2025届高考数学一轮知能训练第九章概率与统计第9讲离散型随机变量及其分布列含解析

PAGE1-第9讲离散型随机变量及其分布列1.(2024年陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于()A.eq\f(3,16)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16)D.eq\f(1,5)2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为X123Pq21－qeq\f(5q,2)－1则q＝________；P(X≤2)＝________.3.(2024年福建厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球竞赛，竞赛实行五局三胜制，无论哪一方先胜三局则竞赛结束，假定甲每局竞赛获胜的概率均为eq\f(2,3)，则甲以3∶1的比分获胜的概率为()A.eq\f(8,27)B.eq\f(64,81)C.eq\f(4,9)D.eq\f(8,9)4.一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的8个球，从中有放回地每次取1个球，共取2次，则取得2个球的编号之和不小于15的概率为()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,64)C.eq\f(3,32)D.eq\f(3,64)5.小明打算参与电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则干脆进入操作考试；若第一次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后进入操作考试环节，第2次未通过则干脆被淘汰.在操作考试环节，若第1次考试通过，则干脆获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率为eq\f(3,4)，每次操作考试通过的概率为eq\f(2,3)，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参与3次考试的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,8)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)6.某次学问竞赛的规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.7.(2024年内蒙古赤峰模拟)机动车驾驶的考核过程中，科目三又称道路平安驾驶考试，是机动车驾驶人考试中道路驾驶技能和平安文明驾驶常识考试科目的简称.假设某人每次通过科目三的概率均为eq\f(4,5)，且每次考试相互独立，则至多考两次就通过科目三的概率为________.8.在一个口袋中装有黑、白2个球(2个球除颜色外都相同)，从中随机取1球，登记它的颜色，然后放回，再取1球，又登记它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.9.已知2件次品和3件正品混放在一起，现须要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品须要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所须要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.10.在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分.假如前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次.某同学在A处的投中率q1＝0.25，在B处的投中率为q2，该同学选择先在A处投第一球，以后都在B处投，且每次投篮都互不影响，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：X02345P0.03p2p3p4p5(1)求q2的值；(2)求随机变量X的数学期望E(X)；(3)试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B处投篮得分超过3分的概率的大小.11.通过随机询问100名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：分类男女总计爱好40不爱好25总计45100(1)将题中的2×2列联表补充完整；(2)能否有99%的把握认为爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)假如按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的高校生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参与某项校际挑战赛，记选出3人中的女高校生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).

第9讲离散型随机变量及其分布列1．A解析：P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).故选A.2.eq\f(1,2)eq\f(3,4)解析：(1)由分布列的性质得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤q2≤1，①,0≤1－q≤1，②,0≤\f(5,2)q－1≤1，③,q2＋1－q＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)q－1))＝1，④))由①②③，得eq\f(2,5)≤q≤eq\f(4,5).由④，得q2＋eq\f(3,2)q－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(1,2)))(q＋2)＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－2(舍去)．故q＝eq\f(1,2).由分布列可知X的可能取值只有1,2,3，故P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝q2＋(1－q)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,4).3．A解析：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，∴所求的概率为p＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).4．D解析：设取得2个球的编号之和为随机变量X，则P(X＝15)＝eq\f(1,8)×eq\f(1,8)×2＝eq\f(1,32)，P(X＝16)＝eq\f(1,8)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,64)，∴P(X≥15)＝P(X＝15)＋P(X＝16)＝eq\f(1,32)＋eq\f(1,64)＝eq\f(3,64).5．B解析：设小明本次电工考试中共参与3次考试为事务A，小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，其次次理论考试通过，第一次操作考试通过为事务B，小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没有通过，其次次操作考试通过为事务C，则P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)，而P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,8)，P(C)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×1＝eq\f(1,4)，∴P(A)＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,8).故选B.6．0.128解析：由题意知，该选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，必有其次个问题答错，第三、四个问题答对，第一个问题可对可错，则1×0.2×0.8×0.8＝0.128.7.eq\f(24,25)解析：第一类：考一次就通过的概率为eq\f(4,5)；其次类：第一次未通过，其次次通过的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(4,5)＝eq\f(4,25).综上，至多考两次就通过科目三的概率为eq\f(4,5)＋eq\f(4,25)＝eq\f(24,25).8.η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)解析：η的全部可能值为0,1,2.P(η＝0)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)×2,C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的分布列为η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)9.解：(1)记“第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品”为事务A，P(A)＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).故X的分布列为X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)10.解：(1)设该同学在A处投中为事务A，在B处投中为事务B，则事务A，B相互独立，且P(A)＝0.25，P(eq\x\to(A))＝0.75，P(B)＝q2，P(eq\x\to(B))＝1－q2，依据分布列知：X＝0时，P(eq\x\to(ABB))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝0.75×(1－q2)2＝0.03，∴1－q2＝0.2，q2＝0.8.(2)当X＝2时，p2＝P(eq\x\to(A)Beq\x\to(B)＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)B)＝P(eq\x\to(A)Beq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)B)＝P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(B)＝0.75·q2(1－q2)×2＝0.24.当X＝3时，p3＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝0.25(1－q2)2＝0.01.当X＝4时，p4＝P(eq\x\to(A)BB)＝P(eq\x\to(A))P(B)P(B)＝0.75qeq\o\al(2,2)＝0.48.当X＝5时，p5＝P(Aeq\x\to(B)B＋AB)＝P(Aeq\x\to(B)B)＋P(AB)＝P(A)P(eq\x\to(B))P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24.∴随机变量X的分布列为X02345P0.030.240.010.480.24∴随机变量X的数学期望：E(X)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(eq\x\to(B)BB＋Beq\x\to(B)B＋BB)＝P(eq\x\to(B)BB)＋P(Beq\x\to(B)B)＋P(BB)＝2(1－q2)qeq\o\al(2,2)＋qeq\o\al(2,2)＝0.896.该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72，∴该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．11．解：(1)题中的2×2列联表补充如下：分类男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100(2)K2＝eq\f(100×40×25－20×152,55×45×60×40)≈8.25>6.635，∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(3)由题意，抽取6人中包括男生4名，女生2名，X