2024年北京东城区高一上学期期末考数学试题含答案解析

第1页/共1页北京东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测高一数学2024.1本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共30分）一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合,，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，与是同一函数的是（）A. B. C. D.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.4.下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则5.若，，则的值为（）A. B. C. D.6.下列函数中，满足对任意的，，都有的是（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）.A. B. C. D.8.“角与的终边关于直线对称”是“”的（）A充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（）（参考数据：，）A.20 B.16 C.12 D.710.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共70分）二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.11.函数的定义域为______.12.设，则最小值为__________.13已知，若，则______．14.在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为____________．15.已知函数，则______2（用“”“”“”填空）；的零点为______.16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：共5小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.设全集，集合，．（1）求；（2）当时，求；（3）若，都有，直接写出一个满足条件的m值．18.已知函数．（1）当时，①求的值；②求的图象与直线的交点坐标；（2）若的值域为R，求实数a的取值范围．19.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求的解析式及单调递减区间；（2）当时，求的最小值及此时x的值．20.已知是定义在上的奇函数，当时．（1）求的解析式；（2）根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．21.某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．（1）求出S关于的函数解析式；（2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数）东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测高一数学2024.1本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共30分）一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合,，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交运算法则直接计算即可.【详解】因为集合,，所以，故选：B.2.下列函数中，与是同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案.【详解】函数的定义域为，对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确；对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误；对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误；对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误.故选：A.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解.【详解】对于A，为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A正确，对于B，为非奇非偶函数，故不符合，对于C，为反比例函数，在和均为单调递增函数，但在定义域内不单调递增，故不符合，对于D，在单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合，故选：A4.下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】取特殊值结合不等式性质，逐项判断即可.【详解】对于A,若取，则，即，故A错误；对于B，令，则有，故B错误；对于C，令，则有，故C错误；对于D，根据不等式性质可知D正确，故选:D.5.若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系及诱导公式进行计算即可.【详解】因为，，所以，则，故选：C.6.下列函数中，满足对任意的，，都有的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案.【详解】对于A：若，则，，，成立；对于B：若，由，得，取，得不成立；对于C：若，由，得，取，得不成立；对于D：若，由，得，取，得不成立.故选：A7.已知，，，则（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过化简，并比较与1的大小即可得出结论.【详解】由题意，，，所以.故选：D.8.“角与终边关于直线对称”是“”的（）A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.【详解】角与的终边关于直线对称,则,,则，“角与的终边关于直线对称”是“”的充分必要条件.故选:A9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（）（参考数据：，）A.20 B.16 C.12 D.7【答案】B【解析】【分析】由可得，再代入，求解即可.【详解】根据题意可得，则，，则经过n年时，有，即，则，所以，则.故选：B.10.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求．【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，，所以时，函数单调递增，,所以的解集,,，的解集，当时，的解集,,，时的解集,,，则不等式可转化为或，解得或或．故选：C．第二部分（非选择题共70分）二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.11.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】要使函数有意义，则应有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.12.设，则的最小值为__________.【答案】5【解析】详解】，当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知，若，则______．【答案】【解析】【分析】先由指数式化为对数式可得，，再利用即可求的值.【详解】由，可得：，，所以，则，故答案为：14.在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】不妨考虑第四象限角，由，取，此时，故答案为：（答案不唯一）15.已知函数，则______2（用“”“”“”填空）；的零点为______.【答案】①.②.【解析】【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点.【详解】，由得，所以，所以，所以函数的零点为.故答案为：，16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】根据新定义分析得到的图象，即可判断①②③；将方程有且仅有3个根转化为与的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④.【详解】因为符号表示不超过x的最大整数，若函数，所以当时，，则；当时，，则；当时，，则，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；所以函数的图象如图所示：

对于①，由上面的图象可知，①是正确的，对于②，由上面的图象可知，②是错误的，对于③，由上面的图象可知，③是正确的，对于④，由上面的图象可知，，，，因为方程有且仅有3个根，等价于与的图象有个交点，结合图象可知，当或.故答案为：①③④.三、解答题：共5小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.设全集，集合，．（1）求；（2）当时，求；（3）若，都有，直接写出一个满足条件的m值．【答案】（1）或（2）（3）3（答案不唯一）【解析】【分析】（1）解出集合,直接求解即可；（2）根据集合的并运算直接求解即可；（3）根据条件可知，列出条件，可解得m的范围，在范围内写出一个值即可.【小问1详解】因为，，所以或.【小问2详解】当时，，则.【小问3详解】，若，都有，则,所以，则，故的值可以为3（答案不唯一）.18.已知函数．（1）当时，①求的值；②求的图象与直线的交点坐标；（2）若的值域为R，求实数a的取值范围．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）①直接利用代入法即可求解；②令分别求出x，即可求解；（2）分别求出两段函数的值域，然后并集为R即可求解.【小问1详解】①当时，，所以，当时，，所以，所以；②当时，，得，解得；当时，，即，解得或-1（舍去），所以函数的图象与直线的交点坐标为；【小问2详解】当时，，所以，即当时，；当时，，由，得，即当时，，所以，得，解得，即实数a的取值范围为.19.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求的解析式及单调递减区间；（2）当时，求的最小值及此时x的值．【答案】19.；20.0；【解析】【分析】（1）结合图象，根据最小值可求得,根据周期可求得，利于图象上点可求得，继而求得解析式，整体代换可求得单调减区间；（2）根据变量范围，结合函数单调区间可直接求得的最小值及此时x的值.【小问1详解】根据函数的最小值可知,又,所以，此时，又过点，所以，所以，结合，所以，故.令,得，所以的递减区间为.【小问2详解】当时,，所以当时，取最小值0，此时20.已知是定义在上的奇函数，当时．（1）求的解析式；（2）根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）证明见详解；在上的单调递减（3）【解析】【分析】（1）当时，利于奇函数的定义求解即可；（2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性；（3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为恒成立，利于，解不等式即可.【小问1详解】依题是定义在上的奇函数，当时，当时，，则，所以.【小问2详解】当时，，任取，且，则，因为，且，所以，故，即，所以在上单调递减，根据奇函数的性质可知在上的单调递减.【小问3详解】因为，化为，即，根据在上的单调递减，则，在时恒成立，即恒成立，故，解得，故实数k的取值范围为.21.某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度工（