高二圆锥曲线最值教案

课题：圆锥曲线中的最值问题（一）北京市八一中学刘扬教学目标：知识与技能：以圆锥曲线中椭圆为例使学生初步掌握求最值的几种常见方法，如均值定理、二次函数等在解题过程时，能熟练将几何条件进行代数转化，并利用相关代数知识进行计算方法与过程：通过作业题展示复习回顾求最值的常见方法，并做分析对比对于求面积最大值问题，能够较为熟练的将题目中的几何条件进行代数转化，并选择恰当的形式，利用相关代数知识解决问题对于分式求解最值，注意式子的结构特征，通过合理换元，转化为二次函数或利用均值定理在解题过程中注意不同方法的比较，选择更好的方法解题，减少运算步骤，提高结果的准确度类比椭圆中最值问题的处理方法，通过作业题对其他圆锥曲线求最值问题进行研究3、情感、态度价值：培养学生研究问题、分析问题的意识，在解决数学问题时自觉地使用学科基本思想方法，（数形结合、函数与方程等），提高自身数学素养教学重点：在解决椭圆中求最值问题时，形数转化的思想方法求最值时根据式子结构特征进行化简变形，从而顺利求解教学难点：求最值时如何将表达式化成可以利用二次函数或均值定理的形式教学过程：教学环节教学内容设计意图例题：(课本P48习题B组第5题)已知Ｐ为椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，求：的最大值.【分析】：所求是两个变量的积，这两个变量是否有相关性？因为是椭圆上点到焦点的距离，所以，于是可以向两个方向转化，第一：可以考虑均值定理，和为定值积有最大值；第二：可以考虑消去变量转化为二次函数求最大值。解：【方法一】：因为所以当且仅当时取到“=”【方法二】：因为所以因为，所以当时，取最大值.还可以这样考虑，点Ｐ在椭圆上运动，使的值发生变化，在某一特定位置时乘积取到最大值，因此可设，这样的值与有关，而满足椭圆方程，所以可消去变量转化为二次函数处理。【方法三】：设点，因为，所以当时，取最大值另外还可设，将转化为与参数相关的函数，利用三角代换法解决问题。【变式】：在上例中延长交椭圆于点，连接，求面积的最大值.【分析】：可以设直线方程为，与椭圆方程联立，三角形的面积可用与到的距离d来表示，即，再求最大值.也可以将的面积分成两个小三角形面积之和，即，这时直线的方程可设为.【方法一】：当直线斜率不存在时，，到的距离为，则当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆中得（1）因为直线过椭圆焦点，所以方程（1）必有两实根，设，，则，，由弦长公式得设到距离为d，则，所以令则代入上式得因为，所以，当时，即时取最大值为综上所述三角形的面积最大值为2另外对也可以用均值定理：当且仅当时，即时取最大值2【方法二】：设直线方程为代入椭圆中得，因为直线过椭圆焦点，所以上述方程必有两实根，设，则，所以，令则代入上式因为，所以，当时，即时取最大值为2另外，若对（1）式令则则（1）式可变为当且仅当时，即时取最大值为2课堂小结：本节课通过对椭圆中相关最值问题的讨论，复习了求最值的几种常见方法：二次函数、均值定理，三角代换等等；并再次强调处理解析几何问题时，要将已知的几何条件作代数转化，并利用代数知识解决几何问题，实现几何代数几何的转化；认真观察函数式结构，利用换元法将式子变形，并求出最大值；今天只是对椭圆中最值问题进行了初步的研究，课后请同学们按照相同的研究方法，试着对双曲线和抛物线最值问题进行研究，完成以下作业题。课后作业：1．已知椭圆C的左右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆Ｐ圆心为Ｐ.（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程； （Ⅱ）若圆Ｐ与轴相切，求圆心Ｐ的坐标；（Ⅲ）设是圆Ｐ上的动点，当变化时，求的最大值.2．已知Ｐ为双曲线右支上任意一点，是双曲线的两个焦点，求：的最小值.3．已知抛物线C:，过点任意作互相垂直的两条直线，分别交抛物线C于A，B和M，N.设线段AB，MN的中点分别为P，Q求证：直线PQ恒过一个定点；并求面积的最小值.以作业展示的方式进行复习回顾