为1：2，CE＝72米，∴，∴CD＝36米，∵DC⊥BC，FB⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BCDF是矩形，∴DC＝BF＝36米，BC＝DF，∵∠ADF＝37°，∠ACB＝48°，tan∠ADF，tan∠ACB，tan37°，tan48°，∴，，解得AF≈77，∴AB＝AF+BF＝77+36＝113（米），故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,坡比的应用,准确构造高线，把非直角三角形化为直角三角形求解是解题的关键．9.如图所示的是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有以下结论：①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③c＝﹣6a；④若顶点的纵坐标为﹣1，则关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确．由图象知：当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣＝2，b＝﹣4a，∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，故③错误；∵顶点的纵坐标为﹣1，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有一个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根．故④正确；综上所述①④正确．故选：B．【点睛】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键．10.如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交于点G，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】①首先由折叠的性质得到AD=AF，然后根据HL判定三角形全等的方法证明即可；②根据正方形的性质得到AB=CD=6，然后根据求出CE和DE的长度，设出GF=BG=x，在△GEC中根据勾股定理列方程求出GF和GC的长度即可求解；③根据得出∠BGA=∠FGA，根据得出∠GFC=∠GCF，然后根据三角形外角的性质证明出∠FGA=∠GFC，即可证明出；④连接BF，作FH⊥BC于点H，根据△GHF∽△GCE求出FH的长度，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】∵将沿对折至，∴AD=AF，∠D=∠AFE=90°，∴∠AFG=90°，∴△AFG是直角三角形，又∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴AB=AF，∴在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴，∴①正确；∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=6，又∵，∴DE=2，CE=4，∵沿对折至，∴EF=DE=2，由①可知，∴BG=FG，∴设BG=GF=x，则GC=6-x，GE=x+2，∴在Rt△GEC中，，代入可得：，解得：，∴BG=GF=3，GC=BC-BG=6-3=3．∴FG=CG．∴②正确；由②可知，FG=CG，∴∠GFC=∠GCF，又∵，∴∠BGA=∠FGA，又∵∠BGF=∠GCF+∠GFC，∴∠FGA=∠GFC，∴，∴③正确；如图所示，连接BF，作FH⊥BC于点H，∵CD⊥BC，FH⊥BC，∴FHCD，∴可得△GHF∽△GCE，∴，代入得：，解得：，∴S△BFC=，∴④正确；故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理的运用，三角形全等的证明等知识，解题的关键是根据折叠的性质得到AD=AF，ED=EF然后继续求解．二．填空题（共5小题）11.已知二次函数y＝3（x+1）2﹣m的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为__．【答案】y3＜y1＜y2【解析】【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=-1，图象开口向上；在对称轴右边，利用y随x的增大而增大，可判断y1＜y2，，根据二次函数图象的对称性可得，y3的值等于当x=0时的函数值可判断y1＞y3；于是得出答案．【详解】解：由二次函数y＝3（x+1）2﹣m可知，对称轴为x＝﹣1，开口向上，∴可知，A（1，y1），B（2，y2）两点在对称轴右边，∵二次函数在对称轴右边，y随x的增大而增大，1＜2∴y1＜y2，由抛物线的对称性可知y3的值等于当x=0时的函数值，∵0＜1，∴y1＞y3，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的对称性和增减性是解题关键．12.在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝2，则CD的长为__．【答案】####【解析】【分析】先证明∠B＝∠DAC，再证明△ADB∽△CDA，再利用相似三角形的性质列方程，解方程可得答案.【详解】解：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAC，∵∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ADB∽△CDA，∴，AD＝3，BD＝2，，解得：CD＝，经检验符合题意；故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键.13.将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为______________．【答案】【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．【详解】将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式．14.如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作▱ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上，则k的值为____________【答案】8【解析】【分析】设点C坐标为（a，﹣），点A（x，y），根据中点坐标公式以及点在反比例函数y＝﹣上，求得的坐标，进而求得的坐标，根据平行四边形的性质对角线互相平分，再根据中点坐标公式列出方程，进而求得的坐标，根据待定系数法即可求得的值【详解】解：设点C坐标为（a，﹣），点A（x，y），∵点D是BC的中点，∴点D的横坐标为，∴点D坐标为（，﹣），∴点B的坐标为（0，﹣），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AC与BO互相平分，∴，，∴x＝﹣a，y＝﹣，∴点A（﹣a，﹣），∴k＝（﹣a）×（﹣）＝8，故答案为：8【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数的性质，中点坐标公式，利用平行四边形的对角线互相平分求得点的坐标是解题的关键．15.如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB＝3，则点D的坐标为_____．【答案】（）【解析】【分析】根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得A（1，0），B（2，0），C（0，2），过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM，可得M（8，6），再求得直线CM的解析式为y＝+2，联立直线和抛物线，解方程组即可得点D的坐标．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），∴OB＝OC∴∠OBC＝45°，如图，过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，∴∠COB＝∠MGB＝90°∴∠CBO+∠MBG＝90°∴∠MBG＝45°∴MG＝BG∴等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM∴＝∵tan∠DCB＝＝3∴∴BG＝6∴MG＝6∴M（8，6）设直线CM解析式为y＝kx+b，把C（0，2），M（8，6）代入，解得k＝，b＝2所以直线CM解析式为y＝+2联立解得，∴D（）故答案为（）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．三．解答题（共20小题）16.（1）2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．（2）2sin30°+（π﹣3.14）0+|1﹣|﹣（﹣1）2018．【答案】（1）4﹣；（2）【解析】【分析】（1）先将特殊三角函数值代入，再进行二次根式的乘法，最后合并同类项即可；（2）先将特殊三角函数值代入，同时计算零指数幂，绝对值化简，乘方，再合并同类项即可．【详解】解：（1）2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．=，=，=；（2）2sin30°+（π﹣3.14）0+|1﹣|﹣（﹣1）2018，＝，＝，＝．【点睛】本题考查特殊三角函数值，零指数幂，绝对值化简，二次根式的混合运算，掌握特殊三角函数值，零指数幂，绝对值化简，二次根式的混合运算是解题关键．17.今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估，将抽取的格商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次评估随机抽取了家商业连锁店；（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，请用列表或画树状图的方法求其中至少有一家是A等级的概率．【答案】（1）25（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据A级的店数和所占的百分比求出总店数；（2）求出B级的店数所占的百分比，补全图形即可；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．【详解】（1）2÷8%＝25（家），即本次评估随机抽取了25家商业连锁店故答案为：25；（2）25−2−15−6＝2，2÷25×100%＝8%，补全扇形统计图和条形统计图，如图所示：（3）画树状图，共有12个可能的结果，至少有一家是A等级的结果有10个，∴P（至少有一家是A等级）＝＝．【点睛】本题考查的列表法和树状图法、概率公式、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18.某学校教学楼（甲楼）顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】（1）甲楼的高度为18.60m，彩旗的长度为36.05m；（2）乙楼的高度为31.25m，甲乙两楼之间的距离为37.20m．【解析】【详解】试题分析：（1）在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AE与BE的长即可；（2）过点F作FM⊥GD，交GD于M，在直角三角形GMF中，利用锐角三角函数定义表示出GM与GD，设甲乙两楼之间的距离为xm，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．试题解析：解：（1）在Rt△ABE中，BE=AB•tan31°=31tan31°≈18.60，AE==≈36.05，则甲楼的高度为18.60m，彩旗的长度为36.05m；（2）过点F作FM⊥GD，交GD于M，在Rt△GMF中，GM=FM•tan19°，在Rt△GDC中，DG=CD•tan40°，设甲乙两楼之间的距离为xm，FM=CD=x，根据题意得：xtan40°﹣xtan19°=18.60，解得：x=37.20，则乙楼的高度为31.25m，甲乙两楼之间的距离为37.20m．点睛：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．19.如图，已知双曲线y＝与直线y＝mx+5都经过点A（1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y＝mx+5沿y轴向下平移n个单位长度，使平移后的图象与双曲线y＝有且只有一个交点，求n的值．【答案】（1）双曲线的表达式是：y＝，直线的表达式是y＝﹣x+5；（2）n＝1或9【解析】【分析】（1）把点A的坐标分别代入可得两个表达式；（2）设向下平移后的表达式为：y＝mx＋5−n，联立方程组可得n的值．【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝得k＝4，把A（1，4）代入y＝mx+5得m＝﹣1，∴双曲线的表达式是：y＝，直线的表达式是y＝﹣x+5；（2）设平移后直线的表达式为：y＝﹣x+5﹣n，联立反比例表达式为，得到∴当有且只有一个交点时，Δ＝0，即△＝（5﹣n）2﹣16＝0，解得n＝1或9．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．20.已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．（1）求证：；（2）如果，求证：．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；

（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论.【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，

∴△BDE∽△DCE，

∴，

∴BD•CE=CD•DE．21.已知某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售的单价每降低1元，每天就多卖5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）设降价x元，求出每天的销售利润y（元）与x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元时，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）【答案】（1）；（2）销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；（3）销售单价应该控制在82元至90元之间【解析】【分析】（1）根据“利润（售价成本）销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）每天的销售利润不低于4000元，根据二次函数与不等式的关系求出的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，以及，列不等式组即可．【详解】解：（1）由题意得：，，，所以；（2），，抛物线开口向下．，对称轴是直线，当时，即销售单价是80元，每天的销售利润最大，最大利润是；即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；（3）当时，，解得：，，当时，即销售单价在，每天的销售利润不低于4000元，由每天的总成本不超过7000元，得，解得：，，，销售单价应该控制在82元至90元之间．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题意，列出相应等式，借助二次函数解决实际问题．22.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的