2024年中考数学几何专项练习：相似模型一线三等角及“K”模型（解析版）

中考数学几何专项练习:

相似模型一一线三等角及“K”模型

一、单选题

1.如图，ABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AB上,NA0E=6O。，若BD=4DC,£>£=2.4,

则的长为（）

BD(

A.1.8B.2.4C.3I).3.2

【答案】C

4

【分析】证明根据题意得出4O=18C,进而即可求解.

【详解】解：•・•一/RC为等边三角形，

・•・ZB=ZC=60°,

•：ZADB=ZADE+/BDE=NC+/DAC,ZA£)E=60°,

:./BDE=4DAC,

：.4ADCSADEB

.ADAC

''~DE~~BD

•・•BD=4DC,

4

:.BD=-BC,

,ADAC=-^-=-

..丽=茄4

,:DE=2.4

:.AD=-xDE=3,

4

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是

解题的关键.

2.矩形ABC。中，AB=5,AO=2,点夕是CO上的动点，当NAP3=90。时，。。的长是（).

A.1B.3C.1或3D.1或4

【答案】D

PCRC5-DP

【分析】结合矩形的性质，证明BPC-pw）,即可得.二黑，进而可得—L=g2,问题随之得解.

AL）Ui2Di

【详解】•••矩形A5CD中，A8=5,AD=2,

/.ZD=ZC=90°,AB=5=CD,AD=2=BC,

:.PC=CD-DP=5-DP,

•・•ZAPB=90°,

/DPA+/BPC=180°-ZAP^=90°,

•・•在R1一A0P中,ZDPA+NDAP=90。,

・•・ABPC=/DAP,

又•：ZD=ZC=90°,

:.BPCsPAD,

.PCBC

，，~AD~~DP，

.5-DP2

..-----=---,

2DP

整理：QP2-5QP+4=O,

解得：DP=4,或者OP=1,

故选:D.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，证明

,BPCs./A。是解答本题的关键.

3.如图，在一ABC中，AB=AC=6,BC=8,点〃是BC边上的一个动点，点£在AC上，点〃在运动过

程中始终保持N1=N8.当E4=ED时，则BO的长为（）

A

77

A.2B.-C.3i）.-

32

【答案】D

【分析】证明△C4OS4CBA,得出要二挈，即於平，求出6=3,得出BO=BC—CO=L

CBCA8622

【详解】解：・・・石4=瓦），

/./EAD=/I,

,:N1=N8,

/.ZE4D=ZB,

・：ZC=ZC,

・•・^CAD^CBA,

.CA_CD

••而一~CA"

・6_CD

**8-6'

9

：.CD=-

2t

7

:.BD=BC-CD=-,

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法.

4.如图，在矩形43C。中，A8=6,将点3折叠到CD边上点E处，折痕为人尸，连接AE,EF,若点E是

。。中点，则C/长为（）

D

A.45B.1C.2I）.3

【答案】A

【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到A。，DE,CE的长；再根据利用对应边

成比例即可得CF的长.

【详解】解：,•矩形A8CD中，A8=6,

:.CD=6，

又，.E是。。的中点，

DE=CE=3,

RtZVlOE中，4D=V62-32=3^»

由题可得，ZD=ZC=Z4EF=90°,

/.ZAED+^CEF=90°=4EFC+乙CEF，

;.ZAED=NEFC,

；..ADES：,EFC,

CFCEtinCF_3

DEDA33>/3

解得CF=75,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，翻折变

换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

5.如图，在等边ABC中，点。,E分别在边8cAe上，NA0E=6O。，若AO=4,券=],则。月的长度

CE2

为()

A

33

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论.

【详解】解：为等边三角形，

.\ZB=ZC=60o.

，+=180°—=120°.

.ZADE=60°,

：.ZADB+ZEDC=\^r-ZADE=\2(r,

：.ZADB+/BAD=ZADB+NEDC,

:.NBAD=/EDC,

:.△BAD^ACDE,

.BDAD

..----=-----,

CEDE

43

••---=一，

DE2

:.DE=-.

3

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角

形的判定与性质.

二、填空题

6.如图，在边长为女m的菱形ABCD中，Z4BC=120°,将菱形沿左翻折，使点力的对应点G落在对角

线B£＞上.若尸O=lcm,则凡；的长为cm,的长为cm.

D

【答案】2713-2/-2+>/13

【分析】根据菱形的性质，折叠的性质，以及4450=60。，可以得到△A8O为等边三角形，根据三角形内

角和和平角的意义，得出MEGDGF,对应边成比例三=工，设A£=x,EG=x,EB=3—x,由比

DFGF

例式列出方程，再根据AEvAB,解出x=5-拒，即可解答.

【详解】由折叠的性质可知EG=K4,FA=FG,

:.FA=FG=AD-DF=2,

・•・四边形A8CO是菱形，

:.A£>=AB=3,^ABD=Z.CBD=^ADB=-ZA8C=60°,

2

・•・△A6D为等边三角形，

AD=AB=3,N/G£=ZA=60。，

・•・ADGF+4EGB=180°-匕FGE=120°,

乂ZABD=60。,

Z.^EGB+^BEG=180°-ZABD=120°,

:.乙BEG=/DGF,

■:/FDG=ZABD=60°,

:.BEGDGF,

,BGEG

''~6F=~GF'

设AE=x,EG=x,EB=3—x,

.BGx

・・--=—,

12

即BG=-,

2

-BGEG

又而=而‘

3-xx

即2x-2，

2

解得工=5±y/\31

•・•AE<AB,

即x<3,

Ax=5-V13,

S£=3-x=3-（5->/i3）=^-2.

故答案为：2；>/?3—2.

【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和，平角的意义，

相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据比例式列方程.

7.如图，四边形ABCD中，AB〃CD,ZC=90u,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上-一动点，若APJ_DP,

则BP的长为.

【分析】设BP二x,则PC=3-x,根据平行线的性质可得NB=90°,根据同角的余角相等可得NCDP二NAPB,

即可证明△CDPS/^BPA,根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案.

【详解】设BP=x,则PC=3-x,

•・・AB〃CD,ZC=90°,

・・・NB=1800-ZC=90°,

・・・NB=NC,

VAPIDP,

AZAPB+ZDPC=90°,

VZCDP+ZDPC=90°,

・•・NCDP:NAPB,

・•・ACDP^ABPA,

ABPB

••=9

PCCD

VAB=1,CD=2,BC=3,

.I_x

**3-x-2,

解得：x)=l,X2=2,

・・・EP的长为1或2,

故答案为：1或2

【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键.

8.如图，在边长为6的等边△/1函中，〃是边比上一点，将△/3沿用折叠使点力与点〃重合，若如：游2:

3,则CF=.

【答案】2.4

【分析】根据折叠的性质可得/幽伫/4DQAF,再由等边三角形的性质可得N600,NBDEOCD出

/BDE+/BED=120°,从而得到NCO4N8劭,进而得到△加应叨，再由协：庐2:3,可得到

脸书4即£?=即可求解・

DFDE36-CF3

【详解】解：根据题意得：NEDF=NA,D2AF,

•••△力比是等边三角形，

白60°,

:・4ED六600,

:ZBDE+/CDE8G0-/ED产120°,

•・・/年60°,

:・/BDE+NBED=\8y-Z^=120°,

:./BDE+4CDF=4BD*乙BED,

:・CCDF=4BED,

:NDEs^CFD,

.BDDECFBD2

••,kn|nJ=9

CFDFDFDE3

•・•等边△力比1的边长为6,

CF

A-5—=2-，解得：b=2.4.

0—Cr3

故答案为：2.4

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角

形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

9.如图，点〃是等边二ABC边BC上一点，将等边二A3。折叠，使点力与点〃重合，折痕为EF(点£在边

上).(1)当H)_L8C时，AE:EB=；(2)当8O=2DC时，AE:EB=.

【答案】瓜17:5

【分析】(1)由等边三角形的性质得到NA=N8=60。，由折叠的性质得到A£=OE,ZEDF=ZA=60°,

再由㈤_L8C推出N8瓦)=90。，可得==由此即可得到答案；

(2),用攵表示。C和8。，然后证明，班”.。£＞尸，利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相

似比，即可求出座，然后用攵表示AE即可得到结果.

【详解】解：(1)•・•三角形./BC是等边三角形，

AZA=ZB=60°,

由折置的性质可得4石=OEZ£DF=ZA=60°,

•・•FD工BC,

・•・ZFDB=90°,

:./EDB=30。,

・•・/BED=90。,

:.AE=DE=6BE,

・•・AE：EB=GI，

故答案为：\/3：1

设CD=k,BD=2k,

・•・AB=AC=3k,

•・•“WC为等边三角形，

，ZA=ZB=60°,

由折番的性质可得/即/=/4=60。，AF=DF,AE=DE,

CR.-n=BE+DE+BD=BE+AE+BD=5k,CcnF=CD+DF+CF=AF+CF+CD=4k,

ZEDB+ZFDC=ZBED+ZEDB=120°,

/BED=NFDC

ZB=ZC=60°,

BED^..CDF，

BE二CBED

DCCCDF

BE5k

=,

k4k

5s7

BE=-k,AE=3k--k=-k

444f

AE:BE=7:5；

故答案为：7:5.

【点睛】本题考查了三角形与折叠问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形

的判定与性质，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题关键.

10.如图，已知48。是等边三角形，AB=6,点D,E,尸分别在ABICAC上，BD:BE=2:3,OE同时

平分和「，则竺二

Z5EFZZ?D，/切的长是

FD

A

【答案】Q7

【分析】根据。石同时平分4所和血尸得到N8E£>=NfW，/BDE=/FDE,再由OE=£D,证明

△BDEMFDE,由三角形全等性质。F=8Q,EF=BE,再根据已知条件80:8E=2:3即可■得到结论，根

据△BOEw△打把和A8c是等边三角形，证明ADF〜CFE,设CE=x,利用三角形相似比构建方程求解

即可.

（详解】DE同时平分ZBEF和ZBDF得到ZBED=ZFED,

「•立BDE=NFDE,

/BED=NFED

NBDE=4FDE,

DE=ED

BDE@FDE^ASA）,

DF=BD,EF=BE,

XBD:BE=2:3,

•EF—BE—3

一而一茄一5

故答案为：y

△BDE三AFDE

./WC是等边三角形，

:?DBE?DFE?A?C60?,

•.?AOF?AFD?CFE?AFD120?,

A1ADF?CFE,

ZAFD=4CEF,

ADF~,CFE,

•_E_FFCEC3

'~DF~~AD~~AF~2,

设8Z)=力产=2t,BE=EF=3x,

AB=6

•*-AD=6-2x»EC=6-3x,

,6-2x—2x—AT7

FC3x6-3x*

FC=9-3x,AF=4-2x,

/.9-3x+(4-2x)=6,

5

14

故答案为：g.

J

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质及等边三角形

的性质，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等与三角形对应边的比是解题的关键.

11.如图，将菱形ABCD绕点、A逆时针旋转到菱形ABCD的位置，使点夕落在BC上,BC与。。交于点E,

若AB=5,BB'=3,则CE的长为.

【分析】过。作交B'C于E根据菱形和旋转的性质求得.AHA'SABNC,ABB's”BTC,可得

CF和的长，再由CFEjDCE求得CE和DE的比即可解答：

【详解】解：如图，过。作b〃CZ>'交8。'于凡

AHC,。'是菱形，则A9〃C。，

,

；・CF//ABt

・"BFC=ZAB'F,NB'CF=ZA8fB,

V?AZJit?8,

:./B'FC=/B,

:.ABBjBFC,

：.A&:B'C=BB':FC,

/W'=5,BB'=3,则3'C=2,

:.FC=|,

由旋转性质可得NBA力=2DAB，

'/AB=A^=AD=AD',

:.一ABHWADU,

:.BB'=DU=3,

ADC=2,

*：CF//Ciy,

：.CFE^DCE,

・•・CF:DC=CE:DE=^:2=3:5,

315

ACE=DCx-=—；

88

故答案为:.

o

【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识；掌握相似三角形的判定

和性质是解题关键.

12.在等边48c中，尸为3c上一点，。为4C上一点，且N4P£>=60。，BP=4,8=2,则A8C的边

长为

A

【答案】8

【分析】根据等边三角形的性质得A8=8C=AC,ZB=ZC=60°,得N8A尸=NOPC,从而得出AAP与

△PCD相似，再根据相似三角形的性质即可得.

【详解】解：•,•..48。是等边三角形，

:.AB=BC=AC,NZ?=NC=60°,

二.ZBAP+Z4PB=180°-60°=120°,

•ZAPD=60°,

「•/^£?+/£>^6=1800-60°=120°

;.ZBAP="PC,

NB=NC,ZBAP=NDPC,

.•._A8PsPCD；

ABBP

•■=

PCCD9

B尸=4,6=2,

•A3_4

"AB-4-2,

A8=8,

."ABC的边长为8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理.综合利用题目

中条件证明出两个三角形相似是解题的关键.

13.如图，等边AA8c中，D、£分别在边AC,8c上，4B=6,CD=-CEtACDE沿直线OE折叠，使

点C落在/W边上的夕处，则CE=

A

21

【答案】Y

J

【分析】证明.AQEs-由相似三角形的性质得出翳=专=器，设CE=x,则属=x,BE=6-x，

?PBx

CD=-x,得出二一一了一，解得m=9-x,可得出关于x的方程，解方程即可得出答案.

3o—x—x

33

【详解】解：•.A4BC是等边三角形，

,\AB=BC=AC=6,ZA=ZB=ZC=60°,

沿直线OE折叠，使点。落在A3边上的尸处，

：.CE=PEfCD=PD,NC=NEPD=&)。,

:.ZAPD+ZBPE=\2(f,

Z4PD+Z4DP=120°,

:.ZBPE=ZADP,

:_BPES_ADP,

.PBBEPE

"而一而一方’

2

设CE=x,则P£=x,BE=6-x,CD=-x

3t

2

/.AD=6——x,

3

PBx

:.PB=9-xt

AP=6-(9-x)=x-3.

6-x_x-3

•4•9-x2

3

21

解得x=1■或x=9(不合题意，舍去).

:.CE=—,

5

【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三

角形的判定与性质及方程思想是解题的关键.

14.如图，在YA8CO中，入3=3,BC=4,/3=60。，点是边A3上一点，连接过点少作

交于点E且NEED=60。，AEDF=度，的的长为.

【答案】30-

4

【分析】延长8C至加使8=。"，连接用。，证明M户D即可求出8E的长.

【详解】•；EF上DE,ZEFD=a)°

；・ZEDF=30°,

:.DF=2EF

延KBC至“使CZ)=CM,连接MO,

AAB=CD=CM=398c=4,NB=/DCM=&F,

**•4DCM是等边三角形

ADA/=3,Z^=ZM=ZEFD=60°,

・•・2BFE=ZFDM=120°-4DFM，

，工BEFJVfFD,

.BEBFEF

一FM-DM-DF'

,?FM=BM-BF=BC+CM—BF=7-BF,

.BEBF1

••==,

7-BF32

311

解得：BF=；,BE,,

故答案为：30,H.

4

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解题的关键是根据一线三等角模型

构造辅助线.

15.如图，在等边中，将AMN沿MN翻折，点“恰好落在AC边的点£处，且AE:CE=1:3,则

BM:BN=

【答案】5:7

【分析】如图，作£/_L4C,EKLBA,垂足为J,K,利用勾股定理和含30。角的直角三角形的性质以及

等边三角形的性质得到相应的线段，再根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：连接踮交MN于点0,作E7J.BC,EK工BA,垂足为J,K,如图，

设EC=3a,

•・,等边ABC,

AB=3C=AC=4a,ZA=N3=/C=60。，

・•・NAEK=NCE/=30°,

/BON=NBJE,ZOBN=/JBE,

：.BONs.BJE,

岳

.SOBN叩〒"BN

・・—=—,UJT—=.—,

BJBE5a岳a

2

13

解得瓶='。，

同理可得BMO^BEK,

x/13

；.殁=也,即阜二警，

BKBElQ屈°

2

13

解得

则BM:BN=5:7.

故答案为：5：7.

【点睛】此题主要考查了翻折变换、等边三角形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质以及相

似三角形的判定与性质，通过三角形相似求出相关线段是关键

16.如图，矩形A8CO中，A8=6,BC=9,〃为。。的中点，尸为BC上一点,BF<FC,且4/_L庄.对

角线AC与瓦•交于点G,则GC的长为________.

-----------口

0bVFM。

【答案】半

【分析】过点。作皿『点〃先证明.”匕得出苗啥,根据所“。,得出八3"=6,

再证明AEBsEG”，得出器=二，证明NABCS'G”。，得出等二会■，联立求出得出C”=：,

BFABABBC7

12

GH=-f最后在Rtz\G〃C中，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：过点G作G〃_L6c于点〃

设BF=x,则CF=9—x,

•”为CD的中点，

.\CE=-CD=3,

2

•・'AFA.FE,

・•・ZAFB+ZEFC=90°,

•・•四边形A8CQ为矩形，

・・・？890?,CD=AB=6,

:.^F'AB+ZAFB=90°,

:./FAB=4EFC,

•・•ZB=ZECF=90°,

AFAB^EFC,

.BFABx6

..—=---,即一=-----

CECF39-x

解得：x,=3,x2=6,

VBFvFC,

:,BF=3,CF=6,

设C”=y,则/77=6_y,BH=9-y,

,:乙FAB=NEFC,NR=NGHF=9(r,

・•・A必sFGH,

.GH_FHmGH_6-y

BFAB36

■:AGCH=ZACB,/GHC=ZB,

•・ZABCs二GHC,

・・・丝=”即里

ABBC6

整理得：器=1，

・・・尸=，，解得:18

y=

697

：.GH2xJ,解得:GH12

~7

~~9

6x/13

在RtZ\G，C中，根据勾股定理可得：CG=yjGH2+CH2=

7

故答案为：巫

7

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角

形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例.

17.如图，在△/1比中，月片力占10,点〃是边比、上一动点（不与从C重合），/ADE=4I=a,DE交AC

4

于点£,且cos/。=1，下列结论：①△月龙s△水刀：②当做=6时，劭与△腔'全等；③△〃四为直

?5-

角三角形时，切为8或于；④0V6FW6.4.其中正确的结论是.（把你认为正确结论的序号都填

O

上）

【答案】①②④

【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD=6,则DC=10,然后根据有两组对应

角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相

似三角形对应边成比例即可求得.

【详解】解:①・・・AB=AC,

/.ZB=ZC,

又・・・/ADE=NB,

AZADE=ZC,

AAADE^AACD,故①正确:

②作AG±BC于G,

4

VAB=AC=10,NADE=NB=a,cosa=y,

.*.BG=ABcosB,

4

EC=2BG=2ABcosB=2X10X—=16,

VED=6,

/.CC=10,

・；AB=DC,

NBAD=NCDE

在aABD与ADCE中NB=NC,

AB=DC

/.△ABD^ADCE(ASA),故②正确；

③当NAED=90°时，由①可知：△ADES/XACD,

AZADC=ZAED,

VZAED=90°,

/.ZADC=90°,BPAD1BC,

VAB=AC,

/.ED=CD,

4

；・NADE=NB=a且cosa=1,AB=10,BD=8,

当NCDE=90°时，易△CDESZ\BAD,

VZCDE=90°,

・・・NBAD=90°,

4

NB=a且cosa=二，AB=10,

・n月84

••cosB----------,

BD5

23

.-.ED=y,故③错误；

④易证得△CDES^BAD,由②可知BC=16,

设BD=y,CE=x,

.ABBD

..----=-----,

DCCE

..-y

**16-yx，

整理得:y2-16y4-64=64-1Ox,

即(y-8)2=64-10X,

・・・0VxW6.4,故④正确；

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角

形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键.

18.如图，等边“A8C的边长为10,点M是边AB上一动点，将等边48c沿过点M的直线折叠，该直线

与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点。处，且BD：。。=1：4,折痕为MN、则AN的长为.

I答案】7或？•

【分析】分情况讨论：方法一：当点A落在如图1所示的位置时，证明△BMDs/XCDN,得到空=器=空,

CNDNCD

根据BO:ZX?=1:4,设AN=a，求出AN；方法二：当A在CB的延长线上时，如图2,同样方法求出AN.

【详解】方法一：当点A落在如图1所示的位置时，

AAC8是等边三角形,

:.ZA=NB=NC=NMDN=6。,

.NMDC=NB+4BMD,=/MDN,

/.NBMD=4NDC,

/.ABMD&CDN,

.但BDDMBM

•*"，号==,

CNDNCD

DN=AN、

,BDDNBM

••彳号9

CNANCD

.Z?D:DC=l:4,BC=10,

:.DB=2,CD=8,

设AN=a,

则CN=10—x,

2DMBM

2x16

DM=,BM=

10—x10-x

.BM+DM=10,

-^-+-^-=10,

10-r10-r

解得x=7,

.-./W=7；

方法二：当A在CB的延长线上时，如图2,

与①同理可得ABM。ACD/V.

勿BDDMBM

.•.得——=----=——.

CNDNCD

8D:DC=1:4,BC=IO,

设AN=x.

贝lJCN=x-10,

10

7DMBM,

JV-10x-行

3(x-10)9(x7())'

BM+DM=10,

IOx400

•'■10,

3(x-10)9(10)

65

解得:x=—,

3

65

...AN：于

故答案为：7或竽.

【点睛】此题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，解题中注意题中的条件“点

A落在直线BC上的点。处”故点A可在线段BC上，也可在延长线上，应分类讨论避免漏解.

19.如图，在矩形4O8C中，05=4,04=3,分别以08、0A所在直线为“轴和＞轴，建立如图所示的

平面直角坐标系，尸是边4c上的一个动点（不与8、C重合），过尸点的反比例函数），=&也＞0）的图象与

X

AC边交于点E，将△CE/沿E尸对折后，。点恰好落在。8上的点。处，则k的值为.

91

【答案】y

【分析】过点E作EM_Lx轴于点M,根据翻折的性质得到N£Z>=NC=90。，进而证明△METSABOF,

FMFD4

再根据相似的性质得到素■==;;=;，通过矩形创"的性质得到/粗的长度，进而得到〃/，的长度，最后

DBDF3

在Rt.06/中应用勾股定理即可求解.

【详解】如图，过点E作轴于点M,

•・•四边形月版'为矩形，阶3,循4,

・•・陷阱3,A仅映4,ZC=90°,ZOBC=90°.

/.A(0,3),50,0),8(4,0),C(4,3).

•・•点尸在边房上，点£在边力C上，

/•%=4,yE=3.

k,

又1•点/“尸在反比例函数y=£(女＞0)的图象上,

x

kkkk

・•・»=—=：,4=一二二.

与4yE3

AAE=~,BF=-.

34

kk

：,EC=AC-AE=4一一,CF=BC-BF=3一一.

34

•・•acM沿用对折后得到.D印.

・•・NEDF=NC=90。，ED=EC=4--DF=CF=3--.

3t4

AZMDE+ZFD/?=90°.

•・•EMJ.x轴,

・•・^EMD=90°

・•・"DE+/MED=90。,/EMD=/OBC=900.

/MED=〃BDF.

・•・^MED^/\BDF.

/k12-k

EMED_3_3_4

~DB~~DF~k~\2-k~3

44

•・•四边形/次是矩形,

・•・AEAO=ZAOM=90°.

又：EM_Lx轴,

・\/EMO=90°.

・•・四边形£7〃必是矩形,

・•・EM=OA=3.

-T4

3

在Rt/中，满足D尸=082+8产,

即"勺=f-T+[-L解得

I4)⑷⑷8

21

故答案为：—.

O

【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，坐标与长度之间的关系以及勾

股定理，作出合适的辅助线，熟练应用以上知识点是解题关键.

20.将边长为15的等边三角形纸片A8C进行折叠，使点力落在对边BC上的点〃处，折痕石尸交/W于点E,

交AC于点尸，且满足8D:DC=1:4,则AF的长为.

F

BD(

21

【答案】y

【分析】设=由等边三角形的性质得出3C=AC=A8=15,N4=NC=NA=60。，求出30=3,8=12,

由折叠的性质得：AE=DE,AF=DF=x,/£叶=44=60。=4,由三角形的外角性质得出,

证明△BDEs^CF。，得出8E=3-,OE=J^-,由AE+旌=AA=15得出方程，解方程即可.

15-x15-x

【详解】解：当点。在线段BC上时，设AF=x,

・.・..ABC是等边三角形，

..BC=AC=AB=\5,ZB=ZC=Z4=60°,

BD.DC=\:4,

.•.80=3,8=12,

由折叠的性质得：AE=DE,Af=DF=x,=NA=600=,

ZEDC=NCDF+4EDF=/BED+NB,

“BED=/CDF,

...BDEsCFD,

..处=匹="即工=三=空

CFDFCD15-x.V12

363x

解得:BE,DE=

15-x15-x

AE=DE=-^3t—

15-x

AE+BE=AB=\5,

3x36

---------F=15,

15-x15-x

解律％=§21，

乙

21

即AF=y,

21

故答案为：y.

【点睛】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知

识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键.

三、解答题

21.课题学习:

图1图2图3

（1）如图1,在四边形A8c。中，点。为A8上一点，ZDPC=ZA=ZB=90°,求证：ADBC=API3P.

【思考探究】

（2）如图2,在四边形ABCZ）中，点〃为A5上一点，当NOPC=N4=N8=/7时，上述结论是否依然成立？

说明理由.

【拓展延伸】

（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3,在中，AB=2g，/B=45。,以点力为直角顶点作等腰RtZXAOE.点。在8C上，点后在AC

上，点尸在8c上，且ZE/T>=45。，若CE=5求。。的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）5；

【分析】（1）如图1,由/DPC=NA=N8=900可得NAOP=4PC,即可证到.ADf.8PC,然后运用

相似三角形的性质即可解决问题；

（2）如图2,由NOQC=4=NB=〃可得NADP=/BPC,即可证到，AD~_BPC,然后运用相似三角

形的性质即可解决问题.

（3）证明△A6ZK。△。尸E,求出次=4,再证△EFCsADEC,可求尸C=l,进而解答即可.

【详解】解：（1）如图1,VZDPC=ZA=ZB=90°,

:.ZADP+ZAPD=90°=NBPC+公PD,

ZADP=ZBPC,

：,4OPsBPC,

.ADAP

•.=,

BPBC

•・ADBC=APBP；

(2)成立，理由如下：

,/Z.BPD=ZDPC+ZLBPC,ZBPD=ZA+ZADP,

:.ZDPC+/BPC=ZA+ZADP,

4DPC=NA=/B=0,

・•・4PC=ZADP,

:.ADP^UPC,

.ADAP

*'~BP~~BCy

：.ADBC=APBP.

(3)VZEFD=45°=Z^,等腰RtZXAOE,

AZB=ZADE=45°,

■:ZADF=ZADE+/EDF=/BAD,

:.4AD=/EDF,

:.AABD^ADFE,

,AB=AD

**DF~DE'

•・・V4)E是等腰直角三角形，

.ABAD1

**OF-V?*

*.*AB=2五,

：,DF=4,

・・•VAOE是等腰直角三角形，

:.乙4£。=45。，

丁ZEFD=45。,

・•・^DEC=Z.EFC=1800-45n=135n,

又1•ZC=ZC,

:.DECs,.EFC,

BpEC2=FCDC=FC(4+FC),

(S*/*

•/CE=6

・•・FC2+4FC-5=0,

FC=1,（负根舍去）

:.CD=DF+CF=5.

【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的

应用，能够通过45。角将问题转化为•线三等角是解题的关键.

22.如图，在矩形A8CO中，E为。C边上一点，把VAOE沿AE翻折，使点。恰好落在8C边上的点”处.

⑵若A6=2石，AD=4,求CE的长.

（3）当点/星线段8C的中点时，求证：AF2=ABAE.

【答案】（1）证明见解析

⑵友

3

（3）证明见解析

【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明4AF=NEPC,再利用相似三角形的判定得结论；

（2）先利用勾股定理求出*再利用相似三角形的性质得方程，求解即可.

ARRFARAF

⑶由△AMs2\/7CE,可得k=*=y,结合尸为4c的中点，可得背二7，结合ZA在=4=903

CFCEEFBFEF7T

可得△ABFsAA/石，从而可得答案.

【详解】（1）证明：•・•四边形A8CO是矩形，

:.ZB=ZC=ZD=90°.

:VADE沿AE翻折得到AAFE,

・•・ZD=ZAFE=90°.

■:/BAF+ZAFB=90。=ZAFB+Z.EFC,

:.4AF=/EFC.

又•:ZB=ZC,

:.△ABFs/\FCE.

（2）•・•四边形ABC。是矩形，AB=2g,AD=4,

AAB=CD=2yf3,AD=BC=4,

•・•VAOE沿AE翻折得到4AFE，

AAD=AF=4,DE=EF.

在Rt48尸中，BF=ylAF2-AB2=2"

设"的长为x,则O£=E/=26-x.

•・,XABFs丛FCE,

,BFAF

••--=---・

CEFE

：.CEAF=BFEF,

即4X=2（2G-X）.

.26

••X=----9

3

即EC="

3

（3）•:△ABFsBCE,

.ABBFAF

一斤一方二斤，

・・•广为BC的中点，

・•・BF=CF,

.ABAF

**SF-EFf

ZAFE=Z5=90°,

・•・AAB"S4庄，

.ABAF

**AF*

:.AF2=ABAE.

【点睛】本题.主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是

直角、矩形的对边相等”、“折置前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角

形的对应边的比相等”是解决本题的关键.

23.如图，在中，AB=AC=5cm,8c=8,点〃为BC边上一动点（不与点8、。重合），过点/＞作

射线门以交4c于点M,使NAPM=N8；

(1)求证：AABPsAPCM；

(2)设=CM=yf求>与R的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

(3)当△AFM为等腰三角形时，求/归的长.(直接写出答案，不写解题过程).

【答案】(1)见解析

1Q

(2)y=--x2+-x(O<x<8)

⑶3或939

O

【分析】(1)因为A8=AC,/40必=/7?,得到/4加=/8=/。，ZAPC=ZAPM+ZMPC=ZB+ZBAP,

得到/8AP=NMPC,即可得出&

(2)由(1)得到比例式当=黑，代入从)'变形得至1]丁=一。/+9X(。<工<8)：

PCMC55

(3)八4加为等腰三角形有三种情况，AP=PM.AP=AM.MP=AM分别利用相似三角形性质计算即

可求解.

【详解】(1)AB=AC,ZAPM=4B,

・•・ZAPM=4B=4C.

■:AAPC=ZAPM+AMPC=ZB-ZBAP,

・•・/BAP=/MPC,

・•・AABPsMCM.

(2)VI3P=x,CM=ytCP=8-x,

..MiBP

*PC~MC'

5x

••二=7

])8

:.y=--x2+-x(O<x<8).

(3)如图，当时

..PMPC

・•・PC=AB=5,

:.BP=3.

如图，当时,

,?ZAPM=/B=/C,

・•・/PAM=NBAC即点。与点B重合.

・；P不与点8、C重合，舍去.

如图，当时，

:.5Ap=4MPA,

J^MAP^ABC,

.MP_AC5

.PMPCIJr18-x5

PAAB58

39

:.BP".

8

39

综上所述，依的长为3或a.

O

【点睛】本题考查相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，重点要运用对应边成比例进行计算，第三问

关键在于能够对等腰三角形进行分类.

24.如图，在AABC中，点〃、£分别在边BC、AC上，连接AD、DE,且N8=/4