《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计

高中数学精选资源3/3《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.介绍笛卡尔及直角坐标系.笛卡尔，法国著名的数学家，他对现代数学的发展做出了重要的贡献，创立了笛卡尔坐标系，又称为直角坐标系，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.2.回顾直线与圆的位置关系.教师先介绍笛卡尔的事迹，然后提出问题引导学生回忆直线与圆的位置关系及判定方法.学生思考、得出答案：直线与圆有三种位置关系，分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）；判定方法有两种：代数法、几何法.教师继续提出问题：我们前面学习了最基础的圆锥曲线，那么直线与圆锥曲线有什么样的位置关系呢？又该如何判定直线与圆锥曲线的位置关系呢？学生继续思考，部分学生能得到正确的结论.传播数学文化，激起学生求知的欲望，由已有的知识类比迁移到新知识.应用举例例1判断直线与椭圆是否有公共点,如有,求出公共点的坐标,如公共点有两个,求出以这两个公共点为端点的线段长.解联立直线与椭圆的方程,可得方程组解方程组可得或因此直线与椭圆有两个公共点,且公共点的坐标为.从而可知所求线段长为.例2已知直线与椭圆,分别求直线与椭圆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围.解联立直线的方程与椭圆的方程得方程组消去,整理得=1\*GB3①因为=1\*GB3①的判别式为，所以：当即时,方程=1\*GB3①有两个不同的实数解,此时原方程组的实数解集中有两个元素,直线与椭圆有两个公共点；当即时,方程=1\*GB3①有两个相等的实数解,此时原方程组的实数解集中只有一个元素,直线与椭圆有且只有一个公共点;当即或时,方程=1\*GB3①无实数解,此时原方程组的实数解集为空集,直线与椭圆没有公共点.小结:当直线与椭圆有两个公共点时,称直线与椭圆相交;当直线与椭圆有且只有一个公共点时,称直线与椭圆相切;当直线与椭圆没有公共点时,称直线与椭圆相离.例3判断直线与双曲线是否有公共点.如果有,求出公共点的坐标.解联立直线与双曲线的方程,可得方程组消去,可得,由此可解得.此时,.因此直线与双曲线有一个公共点,且公共点的坐标为.概念:一般地,给定直线与圆雉曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线),如果联立它们的方程并消去一个末知数后,得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解（即有两个相等的实数解),则称直线与圆雉曲线相切.例4已知点和抛物线,求过点且与抛物线相切的直线的方程.解当直线的斜率不存在时,由直线过点可知,直线就是轴,其方程为.由消去末知数得.这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解,所以直线与抛物线相切.如果直线的斜率存在,则设直线的方程为.由方程组消去,整理得.为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解,必须有且，因此可解得.此时直线的方程为,即.综上可知,直线的方程为或.概念:一般地,直线与圆锥曲线有两个公共点时,则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦,线段的长就是弦长.简单地说,圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.例5已知直线与抛物线相交于两点,且为坐标原点.（1）求弦长;（2）判䉼是否成立,并说明理由.解(1)设,则.因为都是直线上的点,所以第二式减去第一式可得,从而.又因为从方程组中消去,整理可得,而且,是该方程的两个根,因此由韦达定理可知所以，因此,从而可知.（2）设,则.因此，将代人上式可得.又因为由可知,所以，所以不成立.教师出示例1，给出一些问题引导学生思考：（1）点在椭圆上、直线上的充要条件是什么？（2）怎样判断直线与椭圆是否有公共点？（3）如果直线与椭圆有公共点，应该怎样求出公共点的坐标？学生思考以上三个问题，并尝试独立完成例1.教师对学生的答案进行评价，师生共同梳理解题思路：联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程，解此方程进而可得公共点的坐标、公共点间的距离.教师继续出示例2，请学生分析解题思路，并进行板演.学生思考，得出直线与椭圆的公共点的个数与联立两者方程后得到的一元二次方程的根的个数之间的对应关系，尝试写出完整的解答过程学生尝试求解、答题，教师适时进行指导，评析.类比直线与圆的位置关系，结合图像，师生共同得出直线与椭圆相交、相切、相离三种位置关系.教师出示例3，请学生先独立思考解答.学生通过联立方程组得出正确答案.教师介绍直线与圆锥曲线相切的概念，并抛出问题：例3中仅有一个公共点，能说明直线与双曲线相切吗？学生思考，提出质疑.教师利用多媒体画出例3中直线与双曲线的图像，给学生直观答案：直线与双曲线不相切！教师继续抛出问题：直线与双曲线仅有一个公共点和直线与双曲线相切是什么样的关系呢？学生交流、讨论得出答案：直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点是直线与它们相切的必要不充分条件，而直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的充要条件.教师出示例4，先请学生分析解题思路，引导学生进行数形结合教师强调要画草图、要考虑直线斜率是否存在等事项，并出示例4的参考答案.教师介绍弦长的概念，学生理解.教师出示例5,并请名学生表述自己对例5的分析过程,其他学生补充.教师板演例5解答过程,并引导学生进行对比,优化解答过程.学生思考、对比,体会求弦长的思路及“设而不求”法.在完成解答后教师引导学生尝试另一种解答方法,先求出与的坐标,然后再求弦长,并验证垂直是否成立.另解如下:联立直线与抛物线的方程,可得方程组消去,整理得,解得,此时..（1）（2）,不成立.最后教师引导学生体会两种解法的区别.学生动手，培养学生的直观想象和数学运算的数学核心素养.归纳小结，得出直线与椭圆的位置关系的概念，发展数学抽象核心素养.通过例题的解答，使学生体会数形结合思想，感受分类讨论的方法，发展直观想象、逻辑推理等数学核心素养.通过两种不同的求弦长的方法，让学生体会“设而不求”在计算方面的简洁性，且不易出现计算方面的错误问题，发展学生的数学运算和逻辑推理等数学核心素养，归纳小结1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法.2.直线与圆锥曲线有一个公共点与相切的关系.3.弦长的概念及求法.教师引导学生分组回答，小组评价.锻炼学生归纳总结的能力.布置作业教材第164页练习2-8A第1，3，4题.学生课后独立完成.巩固本节所学内容.板书设计2.8直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离2.直线与圆锥曲线相切一般地,给定直线与圆雉曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线),如果联立它们的方程并消去一个末知数后,得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解（即有两个相等的实数解),则称直线与圆雉曲线相切.3.弦