2024年人教版七年级数学下册专题111 期中期末专项复习之相交线与平行线十八大（解析版）

专题11.1相交线与平行线十八大必考点

【人教版】

旦无力

【考点।同位角、内错角、同旁内角的判断】.....................................................1

【考点2三线八角中的截线问题】................................................................3

【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】.....................................................5

【考点4直线旋转中的平行线的判定】..........................................................11

【考点5与垂线有关的角度计算或证明】........................................................14

【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】....................................................18

【考点7平行线的性质在生活中的应用】........................................................23

【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】.........................................29

【考点9平行线的运用（单一辅助线）】........................................................35

【考点10平行线的运用（多条辅助线）】........................................................42

【考点II平行线在折叠问题的运用】............................................................51

【考点12平行线在三角尺中的运用】............................................................54

【考点13平行线中的规律问题】.................................................................59

【考点14平行线中的转角问题】.................................................................67

【题型15生活中的平移现象】...................................................................74

【题型16图形的平移】.........................................................................76

【题型17利用平移的性质求解】.................................................................78

【题型18利用平移解决实际问题】...............................................................80

毕一更三

【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】

【例1】（2022•河南新乡七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（）

A.团1和团2是同旁内角B.（31和（23是对顶角

C.明和团4是同位角D.团1和酎是内错角

【答案】A

【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可.

【详解】A.01和（32是邻补角，故此选项错误：

B.01和133是对顶角，此选项正确:

C.03和04是同位角，此选项正确；

D.配和团4是内错角，此选项正确;

故选A.

【点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性

质定义.

【变式1-1］（2022•青海♦中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角〃图形，如

图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

【答案】D

【分析】两条线。、〃被第三条直线c，所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种

位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位

置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位

置关系的一对角互为同旁内角.据此作答即可.

【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知

第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角.

故选：D.

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁

内角，并能区别它们.

【变式1-2］（2022•河北保定•七年级期末）如图所示，下列说法错误的是（）

A.配与团1是内错角

B.02与133是内错角

C.回A与mB是同旁内角

D.OA与足同位知

【答案】B

【分析】根据同位角，同旁内角，内错角的定义可以得到A、C、D是正确的，田2与03是邻

补角，不是内错角.

【详解】A、mC与皿是内错角，故本选项正确；

B、团2与团3是邻补角，故本选项错误；

C、团A与配是同旁内角，故本选项正确；

D、0A与明是同位角，故本选项正确.

故选B.

【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，比较简单.

【变式1-3］（2022・河南•商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错

角有b对，同旁内角有c对，贝ija+b—c的值是

【答案】6

【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到a,b,c的值，即可求解.

【详解】回同位角有：团8与国4,团5与团1,团7与团3,国6与团2,04与国9,团7与国9,共6对：

内错角有：团7与团1.团6与134.国5与团9,团2与团9,共4对,同旁内角有：团7与（34.06与团1,

团1与团9,06与139共4对，

回a=6,b=4,c=4,

0a+b-c=6,

故答案是：6.

【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关键.

【考点2三线八角中的截线问题】

【例2】（2022•四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知团1和团2是内错角，则下列

表述正确的是（）

D

B

故答案为：AB；AC；BD；同旁内角；

【点睛】本题考查了同旁内角的定义，熟悉掌握同旁内用的定义是解题的关键.

【变式2-3］（2022•全国•七年级）如图所示，从标有数字的角中找出：

⑴直线C。和被直线AC所截构成的内错角.

⑵直线CD和AC被直线A。所截构成的同位角.

⑶直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.

【答案】⑴直线C。和被直线4C所截构成的内错角是02和团5；（2）直线C7）和AC被直

线4。所载构成的同位角是和137；（3）直线AC和4B被直线8C所截构成的同旁内角是羽

和134

【分析】根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条

直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角

在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角.

【详解】解：（1）直线CO和/W被直线AC所截构成的内错角是团2和（35.

⑵直线C。和AC被直线入。所截构成的同位角是®1和（37.

⑶直线AC和AB被直线8c所截构成的同旁内角是明和耿.

【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成r形，内错角的边构成Z

形，同旁内角的边构成U形.

【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】

【例3】（2022•浙江台州•七年级期末）如图，已知：Z1=Z2,LA=^D.求证：

mII().

团/力=乙BED().

团=Z.D（已知），

配BED=（等量代换）.

0II（）.

0z/?=Z.C（）.

【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行：两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错

角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等

【分析】先通过已知条件证明。臼IAF,再由两直线平行同位角相等和等量代换证出4BICQ,

再根据两直线平行，内错用相等得出NB=4C.

【详解】证明：团乙1二42（己知），

团。月IA产（同位角相等，两直线平行）.

0Z?l=^BED（两直线平行，同位角相等）.

团乙4=乙D（已知），

^LBED=乙D（等量代换）.

mABWCD（内错角相等，两直线平行）.

=ZC（两直线平行，内错角相等）.

故答案为：DE；AF：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；A6：CQ；内

错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.

【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

【变式3-1］（2022•黑龙江•逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，ABWCD,直线Eb

分别交48,CD于点G,H,"N是皿）"G的平分线.

⑴如果GM是I28GE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系;

证明：西BIIC。,

阖BGE=（两直线平行，同位角相等.）

团GW是团3G£的平分线，

团==-/.BGE

-------------------------------2

团”N是团的平分线

0==-^DHG

-------------------------------2

配MGEFNHG（等量代换）

团GM和"N的位置关系是，（）.

⑵如果GM是BAG”的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）

⑶如果GM是勖GH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与

又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明.

【答案】⑴团及HG；团BGM；团MGE；©DHN；⑦NHG；GM||，N；同位角相等，两直线平行；

（2）成立

⑶不成立，GM0HM

【分析】（1）根据平行线的性质可得MGE=（亚汨G,再利用角平分线的定义和等量代换可

得回MGE=（3M7G,再利用平行线的判定即可；

（2）根据平行线的性质可得财GH姬。，G,,再利用角平分线的定义和等量代换可得

WGM^NHG,再利用平行线的判定即可；

（3）设GM与HN交于点P,根据平行线的性质可得防G〃+IilQHG=180。，再利用角平分线

的定义和等最代换可得团MGM+团M7G=90。，然后利用三角形内角和定理可求出团GPH=90唧

可解答.

（1）证明：财8IICD酿BGE=Q”G（两直线平行，同位角相等.）12GM是团BGE的平分线，

^BGM=^MGE=^BGE^HN是团QHG的平分线豳。HN=ElN〃G=#lOHG2WG£=mM/G

（等量代换）团GM和〃N的位置关系是GMIIHN（同位角相等，两直线平行）.

（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：EL4BIICD,13GM是（MG，的平

分线，配L4GM=WGM=^GH,©HN是（3W7G的平分线，^GHN=^DHN=WHG,^HGM=^HG

（等量代换）EIGMHHN.

（3）（3）（1）中的结论不成立，GM^HN,理由：如图：设GM与〃N交于点P,^ABICD,

^BGH+^DHG=180°,（3GM是回BGH的平分线，^BGM=WGM=^\BGH,（3/7N是（3O”G的平

分线，曲GHN=ZO，N=%O〃G,00HGA/+mHG=^BGH+^DHG=9Q°,00GPH=18O0-（0HG/W+

224

⑦NHG）=90°mG/WHHN.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线

的判定与性质是解答本题的关键.

【变式3-2]（2022•辽宁葫芦岛•七年级期末）如图已知：AB\ICD,CD^EF,八£平分OJMC,

AQ3CE,有以下结论：①A阴石尸；②2团1-m4=90。；③2R3-02=180°；@03+^4=135°,其中，

正确的结论有一.（填序号）

【答案】①②③④

【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可.

【详解】解：0A8IICD,CDWEF,

^AB\\EF,故①正确；

ME平分(3BAC,

□ABHCD,

团团4AC+02=180°,

0201+02=180°(1),

□AO3CE,

002+04=90°(2),

团(1)・(2)得，21al@1=90。，故②正确；

0ABHEF,

兆134403=180°,

(ME平分(28AC,

001+03=180°,

0201+203=360°(3),

0201+02=180°(1),

(3)-(1)得，2团3-团2=180°,故③正确；

团。力|陀产,

00CEF+04=18OO,

003+[M£：C+04=18Oo,

财

001+a4EC=9O\

团财EC=90°-01,

003+04-01=90°,

0201-04=90°,

回国1=45°申4,

003+^34=135°,故④正确.

综上，正确的结论有：①②③④.

故答案为：①②③④.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的大键，平

行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角

相等.平行线的判定是由角的数最关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系

来寻找角的数量关系.应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.

【变式3-3](2022•广东•广州市第四中学七年级期末)如图1,在四边形ABC。中，AD||BC,

⑴求证：(35=00；

(2)如图2,点E在线段AZ)上，点G在线段AO的延长线上，连接8G,^AEB=2^G,求证:

BG是团£8。的平分线；

⑶如图3,在(2)的条件下.点E在线段AD的延长线上，贴DC的平分线。，交8G于点儿

若MBE=66。，求团8”。的度数.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

⑶57°

【分析】(1)根据平行线的性质得到财+团8=180。，进而推出国C+团8=180。，即可证明A8IC。,

得到(M+团ZX180。，据此即可证明结论；

(2)先由平行线的性质得至胞C8GWG,SAE8WC8E,进而推出13E8GWC8GWG,即可证

明8G是皿4。的平分线：

(3)设团GQH=团"QC=a,设团EBG=(3C8G=£,根据平行线的性质推出66°+2£+2a=180°,则

a+/J=57°,过点“作“PIIAB交AG于P,得至附P”8+(MB”=180。，推出配)“P=团”。。=。，则

团。〃P+团8”£>+a43E+(3G8E=18(r即«+0BHD+66°+//=18O°,国BHD=57。；

(1)

解：BADIIBC,

00A+0B=18O°,

0EL4=0C,

团团0+08=180°,

□ABIICD,

盟L4+回。=180°,

盟8=回。；

(2)

解：(UADHBC,

国3CBG=(3G,^AEI^CBE.

的AE5=212G,

00CBE=20G,

团团£4G+团CBG=2回G,

00E«G=HCTG=0G,

0BG是0E8C的平分线；

(3)

解：团。”是团GOC的平分线，

瓯GOH=(3”OC,

设回GO”=回"OC=a,

^AD\\BC,

005CD=0GDC=2a,

设国EBG司CBG=0,

^AB\\CD,

0a4«C+0BCD=18O°,

mMBE+^EBC+^BCD=18Q°,

团660+2伊2a=180°,

0a+^=57°,

过点"作"PIIAB交4G于尸，

团团PHB+13A8H=180°,

0/WIICQ,

团CDIIHP,

^DHP=WDC=a,

^DHP+^BHD+^ABE+^GBE=180°

即a+0BHD+66o+^=18O°,

^BHD=57°i

图3

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键.

【考点4直线旋转中的平行线的判定】

【例4】（2022・河南洛阳•七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板48绕中点O上下转

动，立柱OC与地面垂直，当横板4B的A端着地时，测得NO4c=28。，则在玩跷跷板时，

小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（）

A.28°B.56°C.62°D.84°

【答案】B

【分析】此题可以构造平行线，根据平行线的性质进行分析计算.

【详解】解：如图所示,

过点。作DE0AC,

则有团1=4OAC=28°

而团2=团1,

所以，上下最大可以转动的角度为团2=团1=56。.

故选：B.

【点睛】本题是一道生活问题，将其转化为关于平行线的问题，解题关键是利用“两直线平

行，同位角相等〃解答.

【变式4-1]（2022•山东临沂•七年级期末）如图将木条。，〃与。钉在一起，41=75。，要

使木条。与人平行，木条。顺时针旋转了35。，团2是（）

【答案】C

【分析】根据平行线的判定定理求解即可.

【详解】解：如图,

根据题意得，01=75°,财08=35°,

团财0。=01-妫08=40°,

当团时,a\\b,

002=40°,

故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键.

【变式4-2]（2022•云南昆明•七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，

其中边BC,。尸在同一条直线上，现将三角板。石尸绕点。顺时针旋转，当成7第一次与

平行时，NC。尸的度数是（

A

A.15°B.30°C.45°D.75°

【答案】A

【分析】过点。作。M0A8,则由平行线的性质得出明=团M。8=30。,

[aMDE=aE=45°,则可求出答案.

【详解】解：过点。作则A座。M0ER

00B=[WDB=3O%团MD£=（3E=45°,

团团8/）E=（3BOM+（aEOA/=30°+45°=75°,

团回CQF=900-mBDE=90°-75°=15°.

故答案为：15。.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题.

【变式4-3]（2022•湖南永州•七年级期末）如图，直线1对2,现将一个含30。角的直角三角

板的锐角顶点B放在直线内上，将三角板绕点3旋转，使直角顶点C落在。与。之间的区域，

边4c与直角人相交于点八，若/1=35。，则图中的/2的值为（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【答案】A

【分析】过A作CEII。，得到CEMII/2,根据平行线的性质得出团3,进而求得团4,再根据平

行线的性质可求出答案.

【详解】解:过C作CE"/,

助1%，

0CEH//H/2，

003=01=35",

豳4=90°-团3=55°,

团团2=18O°-04-（M8C=18O0-55°・6O°=65°.

故选：A.

【点睛】题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解

此题的关键.

【考点5与垂线有关的角度计算或证明】

【例5】（2022•湖南•测试•编辑教研五七年级期末）如图,已知皿WC,02=133,FgAC于G,

你能说明BD与AC互相垂直吗？

【答案】见解析

【分析】根据回1=®C，得EQII8C,所以回2=因O8C,再由盟=团3,得团。8C=回3,所以BDWFG,

即可得FG^AC.

【详解】证明：001=0C,

团EDWI3C,

ia02=0DBC,

002=03,

[30/9/^0=03

团BDIIFG,

0FGa4C,

团Z2国AC

【点睛】本题综合考查了平行线的性质及判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、

同旁内角是正确答题的关健，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同

位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.

【变式5-1]（2022•安徽合肥•七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据.

如图，已知DG〃B4EFIBC,zl=z2.试证明：AD1BC.

解：因为OG〃84（已知），

所以42=乙BAD（）.

因为=z2（已知），

所以（等量代换），

所以EF〃（）.

所以乙EPB=（两直线平行，同位角相等）

因为EF1BC（已知），

所以NEFB=90°（）.

所以乙4。尸=90。（等量代换），

所以（垂直的定义）.

【答案】两直线平行，内错角相等；N1=NB4。；AD；同位角相等，两直线平行；乙ADB；

垂直的定义；AD1BC

【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可.

【详解】解：因为。G〃8.4（已知），

所以乙2=48力。（两直线平行，内错角相等），

因为乙1=42（已知），

所以41（等量代换），

所以“〃AD（同位角相等，两直线平行），

所以乙£尸8=乙408（两直线平行，同位角相等）,

因为EF1BC（已知），

所以4EF8=90。（垂直的定义），

所以乙4。尸=90。（等量代换），

所以401BC（垂直的定义），

故答案为：两直线平行，内错角相等；N1=N84D；AD；同位角相等，两直线平行；匕AD8；

垂直的定义；AD1BC.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.

【变式5-2]（2022・江苏盐城•七年级期末）如图，AB1AC,垂足为4,Z1=30°,乙B=60°.

（1）力。与8C平行吗？为什么？

（2）根据题中的条件，能判断与CC平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一

个条件，使它们平行（不必说明理由）.

【答案】（1）平行，理由见解析；（2）不能，可添加ICDJL/1C.

【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到结论；

（2）根据平行线的判定定理，即可得到结论.

【详解】（1）平行.理由如下：

EL481AC,

00BAC=9O°,

0Z.1=30°,

^BAD=Z.BAC+Z.1=120°.

0Z.5=60。，

团/B+4BAD=60°+120°=180°,

风40IIBC；

（2）不能判断48与CD平行,添加CD_L4C即可判断AB与CD平行.

AB1AC,

00BAC=9O%

OCO1AC,

□SACD=90°,

团48团CD.

【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，"内错用相

等，两直线平行"，是解题的关键.

【变式5-3]（2022•全国•七年级）已知：直线MN、PQ被48所截，且MA^PQ,点C是线

段A8上一定点，点。是射线AN上一动点，连接CD.

⑴在图1中过点。作CE0CD,与射线BQ交于E点.

①依题意补全图形；

②求证：^ADC+^8EC=90°：

（2）如图2所示，点尸是射线BQ上一动点，连接。凡WCF=a,分别作团NOC与（3bQ的角

平分线交于点G,请用含有a的代数式来表示团。GF,并说明理由.

【答案】⑴见解析

（2）0DGF=18O0--«,理由见解析

2

【分析】（1）①根据要求作出图形即可.②过点C作C7I3MM利用平行线的性质和判定

以及垂线的性质解决问题.

（2）0DGF=18O0-12«.利用（1）中基本结论可得0ADC+回〃*C=[2QCF=a,^GDN+^GFQ=WGF,

再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解.

②证明：过点C作C7I3MM

因C匝CD,

00ECD=9O\

[3C7I3MN,MN^PQ,

团C713MM3PQ,

0[?L4DC=0DCr,05EC=0EC7，,

^DC+^BEC=^DCT+^ECT=^ECD=90°.

⑵

解：（3OGF=180°jz,理由如下：

如图，

图2

由（1）的结论可知：0ADC+0BFC=0DCF=a,^GDN+^GFQ=WGF,

团QG平分团NOC,G/7平分团CPQ,

团团GON=1（aCQN,^GFQ=^CF（）,

00DGF=19CDN短CFQ）=1（180°4MOC+180°-团8FC）g<36O0-0DCF）=180°-^a.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造平行线解决问题.

【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】

【例6】（2022•福建福州七年级期末）如图，在中，点D,E分别在人8,人C上，点

F,G在BC上，EF与DG交于点O,zl+Z2=180°,=z3.

⑴判断OE与3c的位置关系，并证明：

⑵若4AEO+乙EFC=118°,求乙1的度数.

【答案】⑴证明见解析；

（2）62°

【分析】（1）由4l+N2=180。，Z2+ZD0F=180°,得到41=4DOE,则8。II£7,•••

=Z.EFC,由乙8=乙3,乙3=乙£尸C,即可证明DEII8C：

（2）由（1）的结论得到乙3=4EFC,贝1吐4£F=118°,再由同旁内角的性质得到44的度

数即可.

(1)

Vzl+Z2=180°,Z-2+Z-DOE=180°,

AZ1=Z.DOE,

•••BD||EF,

••・乙B=乙EFC,

vZ_B=43,

•••z3=乙EFC,

•••DE||BC.

(2)

由(1)知：z3=/-EFC

v/-AED+乙EFC=118°

•••z3+Z.AED=LAEF=118°

由(1)知80IIEF,

且乙4?八乙A互为同旁内角，

Z.AEF+Z.A=180°,

Z/4=180°-/.AEF=180°-118°=72°

【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定式关键.

【变式6-1](2022•河南漂河•七年级期末)已知：如图,团4=财。£0C=0E.

⑴若(3EOC=30C,求的度数；

⑵判断8E与CO的位置关系，并证明你的猜想.

【答案】⑴45。

⑵8EIICD：证明见解析

【分析】(1)根据得到。臼IAC,从而得至岷石。C+0C=18O。，结合(3EOC=3(3C,

代入计算即可.

(2)根据团4=财。后，得到。EIIAC,从而得到回£=团48工，结合回。=团£,得到团48斤团C,得

至ljBEWCD.

(1)

豳A=(2AO£,

HDEHAC,

00EDC+0C=18O°,

酿EQC=3(3C,

团瓯=180°,

0EC=45°.

(2)

4£与CO的位置关系是比：||CQ.理由如下：

0[?L4=0ADE,

^DEWAC,

变氏蜘8£,

团团。=团石，

00A/?E=0C»

^BEWCD.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

【变式6-2](2022广东湛江•七年级期末)如图所示，己知射线。例|04，乙C=乙OAB=110°,

E、尸在CB上，且满足"08=〃。8,0E平分“0尸，根据上述条件，解答下列问题：

(1)证明：。。|力8：

(2)求乙E0B的度数；

⑶若平行移动力8,那么乙08C/0FC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化,

请说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)乙E0B=35°

(3)不变，LOBC;乙OFC=1:2.

【分析】(1)根据平行线的性质得出ZC04再根据=180。,可得0CII4B；

(2)根据±F08=匕力。8,。£平分上COF,BP=/-EOF+/-FOB=^COA,

即可得出答案；

(3)根据平行线的性质，即可得出乙。8C=4804,2。*=Z-FOA,再根据=乙FOB+

^AOB=2/-AOB,即可得出答案.

(1)

^CBWOA,Z.C=^OAB=110°,

^Z-COA=180°-zC=180°-110°=70°,

^Z-COA+WAB=180°,

WC\\AB；

（2）

BZ.FOB=Z.AOB,

回。8平分乙AOr，

又OE平分乙COP,

0ZEOB=ZEOF+4FOB=-zCOA=-x70°=35°；

22

⑶

不变.

^CBWOA,

0ZOBC=ZBOA,ZOFC=乙FOA,

^OBC-.Z-OFC=Z.AOB-.^FOA,

X0Z.FOA=4FOB+4AOB=2zAOB,

团408C:4。FC=LAOB-.Z.FOA=^AOB\2Z.AOB=1:2.

【点睛】本题考查平行线、角平分线的性质及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理

清各角间的关系时解题关键.

【变式6-3］（2022•北京密云•七年级期末）己知：点。是册08的OA边上一点（点。不与

点。重合），点。是助08内部一点，射线C。不与08相交.

⑴如图1,财08=90。，0OCD=12O°,过点O作射线OE，使得OE//CD.（其中点石在MOB

内部）.

①依据题意，补全图1:

②直接写出财O石的度数.

（2）如图2,点尸是射线。8上一点，且点尸不与点O重合，当/4。8=0（0。＜。＜180。）时，

过点尸作射线产〃，使得/7〃/CO（其中点〃在财08的外部），用含a的代数式表示因。CO

与(3BFH的数量关系，并证明.

【答案】⑴①见解析；②30。

(2)团。。。+团3"/=360。一%,证明见解析

【分析】(1)①根据题意补图即可；

②根据平行线的性质求出即可；

(2)过点。作OMQCZ)mF”，根据平行线的性质得出两角的数量关系即可.

(1)

②(3CZWE,

mSOCD+XOE=180°,

幽00)=120°,

盟CO月=60°,

00408=90°,

幽3OE=90°-团COE=90°-60°=30°：

(2)

解：(3OCM3BFH=360°-a,

证明：过点。作。M3CD0F”，

配OCZ)+13COM=180°,13MO尸二团0切,

又团团8F”+f3OF7/=180°,

0180°-0OCQ+1800-®BFH=a,

^（）CD+^FH=360°-a.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【考点7平行线的性质在生活中的应用】

【例7】（2022•湖北武汉七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB团直线

CD,光线EF经过镜子AB反射到镜子CD,最后反射到光线GH.光线反射时,01=02,133=04,

下列结论：①直线EF平行于直线GH；②由FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；

③配FE的角平分线所在的直线垂直于国4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋

转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【答案】B

【分析】根据平行线的性质定理逐个证明，看是否正确即可.

【详解】①正确，根据AB//CD,可得22=Z3,再根据已知可得41=△2=△3=44,进

而证明NEFC=ZFGH,因此可得EF//GH；

②正确，根据的=团4,可得国FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；

③正确，因为①证明了21=44,所以只要证明N1的角平分线垂直于的角平分线

即可；

④不正确，因为w2+/3=90°,所以zEFC+iFGH=180°,HPEF//GH.

故正确的有①②③，因比选B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和定理，这是基本知识点，必须熟练掌握.

【变式71】（2022•江苏宿迁七年级期末）熨验证明：平面镜反射光线的规律是；射到平

面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜

MN.NP,一束光线射在其中一块MN上，经另外一块NP反射，两束光线会平行吗？若不

平行，请说明理由，若平行，请给予证明

【答案】会，理由见解析

【分析】作BEJLN8,CFLNC,根据NB1NC可得H"2+乙3=41+，4=90。，再由平

行线的判定定理即可得出结论.

【详解】解：AB//CD.

理由如下：作BE1NB,CrINC,如图，

vzl=Z2,43=44,BE//NC,

z2=Z.NCB,

•••z2+Z3=zl+Z4=90°,

•••乙ABC+Z-BCD=180°,

AAB//CD.

【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知入射痢等于反射角是解答此题的关键.

【变式7-2](2022•浙江杭州•七年级期末)(1)若组成Z1和N2的两条边互相平行，且乙1是

42的2倍小15。，求乙1的度数.

(2)如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平吁于与上拉杆C尸形成的乙尸=

145。，主柱4。垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度.当乙CDB=

25。时，点H,D,3在同一直线上，求乙H的度数.

GH

【答案】(1)15。或115。；(2)120°

【分析】⑴根据团1,132的两边分别平行,所以皿，02相等或互补列出方程求解则得到

答案.

(2)过。点作。似石F,根据两直线平行，同旁内角互补可求团尸川=35。，根据平角的定义可

求(MOB=30。，根据直角三角形的性质可求(M8"=60。，再根据两直线平行，同旁内角互补可

求团”.

【详解】解：(1)①当回1=便2时，

001=202-15°,

001=201-15°,

解得回1=15°；

②当团1+团2=180°时，

001=202-15%

002+2[32-150-1800,

解得国2=65。，

001=180°-02=115°;

(2)过。点作O/0EF,

酬尸=145°,

团团"。/=35°,

团姐。庆1800-90°-35°-25°=30°,

豳4BH=90°-30°=60°.

0G月团48,

00H=18OO-6OO=12O0.

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平

行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.

【变式7-3］（2022・湖南•师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在

直线（A80CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q,若灯P射线自力逆时针旋转至

PB便立即回转，灯Q射线自。。逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停

交叉照射巡视.设灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是

音乐喷泉的中心.

（1）若把灯P自必转至P8,或者灯Q自Q。转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照

射•次各需要的时间；

（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求回PMQ：

（3）在两灯同时开启*的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？

（备用图）

【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18杪、45杪；（2）^PMQ=108°；

（3）当开启155或言s或言s后，两灯的光束互相垂直.

【分析】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果；

（2）过点M作FM〃人利用平行线的相关性质求解即可；

（3）分三种情况：①当两灯开启时间小于18秒时，②当两灯开启时间大于18秒，小于

36秒时，PM返回时，第一次与。M相遇，③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，PM

返回时，第二次与OM相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准

等量关系，列出方程求解即可.

【详解】解：（1）团灯P转动的速度是10度/秒，灯。转动的速度是4度/秒，

团P灯照射一次需要的时间是:詈=18（秒）

Q灯照射一次需要的时间是：口=45（秒）；

（2）团转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚，

（3N4PM=10°X12=120°,

△DQM=4°xl2=48°,

如下图示，过点M作尸M/〃B,

贝IJ有FM/A48//C。

^Z.APM+Z.PMF=180°,乙FMQ=乙DQM=48°,

0ZPMF=180°-NAPM=180°-120°=60°,

团NPMQ=乙PMF+乙FMQ=60°+48°=108°；

（3）①当两灯开启时间小于18秒时，

如图1所示，

图1

过点M作FM〃/18,

贝I」有FM//48//CD

团Z71PM=103乙FMQ=乙DQM=43

0ZPMF=180°-Z,APM=180°-10t,

回两灯的光束互相垂直，

团依题意可得：180°-10t+4t=90°

解之得：£=15；

②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，

PM返回时，第一次与DM相遇，则如图2所示,

过点用作FM〃/W,

APB

图2

则有FM〃/18〃CD

0ZPMF=乙BPM=lOt-180°,乙FMQ=4OQM=4t,

团两灯的光束互相垂直，

回依题意可得：10t-180'+4t=90°

解之得：£二手；

③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，

PM返回时，第二次与DM相遇，则如图3所示，

过点M作FM〃/

图3

贝IJ有FM//48//CD

团，BPM=10t-180°,乙DQM=43

团乙PMF=180°-乙BPM=360°-10t,

乙FMQ=180°-乙DQM=1800-4t

但两灯的光束互相垂直，

13依题意可得:3600-101+180°-4£=90°

解之得：t=~

综上所述，当开启15s或苧s或1s后，两灯的光束互相垂直.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分

类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键.

【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】

【例8】（2022•河北唐山•七年级期末）己知三角形ABC,EFIIAC交直线A8于点E,。尸|伏8交

直线71C于点D.

图1备用图

⑴如图1,若点尸在边BC上,直接写出484。与修尸0的数量关系；

⑵若点尸在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明：若不成立,

又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由.

【答案】⑴NB4C=ZEFD

（2）不成立，当点尸在边8c的延长线上时，0BAC+0EFD=18O°,图见解析，证明见解析

【分析】（1）根据平行线的性质即可得到mB4c与（3E口）的数量关系；

（2）首先作出图形，再结合平行线的性质即可得到结论.

（1）

解：WAC^EFD,

证明：0FFIMC,

^BAC=^BEF,

^DF\\AB,

^EFD^BEF,

WAC^EFD；

（2）

如图2,当点尸在边的延长线上时，（1）中的数星关系不成立，

数量关系为0384C+0EFD=18O°,

E

A

I)

B

图2L)

证明：^DFWAB,

00D=0fi4C.

团EF1||4C,

00Ero+0D=18O°,

00tfAC+@EFD=18O°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两宜线平行，同位角相等以及两

直线平行，同旁内角互补等知识.

【变式8-1］（2022•湖北襄阳•七年级期末）如图，已知L4MII8N,0是射线AM上一动点（不

与点人重合），BC,分别平分财与（3P8N,分别交射线AM于点C,D.

（1）若乙4=50°,求“8D的度数;

⑵在点P的运动过程中，团8%与必BD4的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理

由；若不变，请求出明以与鼬OA的数最关系；

⑶当点P运动到使（MCB=a4B。时，探究朋3c与团。BN的数量关系，并证明你的结论.

【答案】（1）65。

⑵在点。的运动过程中，团8%与皿2A的数量关系不随之发生变化，皿m4=2回3D4

⑶（M8C=用。BM证明见解析

【分析】（1）根据4MII3N,可得财+0A8N=18O。，从而得到蜘8N=130。，再由3C,BD

分别平分E/WP与团P8N,可得“BD=g（44BP+"8N）,即可求解；

（2）根据4MII8N,可得田4以=团。切7,国4。4=团。8M再由乙PBD=4DBN=乙乙PBN,可

2

得团P8N=2团8Q/L即可求解：

（3）根据4MIIBN,可得MC8=（3C®V,再由a4C8=0AB£）,可得团CBN=0ABD,即可求解.

(1)

解:^AMWBN,

Eia4+0/WN=18O°,

乂财=50°,

00AB/V=13O",

团6C,6。分别平分团WP与团PAN,

^Z-CBP=\z.ABP,乙PBD=LDBN=:乙PBN,

田匕CBD=乙CBP+乙PBD=^(Z.ABP+乙PBN)=65°.

(2)

解：在点P的运动过程中，回8%与(3BD4的数量关系不随之发牛.变化，^BPA=2^BD/\,理

由如下：

回力MII8N,

^BPA=BPBN,MOB=(3DBN,

又团ZPBD=Z-DBN=^PBN,

物P8N=2(38D4,

图38以=2回8D4.

(3)

解：M8C=OOBN.理由如下：

团4MII8N,

0ELACB=0CB/V,

^CB=^ABD,

^CBN=^1ABD,

即助BC+⑦C3Q=(3QBN+团C8O,

团财BC=(ao〃N.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理

是解题的关键.

【变式8-2](2022•安徽合肥•七年级期末)已知：直线M8IIC0,经过直线48上的定点P的

直线E尸交CD于点。，点M,N为直线CD上的两点，且点M在点。右侧，点N的左侧时，连接

PM,PN,满足乙MPN=4MNP.

E

⑴如图1,若乙MPO=25。，/-MNP=50°,直接写出NCOP的度数为：.

⑵如图2,射线PQ为乙MPE的角平分线，用等式表示乙NPQ与4POM之间的数量关系，并证

明.

【答案】(1)125°

(2)/POM=24NPQ,见解析

【分析】(1)根据平行线的性质以及题干中4MPN=/MNP即可推出iCOP的度数.

(2)结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到乙NPQ与"OM的等量关系.

(1)

vABKD,

•••乙COP=乙BPO,乙BPN=乙MNP=50°.

•••Z.MPO=25°,乙MPN=乙MNP=50°,

(COP=Z.BPO=4MP0+乙MPN+乙BPN=25°+50°+50°=125°.

(2)

结论：乙POM=2乙NPQ.

理由：

vABKD,

乙EPB=乙POD,乙BPN=乙PNM.

又•.•射线PQ为，MPE的角平分线，

:.LEPQ=乙MPQ=\z.MPE.

•••乙MPN=乙PNM=乙NPB,

:.乙MPN=乙NPB=*'MPN+乙NPB)

二乙NPQ=Z-MPQ-乙MPN=\LMPE-3乙MPB=^EPB=：iPOM.

即4PoM=2/NPQ.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识.解题关键是熟练掌握平行线的

性质，属于中考常考题型.

【变式8-3］（2022•湖北孝感•七年级期末）在三角形A8C中，点。在线段AC上，。臼|5。交

AB于点点尸在线段4B上（点尸不与点A,E,8重合），连接。尺过点。作尸G1FD交

射线CB于点G.

⑴如图1,点厂在线段/拉上，

①用等式表示团四尸与13BG/的数量关系，并说明理由；

②如图，求证：/-ABC+LBFG-£EDF=90°；

⑵当点〃在线段4E上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示由£Q尸与团BGQ

的数量关系，不需证明.

【答案】⑴①0EDF+［犯G尸=90。，理由见解析；②过程见解析

（2）国AG/'化£。尸=90°或同3G厂+^EDF=90°

【分析】对于（1）①，过点广作平行线，再根据平行线的性质因EDF=（31和13BGFW2,

然后根据垂直可得结论；

对于②，根据平行线的性质得0/18。=财"7和团EDF峭1,再根据垂直定义得团8FG+03=9O。,

整理可得结论；

对于（2）,分两种情况讨论，再结合（1）给出证明即可.

（1）

过点了作FH^BC交AC于点、H

®［3EDF+0Z?GF=9OO.

理由如下:

13ra3BC,ED^BC,

^ED^FH,

皿EDF=(31.

配IBG/M12,

瓯£。/,'+团4Gp=回1短2.

0FG3FD,

00DFG=9O°,口[1(31+02=90°,

^EDF^BGF=90°；

@0F