《直线与平面垂直》第1课时教学设计一

高中数学精选资源3/3《直线与平面垂直》第1课时教学设计一教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，天安门广场上竖立的国旗杆与地面的位置关系是怎样的？直立在水平桌面上打开书的书脊与桌面的位置关系呢？问题2：你能再举出几个实际生活中直线与平面垂直的例子吗？思考：如何检验旗杆与地面是垂直的？教师利用多媒体出示图片，引导学生观察图片，将图片中的实物抽象为几何图形，直观感知直线与平面的垂直.联系实际生活中的问题，激发学生的学习兴趣.概念形成11.直线与平面垂直的定义.通过上述观察分析，你认为应该如何定义条直线与一个平面垂直？定义：如果直线l与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面垂直，记作：直线l称为平面的垂线，平面称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足.即：l垂直于平面内的任意一条直线台图形语言：符号语言：.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.注意：过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.2.直线与平面垂直的性质定理.问题1：如图，在长方体中，所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行吗？问题2：已知直线a，b和平面，如果，那么直线a，b一定平行吗？已知：.求证：.证明:如图,设,垂足分别为,B.假定和不平行,则过点作的平行线与不重合.因,故直线与确定一个平面,记为,且记.因为,所以.又因为,所以.这样在平面内,经过直线上同一点就有两条直线与都与垂直,这与“平面内,过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.因此.这样就得到了直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.简化为：线面垂直线线平行.学生思考作答，教师补充完善，指出定义中的“任何一条直线”与“所有直线”是同义词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.引导学生主动思考辨析，并利用现有工具摆出反例模型，同时给出直线与平面垂直的记法与画法.注意：1.辨析任意、所有、每一条、无数的区别；2.定义体现了由线线垂直到线面垂直的转化.生：借助长方体模型可知所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？师提示：由于无法把两条直线a，b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4，在这种情况下，我们采用“反证法”.利用“反证法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法.借助模型的演示过程构建直线与平面垂直的定义，帮助学生建立对定义的直观感受，并引导学生用“正难则反”的思想来思考问题，进一步概括直线与平面垂直的定义.借助模型教学，培养学生的几何直观能力反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高课堂教学效率通过该性质定理的证明过程，培养学生的直观想象和逻辑推理数学核心素养.应用举例1例1本章1.2节已提到从平面外一点作个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离请证明：如果一条直线平行个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等.证明如图，直线与平面分别用l与表示，且.要证明直线上各点到平面的距离相等,只要证明直线上任意两点到平面的距离相等.而点到平面的距离也就是点到平面垂线段的长.过直线上任意两点分别作平面的垂线,垂足分别为.因为,所以.设过直线和的平面为,则.由,得.所以四边形是平行四边形.所以,即直线上各点到平面的距离相等.教师操作课件，师生共同分析思路，然后让学生完成证明过程，最后教师给予评价.教师进行总结：平行于平面的直线上的任意一点到平面的距离都相等.定义：如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.巩固所学知识，培养学生的直观想象与逻辑推理数学核心素养.概念形成2直线与平面所成的角.如图，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.画法：如图，就是斜线AP与平面所成的角.问题：当直线与平面垂直时，它们所成的角是多少？当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是多少？学生思考作答，教师补充完善：当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是的角.线面角的范围：.借助模型的演示过程构建直线与平面所成的角的定义，帮助学生建立对定义的直观感受，发展直观想象和数学抽象数学核心素养.应用举例2例2如图,已知正方体.(1)求与底面所成的角;（2）设正方体的棱长为,求与底面所成的角的余弦值.解(1)因为底面,所以是与底面所成的角.因为侧面是正方形,所以.即与底面所成的角为.(2)如图,连接,则.因为底面,所以是与底面所成的角,同时.在中,,,所以.即与底面所成的角的余弦值为.教师操作课件，引导学生分析思路，完成解答过程，规范解题步骤.巩固所学知识，培养学生的逻辑推理与数学运算核心素养.归纳总结1.直线与平面垂直的定义.2.直线与平面垂直的性质定理.3.与平面平行的直线到平面的距离.4.直线与平面所成的角.学生归纳总结，教师补充完善.回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力.布置作业教材第229页练习第1，2，3题.学生独立完成，教师批阅.巩固知识，提升能力.板书设计第1课时直线与平面垂直的性质一、新课导入问题1问题2二、概念形成11.直线与平面垂直的定义如果直线l与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面垂直，记作：直线l称为平面的垂线，平面称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足2.直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行三、应用举例1例1如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离四、概念形成2直线与平面所成的角：一条直线与一个平面相交，但不