备考2024年新高考数学一轮复习专题108统计、概率结合其他知识含详解

专题10.8统计、概率与结合其他知识

三I题型目录

题型一统计概率与函数

题型二统计概率与导数

题型三统计概率与不等式

题型四统计概率与数列

才典例集练

题型一统计概率与函数

例1.体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；

若结果呈阴性，则未患有该疾病.对于〃5wN.)份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验〃次.

二是混合检验，将〃份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这〃份血液全为阴性，因而检验一

次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这〃份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则〃份

血液检验的次数共为〃+1次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为次(0<〃<1),而且各体检人是否患该疾病相互

独土.

(1)若〃=£，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率；

(2)某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案：

方案一:采用混合检验；

方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.

若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.

例2.从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题(第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分).在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的

概率为〃，正确答案是三个选项的概率为(其中。).现甲乙两名学生独》•解题.

(I)假设每道题甲全部选对的概率为：，部分选对的概率为!，有选错的概率为!；乙全部选对的概率为,，部分选

2446

对的概率为;，有选错的概率为:，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；

(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选

项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策(只需选择

帮助一人做出决策即可）.

举一反三

练习1.在排查新冠肺炎患者期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对

其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳

性的概率均为〃（（）<〃<I）且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为〃P）,当〃

时，“P）最大，则〃。二（）

A."&B.也C.1D.凡

2322

练习2.为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取

100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示:

乙型号减排器

减排器等级及利润率如下表，其中

综合得分k的范围减排器等级减排器利润率

A>85一级品a

75a<85二级品5a2

70<Jt<75三级品a~

（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少

有2件一级品的概率;

（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，贝IJ：

①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数4的分布列及数学期望Eq)；

②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？

练习3.为了解新研制的抗病毒药物的疗效，某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后对每只白

鼠的血液进行抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性，则白鼠未感染病毒.现

随机抽取〃(〃eN,〃N2)只白鼠的血液样本进行检验，有如下两种方案：

方案一:逐只检验，需要检验〃次；

方案二:混合检验，将〃只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则〃只白鼠未感染病毒;若检验结果

为阳性，则对这〃只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验〃+1次.

⑴若〃=10,且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率；

⑵已知每只白鼠感染病毒的概率为〃《)<〃<1).

①采用方案二，记检验次数为X,求检验次数X的数学期望；

②若〃=20,每次检验的费用相同，判断哪种方案检验的费用更少?并说明理由.

练习4.2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某

商场举办了一场赢取吉祥物挂件的''定点投篮”活动，方案如下：

方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为丫；

方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为X.

累计所得分数越多，所获得奖品越多.现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为〃(。<〃<1),

每次投篮互不影响.

(1)若〃=:，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；

(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？

练习5.从2021年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，其中IE答

错误得。分，部分正确得2分，完全正确得5分，小明根据以前做过的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的

概率为P，有三个选项的概率为(其中.

(1)若〃=3，小明对某个多项选择题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明得2分的概率；

(2)在某个多项选择题中，小明发现选项A正确，选项B错误，下面小明有三种不同策略：I：选择4再从剩下的

C,。选项中随机选择一个，小明该题的得分为X；H：选择AC7Z小明该题的得分为匕川：只选择A、小明该

题的得分为Z；在〃变化时、根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略.

题型二统计概率与导数

例3.今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多.9月19口，中国疾控中

心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告.我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控

已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2022年版)》.此《指南》

中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力.据此，援非

中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医

学观察21天.在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大.对该国家200个

接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接种天花疫苗3060

接种天花疫苗2090

(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束医学观察的密切接触者中

随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染候痘病毒的概率：

(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间，发现一户3口之家与确诊患

者有过密切接触，这种情况卜.医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果，

若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭''.假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且

相互独立.记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为了(〃).求当〃为何值时，/(〃)最

n(ad-bc)2

大？附：z2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b-i-d)

A/%)0.10.050.010

k。2.7063.8416.635

例4.汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目

的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企.业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到

下面的统计表：

年份/20172018201920202021

年份代码x(x=-2016)12345

销量)，/万辆1012172026

(I)统计表明销量)'与年份代码X有较遇的线性相关关系，求)'关于K的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的

销量最早在哪一年能突破5()万辆；

(2)为了解当地的购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)，该企业随机调查了该地区的购车情况.设购置新能源

汽车的概率为〃，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车

的概率为/(〃)，求当〃为何值时，/(〃)最大.

n

“七工一应3

附：y=宸+G为叵I归方程，B=巴------,a=y-bx.

1=1

举一反三

练习6.某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组

10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量X,(i=l,2,,5)表示第i组被感染的白鼠数，并将随机变量X,的观测

值,5)绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为〃(p《O,l)),假设每只

白鼠是否被感染是相互独立的.记A为事件“％=%(/=1,2,⑸”.

(1)写出尸(A)(用〃表示，组合数不必计算)；

(2)研究团队发现概率〃与参数/之间的关系为〃=!4-。夕+与.在统计学中，若参数时的〃值使得

2645

概率3AA)最大，称，。是。的最大似然估计，求练.

练习7.生产某种特殊零件的废品率为〃),优等品的概率为0.4,若20个此特殊零件中恰有4件废品的

概率为〃P)，设/(〃)的最大值点为/%.

⑴求为;

(2)若工厂生产该零件的废品率为局.

(i)从生产的产品中随机抽取”个零件，设其中优等品的个数为X,记《=P(X=2),k=OJ…”已知X=5

时优等品概率A最大，求〃的最小值；

(ii)已知合格率为80%,每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，

修复为合格品后正常售卖,若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5,

工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元.

练习8.今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病练习，非洲地区猴痘地方性流行国家较多.我国目前为止尚无猴

痘病练习报告.我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署.同时国家N生健康

委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2022年版)》.此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；

②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力.据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制

定了猴痘病毒防控措施之•是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天.在医学观察期结束后发

现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比练习较大.对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者

样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接种天花疫苗3060

接种天花疫苗2090

(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束医学观察的密切接触者

中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率；

(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排兖.在排查期间，发现一户3口之家与确诊患

者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果，

若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为〃(。<〃<1)且

相互独立.记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为了(〃).求当〃为何值时，/(〃)最大？

n^ad-be)2

附：r=

S+/?)(C'+〃)(4+C')(〃+4)

P(犷次))0.10.050.010

2.7063.8416.635

练习9.今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病练习，非洲地区猴痘地方性流行国家较多.9月19日，中国疾

控中心发布了我国首练习“输入性猴痘病练习”的溯源公告.我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘

病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2022年版)》.此

《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力.据

此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者

集中医学观察21天.在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比练习较大.对该国家

200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接种天花疫苗3060

接种天花疫苗2090

(I)根据小概率值。=0.01的独立性检验，判断密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗是否有关？

(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束医学观察的密切接触者中

随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：

(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间，发现一户3口之家与确诊患

者有过需切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果,

若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为〃(。<〃<1)且

相互独立.记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家途”的概率为/(〃).求当〃为何值时，/(〃)最

大？

n(ad-bey

(«+/?)(<?+J)(6f+(?)(/?+J)

2

P(x>kQ)0.10.050.010

%2.7063.8416.635

练习10.某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个.

⑴若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不

合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成2x2列联表，并依据小概率值

<2=0.01的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备”有关联？

单位：箱

是否有不合格品无不合格品有不合格品合计

设备

新

旧

合计

(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱口罩中任取20个做

检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验.设每个口罩为不合格品的概率都为〃(Ov〃vl),且各口

罩是否为不合格品相互独立.记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为/(〃)，求/(〃)最大时〃的值P。.

⑶现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以(2)中确定的P“作为〃的值.已知每个口罩的检验费

用为02元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用.以检验费用与赔偿费

用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个M罩做检验？

题型三统计概率与不等式

例5.已知随机变量4伏7。5),则概率P(4二Q最大时，k的取值为()

A.3B.4C.3或4D.4或5

例6.某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺〃〃加e)

的分泌，所以又叫“快乐药其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺(Dopamine)的分泌，从

而缓解抑郁、焦虑的情绪.人体多巴胺(Dopamine)分泌的正常值是l()7.2-246.6Ng/24h,定义运动后多巴胺含量

超过400Ng/24h称明显有效运动，否则是不明显有效运动.树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，

对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1：2,女生中明显有效运动的人数占男生中明

3

显有效运动的人数占：.

4

女牛男牛合计

明显有效运动

不明显有效运动

合计

（1）根据所给的数据完成上表，并依据a=（）.l（X）的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说明理由；

（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有可能是多

少？

其中〃=a+〃+c+d.

附:上…黑匿）…）

参考数据:

0.15()0.1000.0500.0250.0100.0050.001

a2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

举一反三

练习11.某综艺节目中，有•个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔

方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，

得到的情况如表所示：

用时/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人数1721139

女性人数810166

以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位

盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测

试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（）

A.3B.4C.5D.6

练习12.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一

户）.

阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯

月用水范围（吨）(0,12](12,16](16,+co)

为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水最(单位：吨)，得到统计表如下:

(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；

(3)用抽到的10户家庭作为样本估订全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到〃户片用水量为第一阶

梯的可能性最大，求k的值.

练习13.为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年

禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人

赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比

赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习

积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分,

获得第2、3、4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1

局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为:，；，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，，

42444

(1)设小明每天获得的得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第I名从而赢得该局比赛的概率为9，每局是否赢得比赛相

4

互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

练习14.某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个球，

其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案一：从甲袋中有放回

地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷枚质地均匀的骰了，如果点

数为1或2,从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6,从乙袋中随机摸出一个球，若摸出的是红球，则

获得积分15分，否则得5分.

(1)某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？

⑵若某员工获得1()次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为y,当尸(y=A)取得最大值时，求女

的值.

练习15.在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系,

从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人.经调查，得到这100名学生

近期考试的分数的频率分。直力图.记分数在600分以上的为优秀，其余为合格.

(1)请完成下列2x2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔

有关.

上课转笔上课不转笔合计

合格25

优秀10

合计100

⑵现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中

合格的人数为X,求X的分布列和数学期望.

(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为攵的概率为汽灯，

当尸(女)取最大值时，求出的值.

2

2n(ad-bc)

附：/*=----：——-------.......其中n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+J)(a+c)(b+d)

可/训0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

题型四统计概率与数列

例7.甲、乙两个袋子里各有1个白球和1个黑球，每次独立地从两个袋子中随机取出1个球相互交换后放回袋中,

若第〃次交换后，甲袋中两个球颜色相同，记X“=l,否则，X”=0.

⑴求X=0的概率;

⑵求X0=1的概率：

(3)记丫=£>,，求E(y).

1=1

例8.投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投.在战国时期较为盛行，在唐朝时期，发

扬光大.《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏.为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某单位开展投壶游戏.现

甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中则此人继续投壶，若未投中则换为对方投

壶.无论之前投壶情况如何，甲每次投壶的命中率均为0.3,乙每次投壶的命中率均为0.4.由抽签确定第1次投壶

的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投壶的人是甲的概率；

⑵求第，次投壶的人是乙的概率.

举一反三

练习16.甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一

个球交换放入另一个盒子中，重复，次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为X“，甲盒中恰有2个黑球

的概率为P.，恰有3个黑球的概率为优.

⑴求Pi，%：

12

⑵设的=2+2%,证明：。+1,

JJ

⑶求X,的数学期望七(X”)的值.

练习17.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，

双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率

为0.3、乙胜的概率为0.2.

(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；

⑶若玖i=,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则《=0/=1.证明：｛匕「号。=0,12-,5)

为等比数列.

练习18.王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种出行.从即日起出行方式选择规则自定如

下：第一天选择骑自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的

枚数小于3,则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式.设〃表示事件”笫〃天王先生选择

骑自行车出行”的概率.

(1)用Pi表示(〃之2)；

(2)请问王先生骑自行车的概率和开车的概率哪个更大？并说明理由.

练习19.有编号为1,2,3,…，18,19,20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2个

黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第二个箱子，以

此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记P,为从第i个箱子中取出黄球的概率.

⑴求化，〃3；

(2)求P：o-

练习20.某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A,B,C,。这4个选项，4个选项中仅有两个或

三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.已知测试过程中随机

地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为g,并且规定若第

中=1,2,，〃-1)题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为:：第中=12、〃-1)题正确选项为三

个，则第i+1题正确选项为三个的概率为;.

(1)若第二题只选了“。'一个选项，求第二题得分的分布列及期望；

⑵求第〃题正确选项为两个的概率：

⑶若第〃题只选择8、c两个选项，设丫表示第〃题得分，求证：£(r)<^.

专题10.8统计、概率结合其他知识

三I题型目录

题型一统计概率与函数

题型二统计概率与导数

题型三统计概率与不等式

题型四统计概率与数列

才典例集练

题型一统计概率与函数

例1.体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；

若结果呈阴性，则未患有该疾病.对于〃5wN.）份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验〃次.

二是混合检验，将〃份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这〃份血液全为阴性，因而检验一

次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这〃份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则〃份

血液检验的次数共为〃+1次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为次（0＜〃＜1）,而且各体检人是否患该疾病相互

独立.

（1）若〃=£，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率；

（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案：

方案一:采用混合检验；

方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.

若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.

【答案】（1）［；（2）当＜匕叵或土芭时，方案一更“优”；当〃一匕叵或〃一如8时，方案一、

96666

二一样“优"：当土史＜〃＜七亚时，方案二更“优”.

66

【解析】（1）根据题意，3人混检样本为阴性的概率为=1,故根据对立事件得答案；

（2）采取方案一，检验次数记为X,可能取值为1,7,进而列概率分布列，求期望双X）=7-6P〉采取方案二,

记检验次数为Y,可能取值为2,5.8,进而列概率分0列，求期望得f（丫）=8-6〃，再作差分情况讨论即可得答案.

【详解】解：(1)该混合样本阴性的概率是=5,

Q1

根据对立事件可得，阳性的概率为

(2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为X,则X的可能取值为L7

P(X=l)=(0Jy=p2；p(x=7)=l-p2,其分布列为：

E□

EHEJ

则E（X）=7—6〃2,

方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1,概率为(折)'=〃，若阳性，则检测次

数为4,概率为1-〃，

方案二的检睑次数记为y，则V的可能取值为2,5,8,

P(y=2)=/r；P(y=5)=d/?(l-p)=2p(l-p);P(y=8)=(l-p)2;

其分布列为：

Y258

PP：2〃-2P2（I"

则E(y)=2p2+5(2p_2P2)+8(l_p)?=8_6p,

E(K)-£：(X)=8-6/?-(7-6/r)=6/r-6/?+l,

当()＜P＜匕叵或如叵＜〃＜］时，可得E(X)＜E(y),所以方案一更“优”

66

当〃=上史或〃=出叵时，可得E(x)=E(y),所以方案一、二一样“优”

66

当上金＜〃＜止叵时，可得七(丫)〈风x),所以方案二更“优”.

66

【点睛】本题考查随机事件的概率分布列与数学期望，考查知识迁移与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在

于根据题意写出方案一与方案二的概率分布列，求解对应事件的概率是难点，理解并应用独立事件的概率求解是解

决概率的基本方法，进而根据分布列求期望，并作差分类讨论.

例2.从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题(第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分).在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的

概率为〃，正确答案是三个选项的概率为(其中。＜〃＜】).现甲乙两名学生独立解题.

（I）假设每道题甲全部选对的概率为5,部分选对的概率为!，有选错的概率为9；乙全部选对的概率为，，部分选

2446

对的概率为g，有选错的概率为g,求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；

（2）对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选

项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择

帮助一人做出决策即可）.

【答案】（1玲

⑵答案见解析

【分析】（1）先分析包含的事件有哪些种，再求概率即可.

（2）分别求出选择123个选项三个情况下的得分的期望，取期望最大的情况即可.

【详解】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含：

A：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分.

B：甲三道全对，一道部分选对：乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分.

C：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分.

尸⑷=（小找心3©=]

尸⑻=c：

p（c）=c：

P=P（A）+P（B）+P（C）=].

（2）若为甲出方案.

则甲可能的选项个数为：1，2,3.

记A表示选1个选项的得分，则期望为石（A）=2.

记为表示选2个选项的得分，则得分可能为0,2,5,

2,、11z

P（A2=0）=/;x-+（l-p）x-=-（l+/7）

/?

P（A2=2）=-（\-p）,

P（4=5）=:〃，

J

此时期里为石（4）=°x巨上十2x2（1-P）十=上.

3333

记&表示选3个选项的得分，则得分可能为0,5

P(43=0)=/?+(I-p)x|=^i^,

P(4，=5)=(l-p)xl=l^,

此时期望为七(4)=0x罕+5'?=3寺.

JJJ

・・.2>22>工

33

••・甲应选择I个选项才有希望得到更理想的成绩.

若为乙出方案.

则乙可能的选项个数为：1,2,3.

(]、「21?

记用表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则E(Bj=Oxpx-+2xpx-+(l-p)xl=2--p

IJ，L)J。

记与表示选2个选项的得分，则得分可能为0,2,5,

此时E出)=()x(〃x：)+2x(l_〃)x]+5x〃x；=2/.

记4表示选3个选项的得分，则得分可能为0,5,此时，(仄)-0K〃十5K(1-〃)K1—5-5〃.

V2--p<2—

33

2苫-(5-5〃)=竿

9

.・.当弓<〃<1时，乙应选择2个选项才有希望得到更理想的成绩.

14

9

当。<时，乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩，

14

9

当〃时，乙应选择2或3个选项都有希望得到更理想的成绩.

14

举一反三

练习I.在排查新冠肺炎患者期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对

其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸'检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户设该家庭每个成员检测呈阳

性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为/(〃)，当〃=为

时，/(P)最大，则为=()

A.1-—B."C.D.—

2322

【答案】A

【分析】根据题意，先求出概率，再利用基本不等式求最大值即可.

【详解】设事件A为：检测了3个人确定为感染高危户.

设事件3为：检测了4个人确定为感染高危户,

事件A为第一个人不是阳性，第二个人不是阳性，第三个人是阳性，所以P（A）=p（l-p『，同理P（A）=p（l「

即/（〃）=〃（1一〃『+〃（1一〃）'=〃（2-〃）（1一〃）2，

设O〈X=1-〃<1，则g(x)=/(〃)="_X)(1+X)彳2=0_/b2,

因为g（x）=（］_%2卜2=；，当且仅当一=2,即1=等时取等号，即〃=〃0=1_亨

故选：A

练习2.为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取

100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示:

甲型号减排器乙型号减排器

减排器等级及利润率如下表，其中

综合得分攵的范围减排器等级减排器利润率

《之85一级品a

75必〈85二级品5a2

70JV75三级品a2

（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这1。件产品中随机抽取4件，求至少

有2件一级品的概率;

（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则:

①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数。的分布列及数学期望七信）；

②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？

【答案】（i）=77：（2）①二级品数j的分布列见详解，E（g）=3j②投资乙型号减排器的平均利词率较大.

424

【分析】（I）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6,根据分层抽样，计算

10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少2件一级品的概率；

7I

（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为二级品的概率;，三级品的

104

概率为白，若从乙型号减排器随机抽取3件，则二级品数4所有可能的取值为。1,2,3,且J倒3」），由此能求出

4的分布列和数学期望.

②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号减排器的平

均利润率较大.

【详解】（1）由己知及频率分布直方图中的信息知，

甲型号减排器中的一级品的概率为0.08x5+0.04x5=0.6,

分层抽样的方法抽取10件，

则抽取一级品为10x0.6=6（件）

则至少有2件一级品的概率，

C汨+C；C；+《_37

/-------------------•

042’

（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，

乙型号减排器中的一级品的概率为《，

二级品的概率—,

4

三级品的概率为《，

若从乙型号减排器随机抽取3件，

则二级品数4所有可能的取值为04,2,3,且45（3，!）,

4

所以

227

图%64

9

P(=2)=G?

64

尸C=3)=C；削片

所以4的分布列为

40123

272791

P

64646464

所以数学期望:

“、八27,27r9cl3

E（乙）=0x---f-1x---F2x---F3x—=一

646464644

②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值:

2

Ei=0.6/7+0.4xSa=1（r+0.6〃；

乙型号减排器的利润的平均值:

-104201010

17-1，X-<a<-1,

E.-E^—cr一a一a

~1010107J98

所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.

【点睛】思路点睛：本题考查了频率分布直方图及分层抽样和互斥事件概率的算法.求解随机变量的分布列及期望

和利用函数思想解决实际问题.解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.

练习3.为了解新研制的抗病毒药物的疗效，某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后对每只白

鼠的血液进行抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则向鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性，则白鼠未感染病毒.现

随机抽取，?(〃eN’,”22)只白鼠的血液样本进行检验，有如下两种方案：

方案一:逐只检验，需要检验〃次；

方案二:混合检验，将〃只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则〃只白鼠未感染病毒;若检验结果

为阳性，则对这〃只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验〃+1次.

⑴若〃=10,且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率；

⑵已知每只白鼠感染病毒的概率为〃(。<P<1).

①采用方案二，记检验次数为X,求检验次数X的数学期望；

②若〃=20,每次检验的费用相同，判断哪种方案检验的费用更少?并说明理由.

【答案】⑴卷2;

45

⑵①石(X)=(〃+l)-〃(l-p)"；②答案见解析.

【分析】(1)应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率；

(2)①次数为X可能取值为1,〃+1,利用对立事件概率求法求各值的概率，进而求其期望；②由①得

20

E(X)-2O=l-2Ox(l-/?),根据其单调性及其零点，判断方案检验的费用的大小关系.

2G1

【详解】(I)根据题意，恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率6=正>1*§=*,

恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率6=。短:=5，

109o45

7X1X7I?

所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率尸=至喙"+旨?.京.

(2)①设检验次数为X,可能取值为1,〃+1.

则p(X=l)=0_〃)"，P(X=,?+l)=l-(l-/?)\

所以研X)=(l—p)"+(〃+l)[l—(l—p)[=(〃+l)—〃(l