5.2.1基本初等函数的导数（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育5.2.1基本初等函数的导数要点一几个常用函数的导数函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝要点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝-sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝【重点小结】(1)几个基本初等函数导数公式的特点①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．③对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．(2)函数与其导函数奇偶性的关系①常数的导数是0.②奇函数的导函数为偶函数．③偶函数的导函数为奇函数．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2).()(2)(log3x)′＝eq\f(1,3lnx).()(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))′＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).()(4)若y＝e3，则y′＝e3.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×2．(多选题)下列导数运算正确的是()A．(lnx)′＝xB．(ax)′＝xax－1C．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－5x－6【答案】CD【解析】由导数公式得C、D正确．3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x－y－2＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－2＝0【答案】C【解析】y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A(0,1)，故切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.4．函数f(x)＝sinx，则f′(6π)＝________.【答案】1【解析】f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.题型一利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝eq\r(x\r(x\r(x)))；(4)y＝log5x；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))；(6)y＝sineq\f(π,6)；(7)y＝lnx；(8)y＝ex.【解析】(1)y′＝－3x－4；(2)y′＝3xln3；(3)y＝eq\r(x·\r(x·x\f(1,2)))＝eq\r(x\r(x\f(3,2)))＝eq\r(x·x\f(3,4))＝x，∴y′＝eq\f(7,8)x；(4)y′＝eq\f(1,xln5)；(5)y＝sinx，y′＝cosx；(6)y′＝0；(7)y′＝eq\f(1,x)；(8)y′＝ex.不能用基本初等函数公式直接求导的，应先化为基本初等函数再求导．【方法归纳】求简单函数的导数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．【跟踪训练1】求下列函数的导数：(1)y＝lgx；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝xeq\r(x)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1.【解析】(1)y′＝(lgx)′＝eq\f(1,xln10).(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2.(3)y′＝(xeq\r(x))′＝(x)′＝eq\f(3,2)x＝eq\f(3,2)eq\r(x)；(4)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.题型二利用导数公式求曲线的切线方程【例2】已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．【解析】∵y＝lnx，∴y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝e＝eq\f(1,e)，即切线斜率为eq\f(1,e).∴切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.【变式探究】本例中的曲线不变，求过点(0,0)的切线方程．【解析】因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点Q(a，b)．则切线斜率k＝y′|x＝a＝eq\f(1,a)，又k＝eq\f(b－0,a－0)＝eq\f(b,a)，且b＝lna∴a＝e，b＝1，∴切线方程为x－ey＝0.【方法归纳】(1)求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的；(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．【跟踪训练2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ垂直的曲线y＝x2的切线方程．【解析】∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|＝2x0，又∵直线PQ的斜率为k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切线垂直于直线PQ，∴2x0＝－1，即x0＝－eq\f(1,2)，所以切点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))).∴所求的切线方程为y－eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即4x＋4y＋1＝0.易错辨析混淆幂函数与指数函数求导公式致错【例3】曲线f(x)＝2x在点(0,1)处的切线方程为________．【答案】y＝xln2＋1【解析】∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2，∴f′(0)＝ln2故所求切线方程为y－1＝(x－0)ln2即y＝xln2＋1.【易错警示】1.出错原因记错导数公式(ax)′＝axlna，与幂函数y＝xα的求导公式混淆.2.纠错心得利用导数公式求导时，应先弄清是指数函数，还是幂函数.一、单选题1．若函数（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值.【解析】根据题意，

在R上单调递增在R上恒成立

令，，则可写为根据题意在上的最小值非负解得，所以选项B正确故选：B.2．已知函数，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对函数求导，然后求出即可【解析】由，得，所以，故选：D3．已知函数（是自然对数的底数），则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的运算可得出关于的方程，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.【解析】因为，则，所以，，所以，，故，因此，.故选：C.4．函数的导数为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数求导即可.【解析】因为，所以.故选：D.5．若，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【解析】解：.故选：C.6．函数在和处的导数的大小关系是（）A． B．C． D．不能确定【答案】A【分析】求出函数导数即可比较.【解析】，，所以，即.故选：A.7．给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【解析】①中为常数函数，故，故①错误；对于②，∵，∴，故②正确；显然③④正确.故选：C.8．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【解析】因为，，，，所以选项A，B，C均不正确，选项D正确，故选：D.二、多选题9．（多选）以下运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用基本初等函数的导数公式，依次计算判断即可【解析】对于A，因为，所以A不正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C正确；对于D，因为，所以D不正确.故选：BC.10．下列求导运算不正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解.【解析】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误．故选：ACD11．下列各式正确的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接根据导数的运算公式计算即可.【解析】对于A，，故错误；对于B，，故错误；对于C，，故正确；对于D，，故正确．故选：CD.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题12．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算__________．【答案】【分析】对已知函数两次求导数，由题意可得函数关于点，对称，即，从而即可得答案．【解析】解：由题意，，，由，得，解得，而，所以函数关于点，对称，所以，.故答案为：.13．已知函数，则的值为______．【答案】【分析】先对函数求导，然后令代入导函数中求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求出的值【解析】由，得，令，则，解得，所以，所以，故答案为：14．已知，，若，则________.【答案】##【分析】对与求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x的值.【解析】函数的导数公式可知，，由得，即，解得.故答案为：四、解答题15．求下列函数的导数：（1）；（2）.（3）；（4）；（5）y＝.（6）；（7）；（8）；（9）y＝.（10）（11）（12）.【答案】（1）（2）（