考研真题 《材料力学》（第5版）（下册）配套题库（真题 课后题 章节题 模拟题）

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9(a)所示，设上下翼缘的剪力分别为一=、=,由于腹板的压力很小，忽略不计，合力作用点在A点，则：①率半径相同，即②二图10-10解：(1)求腹板上的切应力截面A₁对z轴的惯性矩：(2)确定弯曲中心A的位置为使梁不发生扭转，力F作用下应通过弯曲中心A,则根据静力学关系知剪力和切应力的合解得弯曲中心A的位置10-9由两根不同材料的矩形截面×h杆粘结而成的悬臂梁，如图10-11所示。两材料的弹性模量分别为E和E2,且EE>E2。若集中荷载F作用在梁的纵对称面(即粘合面)内，试求材料1和2截面上所承受的剪力FE和F三，并确定弯曲中心A的位置。图10-11解：由平面假设可知，梁两部分变形曲率日相同，设距离固定端x处截面上，梁的两部分由此联立==,可解得x截面梁两部分承受的剪力：如图10-12所示，弯曲中心A距O点的距离为e,则由平衡条件可得：图10-1210-10图10-13所示一半径为的钢制曲杆，杆的横截面为圆形，其直径d=20mm。曲杆横截面m-m上的弯矩M=-60N·m。试按计算三的精确公式和近似公式分别求出曲杆横截面m-m上的最大弯曲正应力,并与按直梁正应力公式计算的结果相比较。图10-13解：(1)按=的精确公式计算由于横截面为圆形，则根据精确计算公式可得中性轴与形心轴之间的距离：分析可知曲杆m-m截面上的最大正应力发生在曲杆内侧，且为拉应力，则(2)按的近似公式计算(3)根据直梁应力公式计算比较(1)、(2)计算结果可知，按近似公式计算的误差：比(1)、(3)的计算结果可知，按直梁公式计算的误差：第11章考虑材料塑性的极限分析11-1一组合圆筒，承受荷载F,如图11-1(a)所示。内筒材料为低碳钢，横截面面积为A1,弹性模量为E1,屈服极限为；外筒材料为铝合金，横截面面积为A2,弹性模量为E2,屈服极限为F。假设两种材料均可理想化为弹性-理想塑性模型，其应力-应变关系如图11-1(b)所示。试求组合筒的屈服荷载F和极限荷载FE。图11-1解：(1)求组合筒的屈服载荷由图11-1(b)可知一=,两筒的变形量相同，随着载荷F的增加，内筒首先达到屈服状态，而铝合金仍处于线弹性状态，此时二者承受的载荷分别为：又此时，内筒和外筒的变形量相同，即有：因此，外筒承受的载荷：(2)求组合筒的极限载荷内筒达到屈服极限时，随着载荷F的继续增加，1,内筒的应力保持为=不变，外筒铝合金部分的应力继续增大，此时组合筒处于弹塑性状态。当外筒的应力也达到屈服极限：=时，该组合筒进入完全塑性状态，即为极限状态。故组合筒的极限载荷：11-2一水平刚性杆AC,A端为固定铰链支承，在B、C处分别与两根长度1、横截面面积A和材料均相同的等直杆铰接，如图11-2所示。两杆的材料可理想化为弹性-理想塑性模型，其弹性模量为E、屈服极限为-。若在刚性杆的D处承受集中荷载F,试求结构的屈服荷载F和极限荷载FF。图11-2图11-3解：(1)求屈服载荷对刚性杆AC进行受力分析，受力及变形图如图11-3所示。当F不大时，结构处于弹性状态，有①②因为两杆材料相同，所以杆2首先达到屈服极限，此时代入式①得：,故结构的屈服载荷(2)求极限载荷随着载荷F继续增加，,杆2的应力保持=不变，杆1的应力继续增大，此时结构处于弹塑性状态。当杆1的应力也达到屈服极限三时，该结构进入完全塑性状态，为11-3刚性梁AB由四根同一材料制成的等直杆1、2、3、4支承，在D点处承受铅垂荷载F,如图11-4所示。四杆的横截面面积均为A,材料可视为弹性一理想塑性，其弹性模量为E、屈服极限为°。试求结构的极限荷载。图11-4图11-5解：(1)计算各杆轴力对刚性梁AB进行受力分析，如图11-5所示。将各式代入式②,并联立方程组①可解得各杆轴力：(2)确定极限载荷,故杆3和杆4先达到极限应力，载荷F继续增大，杆2应力达到屈服极限时，结构进入完全塑性状态，即为极限状态，此时由平衡方程：11-4例题2-1中的三杆铰接超静定结构，若在荷载达到极限荷载Fs=0.A(1+2cosa)后，卸除荷载，试求中间杆3内的残余应力。解：由教材例题2-1可知，当结构处于弹性状态时，各杆的应力：由题可知，三杆均屈服时，,结构极限载荷：杆3中应力变化值为：杆1,杆2中应力变化值为：可见,所以卸载过程中，结构不发生反向屈服。故杆3中的残余应力为卸载时的应力值与卸载过程中应力变化值一三的差，即：11-5等直圆轴的截面形状分别如图11-6所示，实心圆轴的直径d=60mm,空心圆轴的内、图11-6图11-711-6一半径为R的等直实心圆轴，材料可视为弹性-理想塑性，如图11-8所示。在扭转时处于弹性-塑性阶段，即横截面上的扭矩T处于Ts<T<T。试证明弹性区的半径为rs=图11-8证明当，轴在弹性区一E三内任一位置横截面上的切应力;在理想塑性区二内任一位置横截面上的切应力国。由合力矩定理知横截面上的扭矩T为：命题得证。11-7直径为d的等直圆杆AC,两端固定，在截面B处承受转矩(扭转外力偶矩)M=,如图11-9所示。材料可视为弹性-理想塑性，切变模量为G,剪切屈服极限为4=。试求圆杆的屈服转矩和极限转矩。图11-9解：(1)求圆杆的屈服转矩由于圆杆AC两端固定，可得变形协调方程：②其中，,代入式②,并与式①联立可得：(2)求极限转矩11-8试验证下列截面的塑性弯曲截面系数与弹性弯曲截面系数的比值：解：(1)圆形截面的塑性弯曲截面系数：(2)薄壁圆筒横截面如图11-10所示的圆环截面。图11-10作、乍分别为横截面的中性轴上、下两部分面积对中性轴的静矩(的中性轴为对称轴，因此一[。取微面积dA,则截面的塑性弯曲截面系数：11-9矩形截面b×h的直梁承受纯弯曲，梁材料可视为弹性-理想塑性，弹性模量为E,屈服极限为0。当加载至塑性区达到h/4的深度(如图11-11),梁处于弹性-塑性状态时，卸除图11-11解：(1)卸载前梁横截面上正应力的分布为：解：(1)卸载前梁横截面上正应力的分布为：(2)由上可知为使梁轴线恢复到直线状态，需加载的反向外力偶矩：11-10矩形截面简支梁受载如图11-12所示。已知梁的截面尺寸为b=60mm,h=120mm;梁图11-12解：对梁AB进行受力分析，如图11-13所示。图11-13由此可绘制梁AB的弯矩图，如图11-13所示。由图可知，梁的最大弯矩发生在D截面，值11-11受均布荷载作用的简支梁如图11限=235MPa。试求梁的极限荷载。图11-14解：(1)确定截面几何性质先确定中性轴位置：设中性轴到底边的距离为y,则横截面中中性轴以上和以下部分的面积*11-12教材图2-9a所示一端固定、另一端铰支的超静定梁，承受均布荷载q。梁材料可视为弹性一理想塑性，已知其极限弯矩为Mu。试证明梁的极限荷载为q==11.66Mu/I²。(提示：除固定端的塑性铰外，另一塑性铰的位置与弹性性铰距固定端为a,可由,求得另一塑性铰的位置a。)证明在弹性范围内求解超静定梁，并作弯矩图。由图11-15中弯矩图中，可知梁最大弯矩值发生在固定端截面处，图11-15到极限弯矩而出现塑性铰时，梁达到极限状态，此时载荷为极限载荷。假设在距离固定端A处，出现塑性铰C,如图11-15所示，则：①②将②式对a求导得：联立①、②两式可得：即当第二个塑性铰出现在距离固定端处时，整个梁达到极限状态，此时可得：代入式①得到极限载荷：命题得证。12-1图12-1所示各杆均由同一种材料制成，材料为线弹性，弹性模量为E。各杆的长度相同。试求各杆的应变能。图12-1解：(1)整个杆件的应变能：(2)杆上距离下端x处截面上的轴力为：,故杆件的应变能为：12-2拉、压刚度为EA的等截面直杆，上端固定、下端与刚性支承面之间留有空隙△,在中间截面B处承受轴向力F作用，如图12-2所示。杆材料为线弹性，当F>时，下端支承面的反力为：于是，力F作用点的铅垂位移为：从而得外力F所作的功为：而杆的应变能为：结果，杆的应变能不等于外力所作的功V≠w,试分析其错误的原因，并证明V=W。图12-2解：由于在杆件C截面与下端刚性支撑面接触前后，B截面位移与力F的线性关系不同，故计算力F做功应分两个过程：接触前：轴力,在F₁作用下，B端位移故F做功：所以。12-3直径d₂=1.5d₁的阶梯形轴在其两端承受扭转外力偶矩M=,如图12-3所示。轴材料为线弹性，切变模量为G。试求圆轴内的应变能。图12-3解：对该阶梯轴进行分段计算应变能再求和，其中,可得：12-4图12-4所示各结构材料均为线弹性，其弯曲刚度为EI,拉杆的拉伸刚度为EA,不计剪力的影响，试计算结构内的应变能。图12-4解：(1)建立如图12-5(a)所示的坐标系。由平衡条件求得支反力：(2)建立如图12-5(b)所示的坐标系，得刚架的弯矩方程：AB段BC段图12-5(3)对梁ABD进行受力分析，如图12-5(c)所示，并建立坐标系，由平衡条件可得约束12-5图12-6所示三角架承受荷载F,AB、AC两杆的横截面面积均为A。若已知A点的水平位移△E(向左)和铅垂位移△-(向下),试按下列情况分别计算三角架的应变能Vz,将(2)若三角架由非线性弹性材料制成，其应力-应变关系为—=(图b),B为常数，且拉伸图12-6图12-7故三角架的应变能用△-、△=表达为：(2)若三角架由非线性弹性材料制成，其应力-应变关系为，可得其应变能密度：两杆的变形关系不变，可知两杆各点处的应变为：两杆应变能密度分别为：故三角架的应变能：2-6试求习题12-5两种情况下的余能。解：(1)在线弹性情况下，余能与应变能相等，故：12-7试用卡氏第二定理求习题12-4各分题中截面A的铅垂位移。解：(1)如图12-8(a)所示，在截面A处虚设一竖直向下的集中力F,并建立如图所示图12-8(2)为求A点铅垂位移，在A截面处虚设一竖直向下的集中力F,并建立如图12-8(b)刚架的应变能为：由卡氏第二定理可得截面A的铅垂位移：(3)由12-4(c)结果已知结构的应变能：则根据卡氏第二定理可得截面A的铅垂位移：12-8弯曲刚度均为EI的各刚架及其承载情况分别如图12-9所示。材料为线弹性，不计轴力和剪力的影响，试用卡氏第二定理求各刚架截面A的位移和截面B的转角。图12-9解：(1)由于截面A有竖直方向的约束，故该截面竖直方向上的位移为求截面A的水平位移和转角，在截面A虚设水平方向的力F和外力偶矩MA;同理在B截面虚设一力偶矩MB,分别如图12-10(a)所示。图12-10(a)①求截面A水平位移在集中力偶=和力F作用下，刚架的弯矩方程为：AC段②求截面A转角AC段白，(0≤y₂≤a)③求截面B转角M和力偶矩MB作用下，刚架的弯矩方程为：在集中力偶MA;同理在B截面虚设一力偶矩MB,分别如图12-图12-10(b)AD段DB段②求截面A水平位移AD段④求截面B转角在均布载荷q和力偶MB作用下，刚架的弯矩方程为：根据卡氏第二定理可得截面B转角：(3)为求得截面A转角，在截面A虚设外力偶矩MA,如图12-10(c)所示。图12-10(c)①由于AB杆为轴向压杆，若略去轴力的影响，刚架AB段不承受横向力，所以AB段不发生弯曲变形，故截面A处铅垂位移同一。②求截面A水平位移根据卡氏第二定理可得截面A水平位移：③求截面A的转角在集中力F,均布载荷q和力偶MA作用下，刚架的弯矩方程为：④求截面B的转角由于AB杆为轴向压杆，若略去轴力的影响，刚架AB段不承受横向力，所以AB段不发生弯曲变形，故截面B的转角等于截面A的转角，即(逆时针)。12-9弯曲刚度均为EI的各刚架及其承载情况分别如图12-11所示。材料为线弹性，不计轴力和剪力的影响，试用卡氏第二定理求图示刚架上点A、B间的相对线位移和C点处两侧图12-11解：(1)求铰C两侧截面的相对角位移为求得铰C两侧截面的相对角位移，在铰C两侧虚设一对集中力偶，如图12-12(a)所示，则刚架的应变能：由卡氏第二定理得铰C两侧截面的相对角位移：图12-12(a)由于结构具有对称性，故取其左半部分进行分析即可，如图12-12(b-1)所示。可列刚架弯矩方程：则刚架的应变能：由卡氏第二定理得AB之间的相对水平位移：(b-1)图12-12②求铰C两侧截面的相对角位移在铰C两侧施加一对集中力偶，并建立坐标系，如图12-12(b-2)所示，可列出刚架的弯矩方程：AD段于是刚架的应变能：由卡氏第二定理得铰C两侧截面的相对角位移：方向与图中所施加力偶方向相同。(3)①求AB间相对铅垂位移如图12-12(c-1)所示，建立坐标系。由此可列出刚架各段弯矩方程：图12-12②求AB间相对水平位移为求得AB间相对水平位移，在A、B截面处分别施加一水平力F₁,并建立坐标系，如图DH段：≤编≤2m)12-10由直径为d的圆杆制成平均半径为R的开口圆环，在开口处承受一对垂直于圆环平面的集中力F作用，如图12-13所示。材料为线弹性，其弹性模量为E、切变模量为G,试用卡氏第二定理求开口圆环A、B两点间相应于力F的相对位移。图12-13解：在题图中所示载荷作用下，开口圆环的内力方程：弯矩方程：扭矩方程：由此可得该圆环的应变能：由卡氏第二定理可得到AB间相对位移：12-11矩形截面b×h的简支梁AB,在C点处承受集中荷载F,如图12-14所示。梁材料为线弹性，弹性模量为E、切变模量为G,需考虑剪力的影响。试用卡氏第二定理求截面C的挠度。图12-14图12-15解：如图12-15所示，由平衡条件求得支反力,并建立如图所示坐标系。由此可列出梁各段弯矩方程及剪应力：由上可得该梁考虑剪力影响时的应变能：根据卡氏第二定理可得到C截面的挠度：12-12弯曲刚度为EI的超静定梁及其承载情况分别如图12-16(a)和(b)所示。梁材料为线弹性，不计剪力的影响，试用卡氏第二定理求各梁的支反力。图12-16解：(1)该结构为一次超静定梁。解除弹簧支座D处多余约束，代之以约束反力X,可得到如图12-17(a)所示基本静定系统，建立图示坐标系。由平衡条件可得到A、B处铰支座的支反力：由此可得到各段弯矩方程及其偏导数：与原结构相比，可得基本静定系得变形协调条件：其中，由第二卡氏定理得到D点挠度：由此可得各支座约束反力：图12-17(2)该结构为二次超静定结构。解除B端约束，代之以约束反力X₁、X₂,如图12-17(b)所示，建立图示坐标系。由此可得梁AB的弯矩方程及其偏导数：由于原结构中B端固定，故可知静定系统中，B截面的转角和挠度均为零。①根据=,由卡氏第二定理可得：整理可得：②根据,由卡氏第二定理可得：整理可得：整理可得：12-13材料为线弹性，拉压刚度为EA的超静定桁架及其承载情况如图12-18所示，试用卡氏第二定理求各杆的轴力。图12-18图12-19解：该结构为一次超静定，解除杆2的约束，代之以约束反力X,得基本静定系统如图12-19所示。取节点G为研究对象，由平衡方程可得各杆的内力：于是该杆系的应变能：由变形协调条件知G点相应于X的位移为零，根据卡氏第二定理可得：12-14材料为线弹性，弯曲刚度为EI的各超静定刚架分别如图12-20所示，不计轴力和剪力的影响，试用卡氏第二定理求刚架的支反力。图12-20解：(1)该结构为一次超静定刚架，解除B端约束，代之以约束反力X,得基本静定系统，如图12-21(a)所示，建立图示坐标系。由此可得到各段弯矩方程：DA段(2)该结构为二次超静定刚架，解除A、B端约束，分别代之以约束反力X₁、X₂,可得基本静定系统，如图12-21(b)所示，建立图示坐标系则①由此可得各段弯矩方程：刚架的应变能：由变形协调条件刚架的水平位移为零，根据卡氏第二定理得：根据平衡条件可得到刚架各支反力：图12-21(3)该结构为一次超静定结构，解除铰链C的约束，代之以约束反力X,由该结构对称性知分析左半部分即可，得基本静定系统如图12-21(c)所示，建立图示坐标系，由此可列各段弯矩方程及其偏导数：解得：,其中负号表示方向与图中所示方向相反。逆时针)F=F(←),F=F(←),逆时针)(4)该结构为二次超静定刚架，解除A端约束，代之以约束反力X₁、X₂,可得基本静定系统，如图12-21(d)所示，并建立坐标系，由此可列出各段弯矩方程及其偏导数：12-15材料为线弹性，弯曲刚度为EI,扭转刚度为GI-的各圆截面曲杆及其承载情况分别图12-22解：(1)为求截面A的位移和转角，在截面A处虚设水平集中力Fx和集中力偶MA。如图图12-23(a)①求截面A铅垂位移②求截面A水平位移根据卡氏第二定理得到截面A水平位移：③求截面A转角(2)为求截面A的位移和转角，在截面A处虚设水平集中力X₁、竖直方向上的集中力X₂和集中力偶X3,如图12-23(b)所示。图12-23(b)①求截面A水平位移图12-23②求截面A铅垂位移在载荷F和虚设载荷X₂作用下，任一截面上的弯矩方程及M(O)=FR(1-cosθ)+X₂R[cos60°+cos③求截面A转角在载荷F和集中力偶X₃作用下的弯矩方程及其偏导数：(3)①求截面A铅垂位移在原载荷F作用下，根据卡氏第二定理得到截面A的铅垂位移：②求截面A水平位移如图12-23(c-2)所示，为求得截面A水平位移，在A处虚设水平附加力X₁,可得此时曲③求截面A在水平面xoy平面内的转角为求截面A在水平面内的转角，如图12-23(c-3)所示，在截面A处虚设水平面内的集中④求截面A在铅垂面yoz平面内的转角为求截面A在铅垂面内的转角，如图12-23(c-4)所示，在截面A处虚设铅垂面内集中力偶X3,由图可知，曲杆的弯矩方程和扭矩方程及偏导：⑤求截面A在横截面内的转角为求截面A在横截面内的转角，如图12-23(c-5)所示，在截面A处虚设集中力偶X4,由根据卡氏第二定理得到截面A在横截面内的转角：方向与图中所虚设力偶X₄的方向一致。12-16由四根材料相同、长度均为1、横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点G处受水平力F₁和铅垂力F₂作用，如图12-24所示。已知各杆材料均为线弹性，其弹性模量为E。试按卡氏第一定理求结点G的水平位移△G和铅垂位移△Gy。图12-24图12-25解：设各杆对应的伸长量分别为,则根据图12-25所示的几何关系可得到各杆伸长量与结点G位移的关系：①②联立①、②两式解得结点G的水平位移和铅垂位12-17由同一材料制成的三杆铰接成超静定桁架，并在结点A承受铅垂荷载F,如图12-26且n>1,试用卡氏第一定理计算各杆的轴力。图12-26点位移F的关系为：根据式得各杆的应变：据题已知应力-应变关系可得各杆应变能密度：故该杆系的应变能为：由上式解得A点的位移：*12-18材料为线弹性，弯曲刚度为EI的各梁及其承载情况分别如图12-27所示，不计剪力的影响，试用单位力法求各梁截面A的挠度和转角，以及截面C的挠度。图12-27①求截面A的挠度在截面A处施加竖直向下的单位力，梁AB的弯矩方程：②求截面A的转角在截面A处施加逆时针的单位力偶，则梁AB的弯矩方程：③求截面C的挠度在截面C处施加竖直向下的单位力，梁AB的弯矩方程：AC段②求截面A的转角AC段BC段AB段AB段BD段②求截面A的转角：在截面A处施加逆时针的单位力偶，则梁AD的弯矩方程：在截面C处施加竖直向下的单位力，梁AD的弯矩方程：ABAB段*12-19材料为线弹性，拉压刚度为EA的杆系及其承载情况分别如图12-28(a)和(b)所图b:结点B的水平位移和结点C的铅垂位移。图12-28解：(1)在题图已知原载荷的作用下，各杆的轴力为：在结点A、B间施加一对单位力，如图12-29(a-1)所示。此时，各杆的轴力为：结点A、B间相对位移由得：②求结点C、D间相对位移在结点C、D间施加一对单位力，如图12-29(a-2)所示。此时，各杆的轴力为：图12-29①求C点铅垂位移如图12-29(b-1)所示，在结点C处施加竖直向下的单位力，此时各杆轴力：②求B点的水平位移如图12-29(b-2)所示，在结点B处施加水平向右的单位力，此时各杆轴力：故结点B的水平位移：*12-20弯曲刚度为EI,扭转刚度为GIF的圆截面刚架及其承载情况分别如图12-30所示，图c:截面C的铅垂位移和角位移。图12-30解：(1)在原载荷作用下，折杆各段的弯矩方程：图12-31①求D截面水平位移如图12-31(a-1)所示，在D截面施加水平向右的单位力，如图12-31(a-1)所示，此时折根据单位力法得到D截面水平位移：②求D截面铅垂位移如图12-31(a-2)所示，在D截面施加竖直向下的单位力，此时折杆的弯矩方程为：如图12-31(a-3)所示，在D截面施加顺时针的单位力偶，此时折杆的弯矩方程为：根据单位力法可得到D截面角位移：(2)建立坐标系如图12-31(b-1)所示坐标系。杆系的弯矩方程为：(3)建立如图12-31(3)建立如图12-31(c-1)所示坐标系。BC段AB段故由单位力法可得C截面铅垂位移：②求C截面在平行于纸面的平面内的角位移如图12-31(c-2)所示，在C截面施加平行于纸面的单位力偶，可得折杆的弯矩和扭矩方程：段段故C截面在平行于纸面的平面内的角位移：负号表示方向与图中所施加单位力偶的方向相反，为顺时针。③求C截面在垂直于纸面的平面内的角位移如图12-31(c-3)所示，在C截面施加垂直于纸面的单位力偶，可得折杆的弯矩和扭矩方程：故C截面在垂直于纸面的平面内的角位移：方向与图中所施加单位力偶的方向相同。12-21试用单位力法求解习题12-15各分题中截面A的水平位移、铅垂位移及转角。解：(1)如图12-32(a)所示，在原载荷F作用下，曲杆的弯矩方程：①求A截面的铅垂位移如图12-32(a-1)所示，在截面A处施加竖直向下的单位力，则曲杆的弯矩方程：则由单位力法得A截面铅垂位移：图12-32如图12-32(a-2)所示，在截面A处施加水平向右的单位力，则曲杆的弯矩方程：③求A截面的转角如图12-32(a-3)所示，在截面A处施加顺时针的单位力偶，则曲杆的弯矩方程：则由单位力法得A截面转角：(2)如图12-32(b)所示，在原载荷F作用下，曲杆的弯矩方程：图12-32如图12-32(b-1)所示，在截面A处施加水平向左的单位力，则曲杆的弯矩方程：②求A截面的铅垂位移如图12-32(b-2)所示，在截面A处施加竖直向上的单位力，则曲杆的弯矩方程：则由单位力法得A截面铅垂位移：③求A截面的转角如图12-32(b-3)所示，在截面A处施加顺时针的单位力偶，则曲杆的弯矩方程：则由单位力法得A截面的转角：(3)做原图的俯视投影图，并以符号F表示力F。可得到在原载荷F作用下曲杆的内力方图12-32①求A截面的铅垂位移如图12-32(c-1)所示，在截面A处施加竖直向上的单位力，则曲杆的弯矩方程：则由单位力法得A截面铅垂位移：②求A截面在竖直平面内的转角如图12-32(c-2)所示，在垂直于截面A的竖直平面内施加单位弯曲力偶，则曲杆的弯矩则由单位力法得该平面内A截面转角：方向与图中所施加力偶的方向一致。③求A截面在横截面内的转角如图12-32(c-3)所示，在横截面A内施加扭转单位力偶，则曲杆的弯矩方程：12-22变截面梁及其承载情况分别如图12-33(a)、(b)所示，梁材料为线弹性，弹性模量为E,不计剪力的影响。试用单位力法求截面B处的挠度和截面A处的转角。图12-33解：(1)如图12-33(a)所示，建立如图坐标系。列梁在F力作用下各段的弯矩方程：图12-33①求截面B的挠度如图12-33(a-1)所示，在截面B处施加竖直向下的单位力，在该力作用下，梁弯矩方程：BC段则由单位力法得B截面挠度：②求截面A的转角如图12-33(a-2)所示，在截面A处施加逆时针的单位力偶，此时梁的弯矩方程：AB段(2)如图12-33(b)所示，建立如图坐标系。由于该梁结构和载荷具有对称性，取梁的左半部分进行分析计算即可，由此可列出梁在F图12-33如图12-33(b-1)所示，在截面B处施加竖直向下的单位力，在该力作用下，梁弯矩方程：如图12-33(b-2)所示，在截面A处施加顺时针的单位力偶，此时梁的弯矩方程：*12-23矩形截面b×h的简支梁AB,上表面温度为t1,下表面的温度由t₁升高至t₂(t₂>t1),且从上到下表面的温度按线性规律变化(如图12-34)。设材料的线膨胀系数为=,试用单位力法求端截面A的转角和跨中截面C的挠度。图12-34图12-35①求截面A的转角如图12-35(a)所示，在截面A处施加顺时针的单位力偶，根据图中所示坐标系得到此时②求截面C挠度如图12-35(b)所示，在截面C处施加竖直向下的单位力，根据梁和载荷的对称性，并由12-24两材料和截面b×h均相同的悬臂梁AC和CD,在C处以活动铰链相接，并在梁AC的跨中B处承受铅垂荷载F,如图12-36所示。设材料可视为弹性-理想塑性，屈服极限为=。图12-36解：(1)求解超静定梁将梁沿铰链C断开，代之以约束反力X,如图12-37所示。图12-37根据梁的变形，易知AC梁与CD梁在铰接点C处的位移相等，即有变形协调方程一=。(2)由上分析知，梁截面A先形成塑性铰，除固定端A外，另一截面也形成塑性铰时，结分析知截面D弯矩大于B截面弯矩，因此D截面较B先形成塑性铰，即结构达到极限状态第13章压杆稳定问题的进一步研究13-1起重机械中的一部件如图13-1(a)所示。试问：(1)当求部件的临界力=时，取图13-1(b)、(c)中的哪一力学模型较为合理?(3)若「,则按两种简图所得的一：之比为多少?图13-1解：(1)选取图13-1(c)所示力学模型较为合理。油缸虽不受压，但是由于活塞杆受压弯曲时，力的传递可能会导致油缸的失效，从而影响临界力的大小。(2)当图13-1(c)中所示压杆在微弯状态下保持平衡，其挠曲线如图13-2所示，建立如图13-2所示坐标系，可列出各段弯矩方程。图13-2各段挠曲线近似微分方程为：对于式③,根据边界条件可确定积分常数：①②③④⑤由边界条件,代入式②可得：⑥将⑦由式⑦解得=的最小非零解，并由可得压杆的临界压力值为：o(3)根据题意，若1,则代入式⑦可得：解得三最小非零解：故按图13-1(c)有压杆的临界压力：按图13-1(b)有压杆的临界压力：13-2一根下端固定、上端自由的细长等直压杆如图13-3(a度中央增设旁撑(图b),使其在该处不能横移。试求加固后压杆的欧拉临界力计算公式，并图13-3图13-4解：对于图13-3(b)在微弯状态下保持平衡，其挠曲线由AB、BC两部分组成，建立坐标系，如图13-4所示。①②③对于式①,由边界条件可确定积分常,且有：④,代入各一阶导方程中得：,代入各一阶导方程中得：该方程的最小非零解：加固前该压杆的临界压力：加固前后临界力的比值：13-3杆系中AB为细长杆，其弯曲刚度为EI,BD为刚性杆，两杆在B点处刚性连接，如图13-5所示。试求杆系在xy平面内发生弹性失稳时的临界力。图13-5图13-6解：杆系中当AB处于微弯状态时，其挠曲线如图13-6所示。此时，在临界力作用下，由平衡方程可得支座反力：建立如图13-6所示坐标系，可得AB杆的弯矩方程：则其挠曲线近似微分方程为：上式变形为：上式的通解及其一阶导：①根据边界条件可得：,代入式①中得：即13-4三根直径及长度均相同的圆截面杆，下端与刚性块固结，两侧的两杆(杆2)上端固定，中间杆(杆1)上端自由，并在该自由端作用有轴向压力F,如图13-7(a)所示。各杆微弯后的侧视图如图13-7(b)所示。图13-7示的坐标系及挠曲线形状列出的下列挠曲线微分方程，特别是其即(2)上两列微分方程的解分别为为求杆系能在微弯形态下保持平衡的最小压力，亦即临界力将下列五个条件代入以上四式，然后根据A1、B1、A2、B2、δ不能均为零，亦即挠曲线存在的条件来求F。试分析x=0,(0)=0;x=0,F(O)=0;x=1,=(1解：(1)该分析过程是正确的。根据图13-7(b)所示坐标系可得杆1、2的弯矩方程分别为：(2)该分析过程是正确的。①②(3)该分析过程是正确的。将边界及连续性条件代入方程②、③,整理后得：④⑤若使一底有非零解，则必须使④、⑤组成的13-5一端固定、另一端自由的大柔度直杆，压力F以小偏心距e作用于自由端，如图13-8图13-8解：(1)当杆受偏心压力作用而弯曲时，其任一横截面x处的弯矩：①(2)分析该梁可知，最大弯矩值发生在梁的固定端截面上，由弯矩方程可得：(3)杆内最大正应力发生在杆的固定端截面上的凹侧边缘，值为：解：杆在轴向压力F和横向力F₁的作用下发生纵横弯曲。(1)建立如图13-10所示的坐标系，任意x截面的弯矩：杆的挠曲线微分方程：令,上式可变形为：上述微分方程的通解及其一阶导为：由边界条件确定积分常数：得杆的挠曲线方程：显然，最大挠度发生在自由端，即整理上式并解得：(2)最大弯矩发生在梁的固定端截面上，由弯矩方程可得：其中，将最大挠度值代入可得：(3)杆的最大正应力发生在固定端截面的凹侧边缘上，且为压应力，其值为：与之对应的强度条件：13-7直径d=200mm的大柔度实心圆截面杆，受力如图13-11所示。已知F=4.5kN,木材的弹性模量E=10GPa。试求杆的最大正应力。图13-11解：将作用力分解为沿轴线方向的力T和垂直于轴线方向的力I,由此利用习题13-6的解知杆的最大正应力为压应力，且：①其中，杆横截面面积：横截面的惯性矩：杆的弯曲截面系数：将各数据代入式①可得该杆的最大正应力：13-8矩形截面简支梁，受轴向压力和横向力共同作用，如图13-12所示。已知F₁=40kN,F=2kN,b=40mm,h=80mm,E=200GPa。试求梁的最大正应力。图13-12解：由对称性可知，梁的最大正应力发生在梁跨中截面处，且：①其中，梁的最大挠度=根据叠加原理可得：梁在轴向力梁在轴向力F₁单独作用下，在xy平面内失稳时的临界力=:由力F引起的梁跨中截面的弯矩值为：截面几何性质：横截面面积：横截面对中性轴z轴的惯性矩：第14章应变分析、电阻应变计法基础14-1一矩形截面b×h的等直杆，承受轴向拉力F,如图14-1所示。若在杆受力前，其表面画有直角∠ABC,杆材料的弹性模量为E、泊松比为v,试求杆受力后，线段BC的变形及图14-1根据剪切胡克定律得直角一的改变量：14-2一边长为10m的正方形平板，变形后各边仍为直线，其形状如图14-2所示。试求平板解：绘制坐标轴=,根据已知,和三值分别作垂直于轴的的直线再从应变圆上量得,故一=一，方向如图14-3所示。图14-3==400×106,F=14-4用45°应变花测得构件表面上某点处又因为为。已知杆材料的弹性常数E=200GPa,v=0.25;圆杆的直径d=100mm。试求扭转外力偶矩Me。图14-4解：(1)受扭圆杆横截面上的最大切应力二其中，根据剪切胡克定律可得外力偶矩M二根据题意可知==,故根据主应变计算公式可得：则外力偶矩：14-6由电阻应变计法测得钢梁表面上某点处F=500×10⁵,三=-465×10⁵,已知：E=210GPa,v=0.33。试求二及一=值。解：钢梁表面的某点处于平面应力状态，一|:=,由广义胡克定律得：联立以上两式得：14-7有一处于平面应力状态下的单元体，其上的两个主应力如图14-5所示。设E=70GPa,v=0.25。试求单元体的三个主应变，并用应变圆求出其最大切应变口。图14-5解：根据题意可知，单元体上的主应力：由广义胡克定律得，单元体上的三个主应变为：绘制坐标轴,故最大切应变：图14-614-8一直径d=20mm的实心钢圆轴，承受轴向拉力F与扭转力偶矩Me的组合作用，如图14-7所示。已知轴材料的弹性常数E=200GPa,v=0.3,并通过45°应变花测得圆轴表面上a点处的线应变为a点处的线应变为：32×10,图14-7解：(1)圆轴上的轴向拉力：(2)受扭圆杆横截面上的最大切应力o其中，根据剪切胡克定律t-G/w,可得外力偶矩o综上可得外力偶矩：14-9在一钢结构表面的某点处，用45°应变花测得三个方向的线应变为用=42×10年，90°=-10×10=。结构材料的弹性常数E=210GPa,v=0.28。试用应变圆求主应变，并求该点处主应力的数值及方向。解：绘制坐标轴根据已知分别作垂直于E轴的直线三、三、三，分别交E轴于点A、B、C。平分AC得圆心O₁,在直线「取一=,以O₁A₁为半径作应变圆，交8轴于点一=,如图14-8所示。图14-814-10在一液压机上横梁的表面上某点处，用45°应变花测得三=51.6×10E,一==为铸铁，E=110解：绘制坐标轴,根据已知80,8和8分别作垂直于E轴的直线La、L、L,分别交8轴于点A、B、C。平分AC得圆心O₁,在直线La上取AA₁=BO₁,以O₁A₁为半径作应变圆，交ε轴于点D₁、D₂,如图14-9所示。图14-9根据广义胡克定律求得主应力：=1000×10°,=-650×106,曰=750×10⁶,试求该点处沿x,y方向的应变分量，图14-10解：根据任意角度的应变计算公式：图14-11联立以上三式，解得该点的应变分量：又由主应变计算公式可得主应变大小：14-12在一液压机上横梁的表面上某点处，用60°应变花测得三个方向的线应变为80°=28.5×10,60=-2.0×10F,==10.0×10F。已知液压机材料的弹性常数E=210GPa,v=0.3。试用应变圆求主应变，并求该点处主应力的数值及方向。上任一点B作直线BA、BC,与L夹角均为60°,并且分别交La、L于点A、C。分别作线段BA、BC的中垂线，交于点O₁,以O₁为圆心，以O₁A为半径做应变圆，交E轴于Di、D₂两点，如图14-11所示。主应力与主应变的方向相同，即二==。第15章动荷载、交变应力15-1用钢索起吊P=60kN的重物，并在第一秒钟内以等加速上升2.5m。试求钢索横截面上图15-115-2一起重机重P₁=5kN,装在两根跨度I=4m的20a号工字钢梁上，用钢索起吊P₂=50kN的重物。该重物在前3s内按等加速上升10m。已知[o]=170MPa,不计梁和钢索的自重，试图15-2根据动静法，重物受惯性力重力P₂以及钢索拉力F三，且梁中最大弯矩发生在梁跨查型钢表可知20a工字钢的弯曲截面系数故跨中截面上梁的最大正应力为：15-3用绳索起吊钢筋混凝土管如图15-3所示。如管子的重量P=10kN,绳索的直径d=40mm,许用应力[o]=10MPa,试校核突然起吊瞬时绳索的强度。图15-3图15-4解：分析吊钩受力，如图15-7所示，可知：若缓慢吊起，则一，绳索中的最大应力：若突然吊起，当同时，绳索的应力：故当突然起吊加速度超过重力加速度g时，绳索不满足强度要求，是不安全的。15-4一杆以角速度w绕铅垂轴在水平面内转动。已知杆长为1,杆的横截面面积为A,重量为P1。另有一重量为P的重物连接在杆的端点，如图15-5所示。试求杆的伸长。图15-5图15-6杆的受力分析如图15-6所示。杆上距转动中心x处的轴向惯性力分布集度,由此可得长为F杆的惯性力：15-5调速器由水平刚性杆AB和弹簧片BC刚性连接而成，并在弹簧片的自由端C装有重调速器工作时，以匀角速度绕轴O-0旋转，试由弯曲正应力强度求调速器的许可转速，以图15-7根据强度条件此时C点的挠度：15-6图15-8所示机车车轮以等角速n=300r/min旋转，两轮之间的连杆AB的横截面为矩连杆AB横截面上的最大弯曲正应力。图15-8解：根据题意可得，车轮转动的角速度：AB杆作平移，当连杆AB运动到最低位置时，惯性力方向向下，梁上的均布载荷q最大，连杆上的最大弯矩发生在跨中截面上，为：代入数据得故连杆AB上最大正应力：15-7图15-9所示重量为P、长为1的杆件AB,可在铅垂平面内绕A点自由转动。当杆以等角速w绕铅垂轴y旋转时，试求：(2)杆上离A点为x处横截面上的弯矩和杆的最大弯矩；图15-9根据动静法，由根据动静法，由AB杆的平衡条件：可得即(2)如图15-10(a)所示，杆上x处截面的弯矩为：综上，当一时，二(舍去);图15-10(3)弯矩图如图15-10(b)所示。由(2)知，处有弯矩极大值，且根据弯矩二阶导数为零，求得在处出现拐15-8在直径d=100mm的轴上，装有转动惯量Io=0.5kNm.s²的飞轮，轴以300r/min的匀角速度旋转，如图15-11所示。现用制动器使飞轮在4秒内停止转动，不计轴的质量和轴承图15-1115-9重量为P=5kN的重物，自高度h=15mm处自由下落，冲击到外伸梁的C点处，如图15-12所示。已知梁为20b号工字钢，其弹性模量E=210GPa,不计梁的自重，试求梁横截图15-12截面惯性矩：=,弯曲截面系数：如图15-12所示，在重物P静载作用时，C点的挠度：重物P静载作用时，梁在B截面处有最大弯矩，产生的最大静应力：15-10图15-13所示为等截面刚架，重物(重量为P)自高度h处自由下落冲击到刚架的A点处。已知P=300N,h=50mm,E=200GPa,不计刚架的质量，以及轴力、剪力对刚架变形的影响，试求截面A的最大铅垂位移和刚架内的最大图15-13则重物P自由下落，冲击动荷因数为：15-11重量P=2kN的冰块，以v=1m/s的速度沿水平方向冲击在木桩的上端，如图15-14图15-1415-12长度为1,横截面面积为A的钢杆，以速度v=2m/s水平撞击刚性壁，如图15-15所示。设钢的密度p=7.95×10³kg/m³,弹性模量E=210GPa。若钢杆冲击时产生的横截面上图15-15冲击时，冲击物的动能转化为变形能，根据能量守恒一得：15-13长度为F、弯曲刚度为EI的悬臂梁AB,在自由端装有绞车，将重物P以匀速v下降。当钢绳下降至长度为时，钢绳突然被卡住，如图15-16所示。若钢绳的弹性模量为E,横截面面积为A,试求钢绳横截面上的动应力。图15-16解：悬臂梁AB对应端点B挠度的刚度系数;钢绳的刚度系数其中，系统动能减少量：;势能减少量：式中，=为系统总变形引起的重物位移，Ast为重物静载引起的重物位移重量为P₁=15N的物体上，如图15-17所示。已知弹簧的平均直径D=40mm,簧杆直径d=6mm,弹簧有效圈数n=12,其切变模量G=80GPa。若将冲击物P和物体P₁当作刚体，弹簧图15-17解：设P撞上P₁后，速度为vi,则根据动量守恒定理有,则：冲击物P和物体P₁的动能变化：15-15一截面为矩形b×8、平均半径为R的圆环，绕铅垂轴O-0以等角速度w旋转，如图15-18所示。圆环材料的密度为p,弹性模量为E,不计轴力和剪力的影响，试求：图15-18解：(1)根据圆环结构和载荷的对称性，取圆环的二分析即可。图15-19(a)如图15-19(a)所示，为求得B截面转角，在B截面施加一逆时针的单位力偶，可得弯矩则AB段弯矩方程为：(2)在A、C截面上施加一对反向单位力，如图15-最大应力最小应力应力比图15-200015-17图15-21(a)所示为直径d=30mm的钢圆轴，受横向力F₂=0.2kN和轴向拉力F₁=5kN的联合作用。当轴以匀角速o转动时，试绘出跨中截面上k点处的正应力随时间变化的曲图15-21由此可绘制k点正应力随时间变化的曲线如图15-22所示。图15-22图15-2215-18某装配车间的吊车梁由22a号工字钢制成，并在其中段焊上两块横截面为120mm×10mm、长度为2.5m的加强钢板，如图15-23所示。吊车每次起吊50kN的重物，在略去吊车及钢梁的自重时，该吊车梁所承受的交变荷载可简化为F三=50kN,F三=0。已知焊接段横截面对中性轴z的惯性矩IF=6574×10-8m⁴。焊接段采用手工焊接，属于第3图15-23解：(1)计算跨中截面危险点的应力幅时，跨中截面下边缘上有最大拉应力，且：故应力幅MPa。(2)确定许用应力幅查教材表6-1得第三类构件：故焊接量的常幅疲劳许用应力幅：综上，工作应力幅小于许用应力幅，故梁满足疲劳强度要求。第16章材料力学性能的进一步研究16-1含有长度为2a的I型贯穿裂纹的无限大平板，材料为30CrMnSiNiA,在远离裂纹处受均匀拉应力σ作用，如图16-1所示。已知材料的平面应变断裂韧性=(84MPa)三，裂纹的临界长度a=8.98mm。试求裂纹发生失稳扩展时的拉应力σ值。图16-1解：当裂纹发生失稳扩展时，裂纹达到临界长度ac,根据脆断判据有：16-2用矩形截面纯弯曲梁来测定材料的平面应变断裂韧性值时，所用梁的高度为b=90mm,图16-2第三部分章节题库第10章弯曲问题的进一步研究1.如图10-1所示薄壁截面梁承受分布载荷q的作用，已知粱的长度为1,两端简支，支座虑约束扭转的影响)。图10-1解：(1)求弯曲中心位置在与y轴夹角处θ处，其剪应力为①图10-2由图12-4得设弯曲中心在A点处，取O点为力矩中心得则将分布载荷向弯曲中心简化后，梁承受平面弯曲载荷q所示图10-3B截面的弯矩为最大拉应力在b点，最大压应力在b'点B截面的扭矩为最大扭转剪应力发生在周边处，在θ=0处沿壁厚的分布及方向如图10-4所示。图10-4弯曲剪应力在θ=0处最大，故B截面的最大弯曲剪应力为方向如图10-5所示，沿壁厚均匀分布图10-5图10-6因此B截面剪应力分布如图10-6所示，最大剪应力为2.试确定如图10-7所示开口薄壁圆环截面的剪心位置。图10-7图10-8解：如图10-8所示，剪心E在对称轴z上，下面确定E与y轴的距离ez。截面对z轴的惯角度为一之间圆弧截面对z轴的静矩为3.一木梁因承载力不足，在梁的顶部和底部用钢板加固，如图10-9(a)所示，钢板和木材的弹性模量和许用应力分别为E₁=210GPa,[σ]₁=160MPa,E₂=10.5GPa,[o]₂=10Mpa。试图10-9其相当截面见图(b),对中性轴z的惯性矩为得得4.试确定图10-10所示各截面的弯曲中心。图10-10解：图10-10(a),(b)所示截面均有一个对称轴z,所以弯曲中心必在截面的对称轴z因弯曲变形而引起弯曲切应力。且当剪力方向指向下时，切应力流的方向如图(a),(b)的切向内力必然沿着它的中线。两个矩形上的内力相交于它们中线的交点A,于是整个截面的切向内力系的合力，亦即截面上的剪力，也必然通过这个交点A,所以这一交点A就是5.图10-11所示槽形截面梁在xy面内产生平面弯曲(这里x代表梁的轴线方向，y代表横截面的非对称形心主轴，xy面为梁的非对称形心主惯性平面)。已知横截面上剪力为Fs,图10-11解：(1)求翼缘与腹板上的弯曲切应力。上、下翼缘与腹板上任一点的弯曲切应力均可用公式进行计算，其中S的计算变量不同。对于上下翼缘，为翼缘面积对中性轴的静矩，变量为中线弧长s,其值为对于腹板，三为腹板面积对中性轴z的静矩，变量为y,其值为记槽形截面对中性轴z的惯性矩为Iz,由此可得翼缘和腹板上的切应力分别为其方向由切应力流确定，如图10-11(b)所示。(2)绘制弯曲切应力沿截面中线的分布规律图。图10-126.图10-13所示外伸梁，承受集中载荷F与矩为Me的力偶作用，且Me=FA,试利用奇异函数法计算横截面A的挠度。设弯曲刚度EI为常数。图10-13①将上述条件分别代入式①,得积分常数：将所得积分常数值及x=0代入式①,即得截面A的挠度为7.一圆形薄壁梁，横截面如图10-14所示，剪力Fs位于对称轴y,且方向向上，试画横截图10-14解：(1)问题分析。对称弯曲时，横截面上的弯曲切应力分布对称于截面的纵向对称轴y,因此，在该对称轴上各点处，不存在垂直于该轴方向的切应力。由此可见，圆环形闭口薄壁梁纵向对称轴上A点处的弯曲切应力为零，其切应力分布与A处开口的圆环形薄壁梁相同(图(b)所示)。(2)建立弯曲切应力方程。如图(a)所示，设中心线上任一点B的位置用极角表示，则该点处的弯曲切应力为②将式②与上式代入式①,于是得(3)计算最大弯曲切应力。根据式③,得圆环形薄壁梁的弯曲切应力分布如图(c)所示。8.图10-15所示悬壁梁，左半部承受集度为q的均布载荷作用，试利用奇异函数法建立梁的挠曲线方程。设弯曲刚度EI为常值。图10-15解：为了利用奇异函数建立弯矩的通用方程，将作用在梁左半部的均布载荷q,延展至梁的右端C(图(b)所示),同时，在延展部分施加反向同值均布载荷，于是得弯矩通用方程为将上述条件分别代入式①与②,得积分常数：将所得C与D值代入式②,得挠曲线的通用方程为由此得AB与BC段的挠曲线方程分别为第11章考虑材料塑性的极限分析1.在图11-1所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为A。试求使结构开始出现塑性变形的载荷F₁、极限载荷Fp。图11-1①载荷继续增加，中间杆的轴力FN₃保持为Aos,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力Fn,也达到Aos,相应的载荷即为极限载荷Fp。这时由节点的平衡方程知。加载过程中，载荷与点位移的关系已表示2.在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变形时的弯矩M₁和极限弯距Mp。图11-2矩形截面和圆截