《直线与平面的夹角》教学设计

高中数学精选资源2/2《直线与平面的夹角》教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图情境引入同学们，我们都掷过铅球，那么是把铅球水平推出还是把它沿一定的角度向上推出时，才能掷得相对较远些呢?我们这里所说的角度，又是指的什么呢?教师提出问题，学生思考，直观得出结论：直线与平面所成的角.教师继续提问：前面我们学习了异面直线所成的角的概念，大家还记得吗?学生回忆、回答.通过问题让学生产生对比联系，为后续学习做好铺垫.知识探究1.直线与平面的夹角.（1）范围：[0°，90°].①如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°；②如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°.（2）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.说明：引进了平面的斜线与平面所成的角后，空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角.（3）性质:①平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）；例1如图所示，已知在平面内，过该角的顶点引平面的斜线，且使，求证：斜线在平面内的射影平分.证明设点在平面内的射影为点，则为在平面内的射影.根据前面的结论有由可得因此，即平分②经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等.2.用空间向量求直线与平面的夹角.如图（1）（2）所示，可以看出或.特别地，例2已知是正方体，求与平面所成角的大小.解（方法一）如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.则所以设平面的一个法向量为，则取，可得.又因为，所以,从而可知与平面所成角的大小为（方法二）设的中点为，连接，，如图所示因为是正方形，所以.又因为，且面，所以.再根据可知面因此，在面内的射影为，所以就是与平面所成角.因为正方体中有，所以在中，,又因为是一个锐角，所以，即与平面所成角的大小为.教师先介绍两种特殊情况（直线与平面垂直，直线与平面平行或直线在平面内）对应的直线与平面所成的角，然后出示教材第43页上方的“尝试与发现”，引导学生思考.教师结合自制几何实物模型和几何画板课件，为学生展示斜线与平面所成的角的概念的形成过程，同时讲清楚相关概念.学生观看、思考、理解、识记：线面角是由线线角来定义的并完成下表：线面角的定义线面角的范围教师出示教材第43页下方的“尝试与发现”，安排学生自主探究、相互交流.学生亲自动手借助于自制几何模型和多媒体课件做实验，直观观察感受，在动态中发现最小角定理.教师结合学生的直观答案，继续提出问题：能否进行理论证明呢?学生尝试进行证明，教师适时指导，并投影展示证明过程.教师出示例1，让学生思考、尝试独立完成，教师对学困生进行指导.教师出示教材第44页“尝试与发现”，引导学生独立完成.可设置如下问题：过平面外同点作两条斜线，（1）若斜线段长相等，那么两者的射影长有什么关系?两斜线与平面所成的角有什么关系?（2）若射影长相等，那么两斜线段长有什么关系?两斜线与平面所成的角有什么关系?（3）若两斜线与平面所成的角相等，那么两斜线段长有什么关系?两射影长有什么关系?学生思考，并尝试进行证明，教师适时指导，得出结论性质②.教师提出问题:（1）你能根据定义概括一下求直线与平面的夹角的一般步骤吗?（2）通过前面的学习，我们可以借助向量来研究异面直线所成的角，那么你能借助直线的方向向量和平面的法向量来研究直线与平面所成的角吗?学生尝试完成教材第45页“尝试与发现”栏目，教师巡视课堂，适时点拨，提醒学生注意向量的夹角和直线与平面的夹角两者的联系与不同.师生一起梳理结论：根据方向向量与法向量方向的不同，可分为两种情况.教师请3~4名学生板演例2，教师对学困生进行指导、点拨.学生根据问题利用定义法或向量法来完成例2，其他学生在练习本上完成学生之间对板演结果进行点评、补充，并对比两种方法的优缺点.教师对学生的结果进行评价，规范解答过程，并同学生一起总结两种方法的优缺点，总结利用向量法求直线与平面的夹角的一般步骤.学生动手，培养直观想象和逻辑推理核心素养.让学生通过探究活动，更好地理解直线与平面所成的角定义的合理性，提升数学抽象与逻辑推理核心素养.探究直线与平面所成的角的性质，进一步理解定义，提升逻辑推理核心素养.梳理斜线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面的夹角间的关系，为利用向量解决线面角问题打好理论基础.通过例题使学生感受求线面角的不同处理手段，提升逻辑推理核心素养.归纳小结1.直线与平面所成的角.2.用空间向量求直线与平面的夹角.教师引导学生分组回答，小组评价.锻炼学生归纳总结、合作学习的能力.布置作业教材第46页练习A第1，2题.学生课后完成.巩固所学知识。板书设计1.2.3直线与平面的夹角一、情境引入二、知识探究1.直线与平面的夹角（1）范围：[0°，90°].①如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°.②如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°.（2）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.（3）性质：①平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）；例1②经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等2.用空间向量求直线与平面的夹角例2三、归纳小结教学研讨直线与平面所成的角的本质是转化为直线与直线所成的角来处理的，那么到底是转化为直线与平面内的哪条直线所成的角呢?直