第一章 勾股定理单元测试卷 带解析

第一章勾股定理单元测试卷一．选择题（共10小题）1．（2022•南京模拟）下列各组数为勾股数的是A．7，12，13 B．3，4，7 C．8，15，17 D．1.5，2，2.5【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证即可．【解答】解：、，故错误；、，故错误；、，故正确；、，勾股数为正整数，故错误．故选：．2．（2022秋•新泰市期末）如图，在中，，，，则点到直线的距离是A． B．3 C． D．2【分析】作于点，根据勾股定理可以求得的长，然后根据面积法，可以求得的长．【解答】解：作于点，如右图所示，，，，，，，解得，故选：．3．（2023春•云浮校级期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则A． B． C． D．【分析】直接根据勾股定理解答即可．【解答】解：，，的对边分别是，，，，为斜边，．故选：．4．（2022春•开封期末）如图，在中，，，．点、分别是，的中点，下列说法不正确的是A． B． C． D．【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质作答即可．【解答】解：在中，，，．点、分别是，的中点，则是的中位线．、由是的中位线知，，说法正确，故不符合题意；、由是的中位线知，，说法不正确，故符合题意；、在中，，说法正确，故不符合题意；、在中，由勾股定理知，说法正确，故不符合题意．故选：．5．（2023春•福清市期中）如图，分别以的边，，为边向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值为A．18 B．15 C．12 D．9【分析】根据勾股定理和正方形的性质，可以计算出的值．【解答】解：由题意可得，，是直角三角形，，，，的值为12，故选：．6．（2022秋•皇姑区校级期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】根据三角形内角和定理可分析出、的正误；根据勾股定理逆定理可分析出、的正误．【解答】解：、，，，为直角三角形，故此选项不合题意；、设，，，，解得：，则，不是直角三角形，故此选项符合题意．、，即，，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：．7．（2020春•开封期末）下列各组数据，是三角形的三边长，能构成直角三角形的是A．2，3，4 B．4，5，6 C．，， D．6，8，10【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条边的长度能否构成直角三角形．【解答】解：，故选项中的三条边不能构成直角三角形；，故选项中的三条边不能构成直角三角形；，故选项中的三条边不能构成直角三角形；，故选项中的三条边能构成直角三角形；故选：．8．（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【分析】先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．【解答】解：在中，米，故可得地毯长度米，故选：．9．（2023春•安丘市期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为A．9 B．10 C．11 D．12【分析】由勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为．【解答】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：，，，小正方形的边长为9．故选：．10．（2022秋•礼泉县期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短路程为A． B． C． D．【分析】把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．【解答】解：已知如图：圆柱底面直径，高，为的中点，，，在中，，蚂蚁从点爬到点的最短距离为，故选：．二．填空题（共10小题）11．（2022春•开封期末）如图，中，两直角边和的长分别3和4，以斜边为边作一个正方形，再以正方形的边为斜边作，然后依次以两直角边和为边分别作正方形和，则图中阴影部分的面积为25．【分析】首先分析出阴影部分的面积为大正方形的面积，然后根据题干数据求解即可．【解答】解：，又四边形为正方形，所以，即图中阴影部分的面积为25．故答案为：25．12．（2022秋•南关区校级期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为．【分析】将容器的侧面展开，建立点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．【解答】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点关于的对称点，连接交于点，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，即，延长，过作于点，，，△中，由勾股定理可得，则该圆柱底面周长为．故答案为：．13．（2023春•揭东区期中）为了打造城市“绿洲”，某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮需元．【分析】作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【解答】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，，，，，，，，每平方米售价元，购买这种草皮的价格为元．故答案为：．14．（2023•宛城区一模）【实践操作】将一张直角三角形纸片沿一条直线剪掉一张三角形纸片，剩下一张如图所示的四边形纸片，其中，，，，，那么剪掉的三角形纸片的面积是24或．【分析】分两种情况讨论，先由三角形面积公式求出四边形的面积，然后根据相似三角形的性质，即可解决问题．【解答】解：①分别延长，交于，连接，设的面积是，，，，，，四边形的面积为：，，，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解且符合题意；②分别延长，交于，设的面积是，由（1）知四边形的面积为30，，，，，，，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解且符合题意；剪掉的三角形纸片的面积是或．故答案为：24或．15．（2023春•思明区校级期中）如图，在中，，是角平分线，于点，，，则的值为5．【分析】利用勾股定理先求解，再根据角平分线的性质得到，再利用证明得到，再设，则，再利用勾股定理建立方程即可求解．【解答】解：，，，，是的平分线，，，，，在和中，，，，设，则，，，即．故答案为：5．16．（2023春•西城区校级期中）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为6．【分析】根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，两小半圆与直角三角形的和减去大半圆即可得出答案．【解答】解：在中，，，由勾股定理得：，阴影部分的面积为：．故答案为：6．17．（2019秋•大丰区期中）如图，台风过后某中学的旗杆在处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部点6米处，已知旗杆总长15米，则旗杆是在距底部6.3米处断裂．【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．【解答】解：设旗杆是在距底部米处断裂，则折断部分的长为，由勾股定理得：，解得：，即旗杆是在距底部6.3米处断裂，故答案为：6.3．18．（2023春•南岗区校级期中）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，则这块四边形空地的面积为36．【分析】在中，根据勾股定理可求得的长，再根据勾股定理逆定理证得为一直角三角形，四边形由和构成，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：在中，，在中，，，而，即，，．故答案为：36．19．（2023春•海淀区校级期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则折断处离地面的高度是4尺．【分析】杆子折断后刚好构成一直角三角形，设杆子折断处离地面的高度是尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设杆子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：解得：．答：折断处离地面的高度是4尺．故答案为：4．20．（2023春•蔡甸区期中）在中，，，边上的高为15，则的面积是90或210．【分析】分是锐角和是钝角两种情况，进行求解即可．【解答】解：①当点在上时，如图：由题意，得：，，，，，，的面积是；②当点不在上时，如图：由题意，得：，，，，，，的面积是；综上：的面积是90或210．三．解答题（共6小题）21．（2021秋•淇县期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，．求阴影部分的面积．【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论．【解答】解：如图，连接．中，，，，．，，，，是直角三角形，．22．（2021秋•石景山区期末）如图，在中，，，．平分交于点．（1）求的长；（2）求的长．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．【解答】解：（1）在中，，由勾股定理得：．（2）过点作于点，如图．（垂直定义）．平分（已知），（角平分线定义）．在和中，，．，（全等三角形的对应边相等）．．设，则，．在中，，由勾股定理，得．解得．即．23．（2021秋•揭东区期末）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，．（1）求证：是直角三角形；（2）求的长．【分析】（1）由，，，知道，所以为直角三角形，（2）由（1）可求出的长．【解答】证明：（1），，，，为直角三角形；（2）设，是等腰三角形，，，即，解得：，．24．（2021秋•渭滨区期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为．（1）出发后，求的长；（2）当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？（3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的的值．【分析】（1）由题意求得和，由勾股定理可求出答案；（2）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；（3）求出，分两种情况可求出答案．【解答】解：（1）当时，，．，，在中，由勾股定理可得，，即的长为．（2）由题意可知，，又，，当为等腰三角形时，则有，，解得，出发后是等腰三角形．（3）在中，由勾股定理可求得，当点在上运动时，，，为等腰三角形，有，和三种情况：①当时，如图，过作，则，在中，可求得；在中，由勾股定理可得，即，解得或（舍去），②当时，则，解得，③当时，则，，，，，即，解得，综上可知，当的值为6.6或6或5.5时，为等腰三角形．25．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在中，，于点，，分别交，于点、．（1）如图1，若，，求的长度；（2）如图2，若，求证：．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，，，