第23章解直角三角形 单元测试-数学沪科版九年级上册

第23章综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．若∠A为锐角，且sinA＝eq\f(\r(3),2)，则cosA的值是()A．1B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(1,2)2．下列是有理数的是()A．tan45°B．sin45°C．cos30°D．sin60°3．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A．asin26.5°B.eq\f(a,tan26.5°)C．acos26.5°D.eq\f(a,cos26.5°)4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝eq\f(2,3)，则AC的长为()A．6B．2eq\r(5)C．3eq\r(5)D．9eq\r(5)5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)6．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0,2)，B两点，则tan∠OAB＝()A.eq\f(2,5)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,2)D.eq\f(3,2)7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正弦值为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2\r(5),5)8．如图，一块矩形薄木板ABCD斜靠在墙角MON处(OM⊥ON，点A，B，C，D，O,M,N在同一平面内)，已知AB＝m，AD＝n，∠ADO＝α，则点B到ON的距离等于()A．m·cosα＋n·cosαB．m·sinα＋n·cosαC．m·cosα＋n·sinαD．m·sinα＋n·sinα9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是()A．4eq\r(3)B．4eq\r(7)C．6D．810．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足的关系式为()A．x－y2＝3B．2x－y2＝6C．3x－y2＝9D．4x－y2＝12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．比较大小：sin48°________cos48°(填“＞”“＜”或“＝”)．12．在△ABC中，sinB＝cos(90°－∠C)＝eq\f(1,2)，则∠A的大小是________．13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯脚之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了________m．(结果保留根号)14．如图，香玲同学在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝20m，∠PHB＝∠AFB＝90°，斜面AB的坡度为1∶eq\r(3).(1)∠PBA＝________；(2)HF的长为________m.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：eq\r(（tan60°－1）2)＋|1－cos60°|－2tan45°·sin60°.16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝eq\f(1,3)，AD＝1.求BC的长．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，定义：在Rt△ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cotα，即cotα＝eq\f(∠α的邻边,∠α的对边)＝eq\f(AC,BC)，根据角的余切的定义，解答下列问题：(1)cot30°＝________；(2)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(3,4)，试求cotA的值．18.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造．如图②，改造前的斜坡AB＝200m，坡度为1：eq\r(3)，将斜坡AB的高度AE降低AC＝20m后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4.求斜坡CD的长．(结果保留根号)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图①，李鸿章故居位于合肥市淮河路步行街中段，是典型的晚清江淮居民建筑，李鸿章故居内大门上常悬挂着巨大的牌匾，图②中的线段AD就是挂在墙OE上的牌匾的截面图，某数学小组经过测量得到AD＝1米，∠DAE＝37°.从水平面点C处观测点D处的仰角∠DCO＝45°，从C处沿CO方向走4步到达点B处，从点B处观测点A处的仰角∠ABO＝53°，现测得学生的步长为0.6米．(1)求点D到OE的距离；(2)求牌匾悬挂高度OA的长．(参考数据：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4))20．阿莲同学在学习三角函数知识时，老师告诉她求一个角的三角函数值，这个角应该在直角三角形环境里才好求，但是阿莲同学在解题过程中遇到了这样一个难题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠BDC＝60°，AD＝2BD，求sin∠ABD的值．请你运用所学知识帮她解题．六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，且AE∶ED＝7∶5，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝eq\f(5,13).(1)求tan∠DCE的值；(2)求eq\f(AF,BF)的值．七、(本题满分12分)22．如图，湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离(结果精确到1米，参考数据：eq\r(3)≈1.732)；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．(接送游客上下船的时间忽略不计)八、(本题满分14分)23.阅读下面的材料：(Ⅰ)锐角三角函数的概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°＝1，也就是sinC＝eq\f(c,c)＝1.由sinA＝eq\f(a,c)，可得c＝eq\f(a,sinA)；由sinB＝eq\f(b,c)，可得c＝eq\f(b,sinB)，而c＝eq\f(c,1)＝eq\f(c,sin90°)＝eq\f(c,sinC)，于是就有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(Ⅱ)其实，对于任意的锐角三角形ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，称为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,c)，∴AD＝c·sinB，∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·AD＝eq\f(1,2)ac·sinB.在Rt△ACD中，sinC＝eq\f(AD,b)，∴AD＝b·sinC.∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·AD＝eq\f(1,2)ab·sinC．同理可得S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sin∠BAC.∴eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)bc·sin∠BAC.∴eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinC,c)＝eq\f(sin∠BAC,a)，∴eq\f(a,sin∠BAC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).解答下列问题：(1)如图②，在锐角三角形ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，c＝2，求b；(2)求(1)中△ABC的面积；(3)求(1)中sinA的值．答案一、1.D点拨：∵sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝60°，∴cosA＝cos60°＝eq\f(1,2).2．A3．B点拨：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为eq\f(AC,tan∠ABC)＝eq\f(a,tan26.5°).4．C点拨：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝eq\f(2,3)，∴BC＝AB·cosB＝9×eq\f(2,3)＝6，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(92－62)＝3eq\r(5).5．A点拨：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AF2－AB2)＝eq\r(52－32)＝4，∴CF＝BC－BF＝5－4＝1.设CE＝x，则DE＝EF＝3－x.在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝eq\f(4,3)，∴EF＝3－x＝eq\f(5,3)，∴cos∠EFC＝eq\f(CF,EF)＝eq\f(3,5). 6．B点拨：如图，过点C作CD⊥y轴，∵C(－2,5)，∴CD＝2，OD＝5.∵A(0，2)，∴OA＝2，∴AD＝OD－OA＝3.在Rt△ACD中，tan∠OAB＝tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(2,3).7．D点拨：如图，取格点E，连接AE，BE，设网格中的小正方形的边长为1，则BE＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，AE＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).∵BE2＋AE2＝2＋8＝10，AB2＝10，∴BE2＋AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°.由题意知∠EBD＝∠CDB＝45°.∴∠APD＝∠CDB＋∠PBD＝45°＋∠PBD，∠ABE＝∠DBE＋∠PBD＝45°＋∠PBD，∴∠APD＝∠ABE.在Rt△ABE中，sin∠ABE＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(2\r(2),\r(10))＝eq\f(2\r(5),5).∴sin∠APD＝eq\f(2\r(5),5).8．C点拨：如图，作BE⊥OM于点E.∵OM⊥ON，∴∠AEB＝∠AOD＝90°，BE∥ON.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°－∠OAD＝∠ADO＝α.∵eq\f(AE,AB)＝cos∠BAE＝cosα，∴AE＝AB·cosα＝m·cosα.∵eq\f(OA,AD)＝sin∠ADO＝sinα，∴OA＝AD·sinα＝n·sinα，∴OE＝AE＋OA＝m·cosα＋n·sinα.∵BE∥ON，∴点B，点E到ON的距离相等，∴点B到ON的距离等于m·cosα＋n·sinα.9．B点拨：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E.∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°－120°＝60°，∴AE＝AC·cos60°＝4，EC＝AC·sin60°＝4eq\r(3).∵AB＝4，∴BE＝AB＋AE＝8，∴BC＝eq\r(BE2＋EC2)＝eq\r(82＋（4\r(3)）2)＝4eq\r(7).10．C点拨：如图，过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE.∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x.∵AB＝AC，BC＝8，tan∠ACB＝y，AQ⊥BC，∴eq\f(AQ,CQ)＝y，BQ＝CQ＝4，∴AQ＝4y.又∵EM⊥BC，∴AQ∥EM.又∵E为AC的中点，∴MC＝QM＝eq\f(1,2)CQ＝2，EM＝eq\f(1,2)AQ＝2y.∴DM＝8－2－x＝6－x.在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝(2y)2＋(6－x)2，即3x－y2＝9.二、11.＞12.120°13．(eq\r(3)－eq\r(2))点拨：当α为60°时，抽象出几何图形，如图①，过点A作AD⊥BC于D，由题意易得△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝2m，∴AD＝AB·sinB＝2sin60°＝eq\r(3)(m)．当α为45°时，抽象出几何图形，如图②，过点A作AE⊥BC于点E，由题意易得△ABC是等腰直角三角形，∵AB＝2m，∴AE＝AB·sinB＝2sin45°＝eq\r(2)(m)．∴梯子顶端离地面的高度下降了(eq\r(3)－eq\r(2))m.14．(1)90°(2)(10＋10eq\r(3))点拨：(1)由题意得∠CPB＝60°，∠CPA＝15°，PC∥HF，∴∠CPB＝∠PBH＝60°.∵斜面AB的坡度为1∶eq\r(3)，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).即在Rt△ABF中，tan∠ABF＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ABF＝30°，∴∠PBA＝180°－∠ABF－∠PBH＝90°.(2)在Rt△PBH中，PB＝20m，∠PBH＝60°，∴BH＝PB·cos60°＝20×eq\f(1,2)＝10(m)．∵∠CPB＝60°，∠CPA＝15°，∴∠APB＝∠CPB－∠CPA＝45°.∵∠PBA＝90°，∴AB＝PB·tan45°＝20m.在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，∴BF＝AB·cos30°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(m)，∴HF＝HB＋BF＝(10＋10eq\r(3))m.三、15.解：eq\r(（tan60°－1）2)＋|1－cos60°|－2tan45°·sin60°＝eq\r(3)－1＋1－eq\f(1,2)－2×1×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,2).16．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，AD＝1，∴AB＝3.∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2).在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC＝2eq\r(2)＋1.四、17.解：(1)eq\r(3)(2)∵tanA＝eq\f(3,4)，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,4)，∴cotA＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(4,3).18．解：∵∠AEB＝90°，斜坡AB的坡度为1：eq\r(3)，∴tan∠ABE＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ABE＝30°.∵AB＝200m，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝100m.∵AC＝20m，∴CE＝100－20＝80(m)．∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(1,4)，即eq\f(80,DE)＝eq\f(1,4)，解得DE＝320m，∴CD＝eq\r(CE2＋DE2)＝eq\r(802＋3202)＝80eq\r(17)(m)．答：斜坡CD的长为80eq\r(17)m.五、19.解：(1)如图，过D作DF⊥OE于F，在Rt△ADF中，∵AD＝1米，∠DAE＝37°，∴DF＝ADsin37°≈0.6米．∴点D到OE的距离约为0.6米．(2)如图，过D作DH⊥OC于H，则四边形DHOF是矩形，∴DF＝OH，DH＝OF.在Rt△ADF中，∠DAF＝37°，AD＝1米，∴AF＝ADcos37°≈0.8米．由题可得BC＝4×0.6＝2.4(米)．在Rt△ABO中，∠ABO＝53°，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝37°.∵tan∠BAO＝tan37°＝eq\f(OB,OA)≈eq\f(3,4)，∴OB≈eq\f(3,4)OA.在Rt△CDH中，∠DCH＝45°，∴CH＝DH＝FO＝AF＋OA≈0.8＋OA，∴CO＝CH＋OH≈0.8＋OA＋0.6＝1.4＋OA.又CO＝BC＋BO≈2.4＋eq\f(3,4)OA，∴1.4＋OA≈eq\f(3,4)OA＋2.4，解得OA≈4米，即牌匾悬挂高度OA的长约是4米．20．解：过A点作AE⊥BD交BD的延长线于点E.∴∠AED＝∠C＝90°，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴cos∠BDC＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(1,2).设CD＝a，则BD＝2a，在Rt△BDC中，由勾股定理可得BC＝eq\r(3)a.∵AD＝2BD，∴AD＝4a，∴AC＝5a，在Rt△ACB中，由勾股定理可得AB＝2eq\r(7)a.在Rt△BDC中，sin∠BDC＝eq\f(BC,BD)＝eq\f(eq\r(3),2)．又∠BDC＝∠ADE，∴sin∠ADE＝sin∠BDC.在Rt△ADE中，sin∠ADE＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(eq\r(3),2)，∴AE＝2eq\r(3)a.在Rt△ABE中，sin∠ABD＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(eq\r(21),7)．六、21.解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(5,13)，∴CD＝5，∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(132－52)＝12.∵AE：ED＝7：5，∴ED＝12×eq\f(5,7＋5)＝5，∴在Rt△CDE中，tan∠DCE＝eq\f(ED,CD)＝1.(2)过点D作DG∥CF交AB于点G，∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC－CD＝3.∵DG∥CF，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(BG,FG)＝eq\f(3,5)，eq\f(AF,FG)＝eq\f(AE,DE)＝eq\f(7,5)，∴AF＝eq\f(7,5)FG.设BG＝3x，则FG＝5x，AF＝7x，∴BF＝FG＋BG＝8x，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(7,8).七、22.解：(1)如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，由题意易得∠N