2023年考研数学（二）试题及解析

1A.y=x+e4.若微分方程y"+ay'+by=0的解在(-0,+α)上有界，则()A.a<0.b>0B.a>0,b>0C.a=0.b>0D.a=0,b<07.设函数f(x)=(x²+a)e*,若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)A.(0.1)B.[1,+0]C.(1,2)2A.y²+y2B.y²-y₂C.y²+y₂-4y3D.y²+y²-y²**,二、填空题，11～16题，每题5分，共30分.三、解答题，17～22题，共70分。3的极值.20.(本题满分12分)21.(木题满分12分)设函数f(x)在[-a.a]上具有2阶连续导数.证明：(1)若ʃ(0)=0,则存在ξ∈(-a,a),使得22.(木题满分12分)(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A,使得P-¹AP=A.2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)参考答案【解析】(方法一)其中,则所求斜渐近线方程为(D)为正确答案.【解析】微分方程的特征方程为λ²+aλ+b=0,特征根为若a²-4b>0,则特征方程有两个实根且λ1≠λ2.微分方程的解为y=C₁eA¹+C₂e^2²在(一～,+心)上无界.若a²-4b=0,则微分方程的解为y=(C₁+C₂x)e-t在(-~,+○)上无界.如果此解在(一0,+一)上有界，则a=0,进而b>0.【评注】本题还可从选项出发，验证只有(C)符合条件.则由,得y'(0)=0.=可知y"(0)不存在.【评注】泰勒公式判断导数存在性.【解析】广义积：当α>0时收敛，所以f(a)的定义域为α>0.f"(x)=(x²+4x+a+2)e,要使得f(x)有拐点，二次多项式x²+4x+(a+2)的判别式△=16-4(a+2)>0,a<2.【解析】(方法一)分别令(A)(B)(C)(D)选项中的矩阵为I₁,I₂,I₃,I₄.不正确.选项(D)是正确的.(方法二)【评注】本题用到分块矩阵的逆或伴随，设A,Bm【解析】(方法一)配方法=x²+2x₁x₂+x²+x²+2x₁xs+x²-4x²+=2x²-3x²-3x²+2x₁xz+2x₁正确答案为(B).(方法二)合同变换法二次型对应的对称矩阵(方法三)特征值二次型对应的对称矩阵故正惯性指数为1,负惯性指数为1,故选(B).(方法四)可逆线性变换再由配方法、合同变化法或特征值.二次型对应的矩阵A的特征值为1,-7,0,正惯性指数为1,负惯性指数为1,故选(B).x₁a₁+x₂az-xsβ-xβ₂=0.下面求解该方程组：方程组(*)与同解.双正确答案为(D).(11)【答案】-2.【解析】由题设知两边对x求偏导，有①式两端再对x求偏导数，有再将x=y=1,z=0代再将x=y=1,z=0代代入②y(x)=x(C-Inx).(Ⅱ)设曲线y=x(2-Inx)在点(x,y)处的切线方程为Y-y=y'(X-x),令X=0得(18)【解】由得驻点为(-e(-1)*,kπ)(k=0,±1,…).当k为偶数时，△=-e²<0,且A=1>0,,(k为偶数).【评注】第I问的积分计算还有其他方法.(20)【解】曲线x²+y²-xy=1,x²+y²-xy=2的极坐标方程为三①+②得求得A的特征值为λ1=-1,Az=-2,λ₃=2.先求解方程组(A+E)x=0(A+E)x=0的通解为x=k₁(-1,0,2)T,k₁∈R.取A的属于λ₁=-1的特征向量为ξ1=(-1,0,2)T.行变换(A+2E)x=0