5.2.2导数的4则运算法则（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育5.2.2导数的四则运算要点导数的运算法则若函数f(x)，g(x)均为可导函数，则有导数运算法则语言叙述1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．3.[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方.【重点小结】法则1：函数的和(差)的导数导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．法则2：函数的积的导数(1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝cf′(x)＋c·[f(x)]′＝0＋cf′(x)＝cf′(x)，即[cf(x)]′＝cf′(x)．(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数．(3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w′(x)．法则3：函数的商的导数(1)注意[eq\f(fx,gx)]′≠eq\f(f′x,g′x).(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，eq\f(fx,gx)＝eq\f(1,gx)，[eq\f(1,gx)]′＝－eq\f(g′x,[gx]2).【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知函数y＝2lnx－2x，则y′＝eq\f(2,x)－2xln2.()(2)已知函数y＝3sinx＋cosx，则y′＝3cosx＋sinx．()(3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．()(4)若函数f(x)＝eq\f(ex,x2)，则f′(x)＝eq\f(exx＋2,x3).()【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．已知函数f(x)＝cosx＋lnx，则f′(1)的值为()A．1－sin1B．1＋sin1C．sin1－1D．－sin1【答案】A【解析】因为f′(x)＝－sinx＋eq\f(1,x)，所以f′(1)＝－sin1＋eq\f(1,1)＝1－sin1.故选A.3．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx【答案】B【解析】y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.【答案】1【解析】f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.题型一利用运算法则求函数的导数【例1】根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y＝x2－2x－4lnx；(2)y＝x·tanx；(3)y＝eq\f(x,ex)；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(5)y＝x＋sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).【解析】(1)y′＝2x－2－eq\f(4,x).(2)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x).(3)y′＝eq\f(x′ex－x·ex′,ex2)＝eq\f(1－x,ex)(4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(5)先使用三角公式进行化简，得y＝x＋eq\f(1,2)sinx∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)sinx))′＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))′＝1＋eq\f(1,2)cosx.观察各函数的特点，能化简的先化简，再用求导法则求解．【方法归纳】利用导数的公式及运算法则求导的思路【跟踪训练】(1)已知f(x)＝eq\f(ex,x)(x≠0)，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．【答案】(1)eq\f(1,2)【解析】(1)因为f′(x)＝eq\f(ex′x－ex·x′,x2)＝eq\f(exx－1,x2)所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得eq\f(ex0x0－1,x\o\al(2,0))＋eq\f(ex0,x0)＝0，解得x0＝eq\f(1,2).(2)求下列函数的导数．①y＝x－2＋x2；②y＝3xex－2x＋e；③y＝eq\f(lnx,x2＋1)；④y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).【解析】(2)①y′＝2x－2x－3；②y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2；③y′＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,xx2＋12)；④因为y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x2－eq\f(1,2)sinx，所以y′＝2x－eq\f(1,2)cosx.题型二导数运算法则的综合应用【例2】已知曲线y＝eq\f(x,x－1)在(2,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0平行，求实数a的值．【解析】因为y′＝eq\f(x′x－1－x－1′x,x－12)＝－eq\f(1,x－12)所以y′|x＝2＝－1即－eq\f(a,2)＝－1所以a＝2.【变式探究1】本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．【解析】由例2知切线方程为x＋y－4＝0直线方程x＋y＋eq\f(1,2)＝0所以所求距离d＝eq\f(\f(1,2)＋4,\r(2))＝eq\f(9\r(2),4).【变式探究2】本例条件不变，求与直线y＝－x平行的过曲线的切线方程．【解析】由例2知y′＝－eq\f(1,x－12)令－eq\f(1,x－12)＝－1得x＝0或2所以切点为(0,0)和(2,2)，所以切线方程为x＋y－4＝0.【方法归纳】关于求导法则的综合应用(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．【跟踪训练2】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值．(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．【解析】(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3，所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.【易错辨析】混淆曲线下的相切与导数背景下的相切致错．【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9(a≠0)都相切，则a等于()A．－1或－eq\f(25,64)B．－1C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64)D．－eq\f(7,4)【答案】A【解析】因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，xeq\o\al(3,0))，则在点(x0，xeq\o\al(3,0))处的切线斜率为k＝3xeq\o\al(2,0)，所以切线方程y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0).又点(1,0)在切线上，所以3xeq\o\al(2,0)－2xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2).当x0＝0时，由直线y＝0与曲线y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得方程ax2＋eq\f(15,4)x－9＝0有两个相等的实数根，此时Δ＝(eq\f(15,4))2－4a×(－9)＝0，解得a＝－eq\f(25,64)；当x0＝eq\f(3,2)时，由直线y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)与曲线y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切，联立直线方程和曲线方程并消去y，得ax2－3x－eq\f(9,4)＝0，此时Δ＝9－4×a×(－eq\f(9,4))＝0，解得a＝－1.综上可得，a＝－1或a＝－eq\f(25,64).【易错警示】出错原因有的同学认为x0＝0时，此时直线y＝0与曲线y＝x3相交，就把这种情况舍去了，错选了B.纠错心得正确理解导数背景下的相切．例如直线y＝0与曲线y＝x3在x＝0处是相切的.一、单选题1．若，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【解析】解：.故选：C.2．已知函数，则（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】对函数求导，将代入导函数，即可得到导函数的表达式，再代入即可得到结果.【解析】因为，所以得到，因此，所以．故选：B.3．已知函数，则（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由基本初等函数的导数公式，结合复合函数的导数运算法则求，进而求.【解析】，，∴，当时，.故选：C4．下列求导计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解【解析】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误．故选：B．5．已知数列为等比数列，其中，，若函数，为的导函数，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出.【解析】，，为等比数列，，，则.故选:C.6．若函数，则（）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.【解析】令，则，求导得：，所以.故选：A7．设，若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝.8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝（）A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e【答案】C【分析】对函数求导得，再将代入，解方程即可得到答案；【解析】∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴，∴，解得，故选：C.二、多选题9．（多选）下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】A中′＝1－，A不正确；D中，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，D不正确；BC正确.答案BC10．下列求导数运算正确的是（）A．（2021x）′=x2021x﹣1B．（x2021+log2x）′=2021x2020C．（）′D．（x23x）′=2x3x+x23xln3【答案】BD【分析】根据题意，依次计算选项中函数的导数，即可得答案.【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（2021x）′=2021xln2021，A错误；对于B，（x2021+log2x）′=（x2021）′+（log2x）′=2021x2020，B正确；对于C，（）′，C错误；对于D，（x23x）′=（x2）′•3x+x2×（3x）′=2x3x+x23xln3，D正确.故选：BD.11．设函数，则下列说法正确的是（）A．B．C．在处的切线方程为D．【答案】BC【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证.【解析】对于A：因为，所以，所以，故A错误；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：因为，所以，所以.而，所以在处的切线方程为，故C正确；对于D：.故D错误.故选：BC第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题12．函数在处的导数是______．【答案】6【分析】将函数解析式展开，再求导，之后代入即可得到结果.【解析】将函数解析式展开得到：，求导得，所以．故答案为：6.13．函数的图象在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】先利用基本函数的导数公式和导数的运算法则求导，再利用导数的