全国小学数学教师教学设计比赛一等奖数学七年级上册（人教2024年新编）《解一元一次方程实际问题与一元一次方程（第3课时球赛积分表问题）》教学设计

5.3实际问题与一元一次方程（第3课时球赛积分表问题）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第五章“一元一次方程”5.3实际问题与一元一次方程第3课时，内容包括利用一元一次方程分析与解决球赛积分问题.2.内容解析球赛积分问题是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问题之一，并具有一定的代表性.这类问题的背景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．对这一问题的探究可以使学生进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，体会数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：球赛积分问题的探究过程．二、目标和目标解析1.目标（1）通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分表这类问题的一般思路及方法.（2）会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.（3）会根据方程的解的情况对实际问题作出判断．2.目标解析（1）理解球赛中积分的多少与胜、平、负的场数有关，同时也与比赛中的积分规定有关，解题关键是弄清规定，胜、平、负一场各积几分.（2）能找解决问题所需的关键量，并从表格中提取关键信息．（3）不仅能够检验方程的解是否符合原方程，同时也能够判断方程的解是否符合实际情况．三、教学问题诊断分析学生通过之前的学习，对应用一元一次方程解决简单实际问题具备了一定的基础，对建立方程模型解决问题的基本过程也有基本的认识．但在这些问题中建立方程的目的就是为求得问题中某一变量的值，所以设未知数和列方程的指向性比较明显．而本课中，需要学生自行分析并发现关键变量，并自觉建立方程来求得．学生在这种自行选择探究方向和探究方法的问题中缺乏经验.同时学生普遍知道球赛中积分的多少与胜、平、负的场数有关，但未必能够意识到积分的多少也与比赛中的积分规定有关，解题关键是弄清规定，胜、平、负一场各积几分.弄清实际问题中所包含的数学问题是关键.通过积分表来了解胜负的场次，这样的形式在生活中很普遍，要善于观察分析，学习读懂表格.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在探究过程中适时建立一元一次方程解决问题．四、教学过程设计（一）问题的初探你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？某次篮球联赛积分榜如下：问题1：你能从表格中了解到哪些信息？每队的胜场数＋负场数＝这个队比赛场次；每队胜场总积分＋负场总积分＝这个队的总积分；每队胜场总积分=胜1场得分×胜场数……问题2：你能从表格中看出负一场积多少分吗？由钢铁队得分可知负一场积1分.师生活动：教师提出问题，学生简单阐述理由；教师通过学生回答情况了解学生对问题的认识情况．【设计意图】让学生初步对球赛的积分规则及积分情况进行了解.（二）问题的进一步探究问题3：你能进一步算出胜一场积多少分吗？解：设胜一场积x分，依题意，得10x＋1×4＝24.解得x＝2.经检验，x＝2符合题意.所以，胜一场积2分.问题4：怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系？解：若一个队胜m场，则负(14－m)场，胜场积分为2m，负场积分为14－m，总积分为：2m+(14－m)=m+14.即胜m场的总积分为(m+14)分.问题5：某队胜场总积分能等于它负场总积分吗？解：设一个队胜x场，则负(14－x)场，依题意得2x＝14－x.解得x＝.师生活动：教师提出问题，学生思考并回答.学生回答过程中，教师适时提问，引领学生熟悉问题情境．【设计意图】借助问题引导学生熟悉并理解问题情境及相关概念，并引领学生将数学问题转化为数学问题，渗透转化思想．（三）变式训练某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积多少分吗？解：由C队的得分可知，胜场积分+负场积=27÷9=3.设胜一场积x分，则负一场积(3-x)分.根据A队得分，可列方程为14x+4(3-x)=32，解得x=2，则3-x=1.答：胜一场积2分，则负一场积1分.师生活动：教师提出问题，学生自行演算，教师巡视指导．在学生完成之后，选同学表述解题过程，教师板书并点评．【设计意图】教师帮助学生明确了探究方向之后，让学生自主探究这一变式训练，使学生经历探究过程，有助于提高学生的探究能力．（四）针对训练某赛季男篮CBA职业联赛部分球队积分榜如下：（1）列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系；（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？为什么？解：观察积分榜，从最下面一行可知负一场积1分.设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值.例如，从第一行得出方程：18x＋1×4＝40．由此得出x＝2.所以，负一场积1分，胜一场积2分.（1）如果一个队胜m场，则负(22－m)场，胜场积分为2m，负场积分为22－m，总积分为：2m＋(22－m)＝m＋22.（2）设一个队胜了x场，则负了(22－x)场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程：2x=22－x.解得.其中，x（胜场）的值必须是整数，所以不符合实际.由此可以判定没有哪个队伍的胜场总积分等于负场总积分.师生活动：教师依次给出练习，学生自主练习，教师巡视，选学生展示解答过程，学生点评．【设计意图】在教师引领完成探究问题之后，依次给出练习，使学生在探究问题中获得的解题经验得以巩固，并通过应用练习转化为能力．（五）当堂巩固1.某球队参加比赛，开局9场保持不败，积21分，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜（C）A.4场B.5场C.6场D.7场2.中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积2分，负一场积1分，某支球队参加了12场比赛，总积分恰是所胜场数的4倍，则该球队共胜4场.3.某次知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错或不答要扣3分.某选手在这次竞赛中共得116分，那么他答对几道题？解：设答对了x道题，则有(20－x)道题答错或不答，由题意得：8x－(20－x)×3＝116.解得x＝16.答：他答对16道题．【设计意图】考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．（六）能力提升把互动探究中积分榜的最后一行删去(如下表)，如何求出胜一场积几分，负一场积.解：可以求出.从雄鹰队或远大队的积分可以看出胜一场与负一场共得21÷7=3（分），设每队胜一场积x分，则负一场积(3－x)分，根据前进队的信息可列方程为：10x+4(3－x)=24.解得x=2.所以3－x=1.答：胜一场积2分，负一场积1分.【设计意图】进一步考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．（七）感受中考（2023•河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次.（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值.【解答】解：（1）由题意可得：4×3+2×1+4×(－2)＝6（分），答：珍珍第一局的得分为6分；（2）由题意可得：3k＋3×1＋(10－k－3)×(－2)＝6＋13，解得：k=6.∴k的值为6.【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．（八）课堂小结1.解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题.2.用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义．【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳探究方法．（九）布置作业P140：习题5.3：第7题.P141：习题5.3：第12题.五、教学反思列方程就是通过读题审题理清和寻找题目中相等的数量关系，通过设未知数将这些相等的数量关系表示出来．解一元一次方程就是，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程向ax=b（a≠0）的方向转化，其中体现了化归和程序化思想．解方程得到的未知数的值，是否符合具体问题的实际意义，是我们学习列方程解应用题需要关注的．这既是实际问题与数学问题相互转化过程中需要注意的问题，也有利于培养学生良好的思维习惯和品质，让他们能够从中进一步体会方程的应用价值．本节教材所涉及的实际问题的背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强数学应用意识和能力．第五章一元一次方程5.3实际问题与一元一次方程（3）【教学目标】1.经历解决球赛积分表问题的过程，明确一元一次方程解决实际时不仅要考虑解方程的过程是否正确，还要考虑是否符合实际；2.能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念和推理能力；3.进一步体会一元一次方程的应用价值.【教学重点】一元一次方程解决实际时要考虑是否符合实际.【教学难点】利用方程进行推理判断.【教学过程】 一、情境导入前面我们学习了用一元一次方程的解决配套物品、销售中的盈亏等问题,下面进一步研究球赛积分表问题.本节课的继续学习5.3实际问题与一元一次方程（3）（板书课题）二、合作探究活动一：探究球赛积分表问题问题：下表是某次篮球联赛积分(1)胜一场和负一场各积多少分?(2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系.(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?探究1.胜一场和负一场各积多少分?教师活动：问题1：观察积分表，你能观察到胜一场和负一场各积多少分吗？学生活动：从最下面一行数据可以看出，14场全负，得14分，说明负一场积1分，不能得到胜一场得多少分.教师活动：问题2.如果设胜一场积分，你怎样根据表中数据列方程？学生活动：由积分表中其他任何一行可以列方程，求出的值.例如，由第一行得方程.解得.用表中其他行可以验证，得出结论:胜一场积2分，负一场积1分.探究2.用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系教师活动：问题2：若一支球队胜场，则负多少场？胜场积多少分？，负场积多少分？总积分为多少？学生活动：若一支球队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分为，即.探究3.某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？教师活动：问题3：设一支球队胜了场，则负了多少场？若这支球队的胜场总积分等于负场总积分怎样根据表中数据列方程？学生活动：设一支球队胜了场，则负了场.若这支球队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程.解得教师活动：问题4：表示什么量?它可以不取整数吗?由此你能得出什么结论?学生活动：因为(所胜的场数)的值必须是整数，所以不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分.活动二：总结归纳问题4.从上面问题（3）的解决中我们有什么体会？交流讨论.师生共同归纳总结：1.解决实际问题时不仅要考虑解方程的过程是否正确，还要考虑得到的结果是不是符合实际.2.利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断.活动三：解决问题再提升例1．学校新建了一栋大楼，其中用于教学共四层，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?（列一元一次方程解决）(2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率将降低15%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有49名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理由．师生共同按列方程解决实际问题的步骤列方程，并进推理说明.学生写出解答过程，教师点评，规范.【示范】解（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，则平均每分钟一道侧门可以通过名学生，根据题意，得，解得，（名），答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；（2）建造的这4道门符合安全规定，理由如下：紧急情况下这4道门5分钟可以通过学生为（名），（名），，紧急情况下全大楼的学生在5分钟内通过这4道门可以安全撤离，建造的这4道门符合安全规定．三、强化巩固1.练习1、2.部分学生板演，其余学生独立完成，教师评价订正.2.拓展训练：小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了，两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等．设橘子的单价为元．(1)根据题意列出方程．(2)在，，中，哪一个是（1）中所列方程的解．(3)经洽谈，家优惠方案是每购买10千克苹果，送1千克橘子；家优惠方案是若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折，假设小张购买30千克苹果和千克橘子．请用含的式子分别表示出小张在，两家购买苹果和橘子所花的费用．【解析】（1）解：设橘子的单价为元，苹果单价为元，根据题意得，．（2）解：把，，分别代入，当时，左边，右边，等号的左右两边不相等，所以不是方程的解；当时，左边，右边．等号的左右两边不相等，所以不是方程的解；当时，左边，右边，等号的左右两边相等，所以是方程的解．（3）解：由（2