抽象函数赋值技巧 24个函数模型总结

抽象函数赋值技巧&24个函数模型总结F[f(x⋆y),f(x),fy]=0型抽象函数模型，方便同学们快速解答简单的抽象函数【【2023年新高考全国I卷T11】已知函数fx的定义域为R，fxy=y2fx+x2fy，则().B.f(1)=0C.f(x)是偶函数∵fxy=y2fx+x2fy:f0=0f0+0f0=0:f1=1f1+1f1:f(1)=0:f1=f—1+f—1=2f—1:f(—1)=0:f—x=fx+x2f—1=fx又函数fx的定义域为R，所以fx为偶函数⑤不妨令fx=0，显然符合题设条件，此时fx无极值对fxy=y2fx+x2fy两边同时除以x2y2得到即当x>0时，fx=x2lnx故f(x)在0,e−上单调递减，在上单调递增因为fx为偶函数，所以fx)在上单调递增，在上单调递减图1【【2022年新高考全国II卷T8】已知函数fx的定义域为R，且f(x+y)+fx−y=fxfy，f1=1，则Σ∵f(x+y)+f(x−y)=fxfy)∴2f1=f1f0∴f(0)=2∴fy+f−y=2fy∴fy=f−y所以函数fx为偶函数:f(x+1)+f(x—1)=fxf1)=fx:f(x+2)+fx=f(x+1):f(x+2)=f(x—4)，:fx=f(x+6)所以函数fx的一个周期为6f4=f—2=f2=—1f5=f—1=f1=1f6=f0=2f1+f2+…+f6=0由常见抽象函数模型可得fx=acoswx和fx=coshwx”f(1)=1所以fx只能是fx=acoswxf(6)=2域内的任意实数x,y均有f则下列结论正确的是A.f(1)=2D.f(x)是奇函数①令y=1，则fxf1)=2fx，即fxf1−2)=0因为fx非常数函数，所以fx≠0，则f1=2③令x=y=−1，则f−1f−1=f1+f1=4所以f−1=±2④令y=−1，则fxf−1)=2f−x若f−1=2，则fx=f−x，所以fx是偶函数若f−1=−2，则−fx=f−x，所以fx是奇函数12【九省联考T11】已知函数fx的定义域为R，且ffxfy)=4xy，则12≠0，若f(x+y)+A.f(−=0B.f()=−212C.函数f(x1212D.函数fx+12即f1+f0=0，又f()≠0，则f0=−1所以f()⋅f−=0，又f)≠0，则f−=0121212=f(x+12综上所述，选ABDfx1+x22fx1+fx22图2（（24）对于双曲正切函数f(x)=tanhx，与其对应的抽象函数为得到f0f2x−1)=0因为fx单调递增，所以fx不恒等于±1，故f0=0因为fx在[0,+∞)上单调递增，故fx≥f0=0.若存在x0，fx0=1，则fx+x0=1，则f恒等于1，与fx单调若存在x1,fx1>1，因为fx连续，fx1>1，f0=0<1，故存在x2，当且仅当fx1=fx2时取等，因为x1≠x2，fx单调递增，故不取等.三、24个F[f(x⋆y,fx,fy)]=0型抽象函数模型注：标题中的方程F[f(x⋆y,fx,fy)]=0里的f(x⋆y)可以是f(x±y)、f(x×y)或是f(x÷y).性等。其二在于这个知识点本身，无论抽象原型，只要你用心总结到位，这种题型是没）！函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数模型F[f(x∗y,fx,fy)]=0，往往还会给出一个限制条件，比如f1=t【【2022新高考全国II卷·T8】已知函数fx的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y=fxfy，f1=1，则Σ），+f(x−y)=fxfy)，还给出了f1=1，这是有必要的，下面会讲到这个抽象函数模型至少对应了两种原函数，y=acoswx和=cosf(0)=2待定）。另外，在高中知识内，一种抽象函数往往只到题中抽象函数模型后，大胆写出原函数的（（1）对于正比例函数f(x)=kx(k≠0)，与其对应的抽象函数为f(x±y)=f(x)±f(y)（（2）对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0)，与其对应的抽象函数为f(x±y)=f(x)±f(y)干b（（3）对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，与其对应的抽象函数为f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c（（4）对于幂函数f(x)=xn，与其对应的抽象函数为f(xy)=f(x)f(y)（（5）对于幂函数f(x)=xn，其抽象函数还可以是（（6）对于指数函数f(x)=ax，与其对应的抽象函数为f(x+y)=f(x)f(y)（（7）对于指数函数f(x)=ax，其抽象函数还可以是（（8）对于对数函数f(x)=logax，与其对应的抽象函数为f(xy)=f(x)+f(y)（（9）对于对数函数f(x)=logax，其抽象函数还可以是f()=f(x)-f(y)（（10）对于对数函数f(x)=logax，其抽象函数还可以是f(xn)=nf(x)（（11）对于正弦函数f(x)=sinx，与其对应的抽象函数为f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)sin2α−sin2β=sin(α+βsinα−β)（（12）对于余弦函数f(x)=cosx，与其对应的抽象函数为（（13）对于余弦函数f(x)=cosx，其抽象函数还可以是（（14）对于正切函数f(x)=tanx，与其对应的抽象函数为到此，常见的初等函数和与其对应的抽象函三角函数部分已经给出其对应构造恒等式；对于一二次函求证：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)对应的抽象函数为f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-cf(x+y)=a(x+y)2+b(x+y)+c（（15）对于反正弦函数f(x)=arcsinx，与其对应的抽象函数为fx+fy=fx1−y2+y1−x2)（（16）对于反正弦函数f(x)=arcsinx，对应的抽象函数还可以是f(f(x)-f(y)=f(x·i1-y2-y、i1-x2)（（17）对于反余弦函数f(x)=arccosx，与其对应的抽象函数为·1-x2·1-y2f(x)+f(y)·1-x2·1-y2（（18）对于反余弦函数f(x)=arccosx，对应的抽象函数还可以是（（19）对于反正切函数f(x)=arctanx，与其对应的抽象函数为（（20）对于反正切函数f(x)=arctanx，对应的抽象函数还可以是双曲函数和三角函数非常相似。三角函数具有的和角公式差公式、倍角公式、半角公式、升幂降角等等，双双曲函数与三角函数存在的恒等式，就导致上面说的相似和三角函数的和角公式、倍角公式、半角公式、升幂降cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy尽管上面的恒等式有些正负号上的差别，但是两个对称和差化积公式、积化和差公式还是与三角函数一样的，（（21）对于双曲正弦函数f(x)=sinhx，与其对应