2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2

PAGEPAGE1第1课时直线与平面垂直1．理解线线垂直、线面垂直的概念．2．驾驭直线与平面垂直的判定定理及性质．3．能应用性质定理证明空间位置关系．1．直线与直线的垂直两条直线垂直的定义：假如两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线相互垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：假如一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面相互垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上随意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)直线和平面垂直的判定定理：假如一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．(简而言之：线线垂直，则线面垂直)(3)推论：假如在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的全部直线都垂直，除此以外还有性质定理．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．垂直于同一条直线的两个平面平行．1．下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：选C．在空间中垂直于同始终线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同始终线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；留意分析清晰给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．2．在三棱锥A­BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：如图取BD的中点E，连接AE，EC．因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？解：不肯定．平行、相交、异面都有可能．线面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上随意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一问知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若条件不变，在四面体P­AMB的四个面中共有多少个直角三角形．解：由本例第一问的证明过程知，BM⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四个面都是直角三角形．eq\a\vs4\al()证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理法：要着力找寻平面内哪两条相交直线(有时作协助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．如图所示，S为Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC．证明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，所以SD⊥AC，取AB的中点E，连接DE、SE．则ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因为D为AC中点，△ABC为直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．线面垂直的性质的应用如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【证明】(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，所以SC⊥AG，所以AG⊥平面SDC，所以AG⊥SD．eq\a\vs4\al()证明线线垂直的常用思路eq\x(线面垂直)eq\o(→,\s\up7(推出),\s\do5(定义))eq\x(线线垂直)eq\o(→,\s\up7(推出),\s\do5(判定定理))eq\x(线面垂直)eq\o(→,\s\up7(推出),\s\do5(定义))eq\x(线线垂直)．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．(2)如图，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．所以ONeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)CD．因为CDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AB，所以ON∥AM．又因为MN∥OA，所以四边形AMNO为平行四边形．所以ON＝AM．因为ON＝eq\f(1,2)CD，所以AM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,2)AB．所以M是AB的中点．线面垂直的综合应用如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．【解】(1)证明：连接C1D．因为DC＝DD1，所以四边形DCC1D1是正方形，所以DC1⊥D1C．因为AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，所以AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，所以AD⊥D1C．又AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面ADC1．又AC1⊂平面ADC1，所以D1C⊥AC1．(2)如图，当E是CD的中点时满意条件，连接BE、D1E，因为ABeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)CD，所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD∥A1D1．所以四边形BED1A1为平行四边形，所以D1E∥A1B．又D1E⊄面A1BD，A1B⊂A1BD，所以D1E∥平面A1BD．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．eq\a\vs4\al()线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行起先转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．(2)转化关系：线线垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(定义))线面垂直eq\o(,\s\up7(性质),\s\do5(判定定理推论))线线平行．如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CE⊥AB1，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED．证明：(1)由题意，得AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1．(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB．又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，所以CD⊥平面A1B1BA，因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1．又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，所以AB1⊥平面CED．1．直线与直线垂直假如两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线相互垂直．两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直．2．线面垂直、线线垂直的证明方法(1)线面垂直的证明方法：①定义法；②判定定理法；③判定定理的推论．(2)线线垂直的证明方法：①定义法；②线面垂直的性质．(3)线线垂直与线面垂直可相互转化．1．直线与平面垂直的定义，应留意：①定义中的“任何直线”这一条件，②直线与平面垂直是相交中的特别状况，③利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的全部直线垂直．2．直线与平面垂直应留意两点：①定理中的条件，是“平面内的两条相交直线”既不能说是“两条直线”，也不能说“多数条直线”．②应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直．3．“垂直于同一条直线的两条直线平行”要求涉及到的三条直线在同一个平面内，否则不正确．这告知我们平面几何中的一些结论推广到空间时不肯定成立，须要多加留意．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定解析：选B．一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B．A答案还有异面或者相交的状况，C、D不肯定．3．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD肯定是．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四边形ABCD肯定是菱形．答案：菱形4．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是．答案：4eq\r(5)[学生用书P97(单独成册)])[A基础达标]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不肯定垂直解析：选C．过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，因为a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α解析：选D．由直线与平面垂直的判定定理的推论可知D正确．3．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC的中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有()A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：选A．如图所示，A、B、C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B．因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ．若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ．又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A．如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P肯定位于B1C上．6．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝．解析：因为AF⊥平面ABCD，AF∥DE，所以DE⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以DE⊥CD，因为DE＝AF＝2，CD＝3，所以CE＝eq\r(22＋33)＝eq\r(13)．答案：eq\r(13)7．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m∥n；②α∥β；③m⊥α；④n⊥β．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：．答案：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,α∥β,m⊥α))⇒n⊥β8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD．若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ．在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ．所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD．所以a的最小值为2．答案：29．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF．证明：如图所示，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，因为PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又因为F是PC的中点，所以EF⊥PC．又因为BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F是PC的中点，所以BF⊥PC．又因为BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF．10．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A′B′C′满意∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\f(1,2)AA′＝2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．(1)求证：MN∥平面A′ACC′；(2)求证：A′N⊥平面BCN；(3)求三棱锥C­MNB的体积．解：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，因为四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，所以AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，且AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′．(2)证明：因为A′B′＝A′C′＝2，点N为B′C′的中点，所以A′N⊥B′C′．又BB′⊥平面A′B′C′，所以A′N⊥BB′，所以A′N⊥平面B′C′CB，所以A′N⊥平面BCN．(3)由图可知VC­MNB＝VM­BCN，因为∠BAC＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝2eq\r(2)，S△BCN＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×4＝4eq\r(2)．由(2)及∠B′A′C′＝90°可得A′N＝eq\r(2)，因为M为A′B的中点，所以M到平面BCN的距离为eq\f(\r(2),2)，所以VC­MNB＝VM­BCN＝eq\f(1,3)×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,3)．[B实力提升]11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：选B．如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正确结论的序号是