力学中的数值方法题库基础版

方程求根的迭代法1.试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：（1），（2），【解】 （1）设，则，牛顿迭代公式：，迭代计算过程见下列表。kxk|xk-xk-1|<0.0001kxk|xk-xk-1|<0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N 因为，所以。（2）设，则，牛顿迭代公式：，迭代计算过程见下列表。kxk|xk-xk-1|<0.0001kxk|xk-xk-1|<0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y 因为，所以。3.建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：令，因为当时，，故对于任何满足，即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。4.用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解：y次迭代公式k01233.53.643.633.636.用牛顿法求解方程的解，，收敛精度7.用牛顿法求方程在初始值邻近的一个正根，要求。解:因为所以有，相应的迭代公式为取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：k0123xk21.88891.87951.8794因为,符合计算的精度要求,所以。插值部分已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010，利用拉格朗日型插值二次多项式求lg12的近似值【解】f(x)=lgx,f(10)=1,f(15)=1.1761,f(20)=1.3010

设x0=10,x1=15,x2=20,y0=1,y1=1.1761,y2=1.3010

则插值基本多项式为：

l0(x)=(x-15)(x-20)/(10-15)(10-20)=(x-15)(x-20)/50

l1(x)=(x-10)(x-20)/(15-10)(15-20)=-(x-10)(x-20)/25

l2(x)=(x-10)(x-15)/(20-10)(20-15)=(x-10)(x-15)/50

于是，拉格朗日二次插值多项式为：

P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)=(x-15)(x-20)/50-1.1761(x-10)(x-20)/25+1.3010(x-10)(x-15)

P1(12)=-(12-10)(12-20)/50-1.1761(12-10)(12-20)/25+1.3010(12-10)(12-15)=1.07662、（p.55，题12）给定节点，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）；（2）【解】依题意，，拉格朗日余项公式为（1）→；（2）因为，所以3、（p.56，习题33）设分段多项式是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.【解】依题意，要求S(x)在x=1节点函数值连续： ，即： 一阶导数连续： ，即： 解方程组（1）和（2），得，即 由于，所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。4、已知函数的一组数据，和，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得 ； （2），而 ，实际误差为：。由,可知，则余项表达式5.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差解：线形插值：取=0.7410抛物线插值：=0.7426.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值解：解：取=8.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值0.40.50.60.70.389420.479430.564640.64422解：前插：取节点：0.50.60.70.50.479430.60.564640.085210.70.644220.07958-0.00563(0.5+th)=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1)，

h=0.1取t=0.7891(0.57891)=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.547137690.54714即sin(0.57891)=0.54714后插：取节点0.40.50.60.40.389420.50.479430.090010.60.564640.08521-0.0048(0.6+th)=0.56464+0.08521*t-*t(t+1)，h=0.1取t=-0.2109(0.57891)=0.56464+0.08521(-0.2109)-0.0024(-0.2109)(0.7891)=0.54068629.已知y=sinx的函数表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.解：由题意得如下差商表故又故：11.设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。[解]由插值余项定理，有，从而。12试根据数表12231-1构造Hermite多项式插值解：12>112>0>1>-223>-2>-123所以13.用lg10和lg20来计算lg12

P1(12)=1.0602,lg12=1.0792

e=|1.0602-1.0792|=0.0190

估计误差：f(x)=lgx;

，当x在[10,20]时，

|f”()|<(ln10)2/100=0.053

|1/2*f”()(12-10)(12-20)|<8*0.053=0.424

15.给定数据表：，1246741011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-34061710由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。16.如下表给定函数：，0123436111827试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。[解]构造差分表：03320016520211723189427由差分表可得插值多项式为：。17.已知：x0=1,x1=3,x2=4,x3=7,f(x0)=0,f(x1)=2,f(x2)=15,f(x3)=12，求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式

解：f(x0)=0,f(x1)=1,f(x2)=4,f(x3)=-1.25

则牛顿三次插值多项式为

N3(x)=0+(x-1)+4(x-1)(x-3)-1.25(x-1)(x-3)(x-4)21.给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton插值多项式,并由此计算f(0.596)的值0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382解：F2F3F4F5F60.40.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.80.888111.275730.358930.197330.91.026521.384100.433470.18634-0.022001.051.253821.515330.524920.228630.088460.16394f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)-0.022(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)+0.16394(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)(x-0.9)所以f(0.596)=0.63195最小二乘法1.用最小二乘法解下列超定方程组： 【解】 构造残差平方和函数如下：， 分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零： ： ， ： ， 解方程组（1）和（2），得 2.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据.解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为3.用最小二乘法求形如的经验公式，使它拟合以下数据。192531384419.032.349.073.397.8解：先将线性化，设，则原式变为，这里，，，，代入公式得，，，，，所以可以得到以下方程组：，解得：，，所求方程为：。4.已知如下表的函数，试用最小二乘法求二次多项式来拟合这组数据x-1.00-0.75-0.5-0.2500.250.50.751y-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836微分方程部分1.应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分所确定的函数y在点x=0.5,1.0,1.5的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题其中h=0.5。其向前欧拉格式为改进欧拉格式为将两种计算格式所得结果列于下表向前欧拉法改进欧拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.849693.用改进的欧拉方法求解初值问题，取步长计算，并与准确解相比较。[解]由改进的欧拉公式可知，又由，，，可得，从而；；；；；；；；；。6.对初值问题，在区间内取步长，分别用欧拉公式、改进的欧拉公式及经典的四阶Runge-Kutta公式作数值计算。解：（1）由欧拉公式可知：=。（2）由改进的欧拉公式可知：将已知代入化简可得：，，=。（3）由经典的四阶Runge-Kutta公式可知：公式为：记为（1），所以有：，，，，代入到（1）得：。8.取步长，试用经典的四阶龙格—库塔公式求初值问题的，的近似值。解：，其中，，，将，，，，代入原式：，取节点：，，，于是有：，。12.取，用欧拉方法求解初值问题，。【解】欧拉格式：；化简后，，计算结果见下表。n0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.461313.用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题，，试取步长计算的近似值，要求小数点后保留4位数字。【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：；列表求得如下：nxnyn00.02.00010.22.300420.42.465414.试用显式Euler法及改进的Euler法计算初值问题（取步长h=0.2）并比较两者的误差。解：步长,真解显式法：改进法：显然改进的法误差小于法。数值积分部分3.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算,(取步长h=1/6).解：（1）用复合梯形公式故（2）用复合Simpson公式：4.用变步长梯形求积公式计算,(精确到).解：由得：5.试构造两点Gauss公式,并由此计算积分(精确到).解：二次Lagendre多项式：Gauss点为由公式得令即使得7.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具有的代数精度。解：设，，，求积公式准确成立，代入（2）式可得：解得：，代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边，继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。10.若用复化Simpson公式计算，要使误差不超过，问需要计算多少个节点上的函数值？解：，在这里取复化Simpson公式余项的绝对值，代入已知条件得：，进行放缩得：，解得：。13.用龙贝格求积公式计算积分的近似值，要求收敛精度14.用辛普森公式求积分并估计误差。[解]。，从而。16.用三个节点（）的Gauss求积公式计算积分。[解]三个节点的Gauss求积公式为，所以17.给定求积节点试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：；；插值求积公式： =1\*GB3①当，左边=；右边=；左=右； =2\*GB3②当，左边=；右边=；左=右； =3\*GB3③当，左边=；右边=；左≠右； 故该插值求积公式具有一次代数精度。18.设已给出的数据表，x0.000.250.500.751.00f(x)1.000001.655341.551521.066660.72159分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分的近似值。【解】 （1）用复化梯形法： （2）用复化辛普生法：19.设已给出的数据表，x1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066试用三点公式计算的值，并估计误差。【解】已知，用三点公式计算微商：，用余项表达式计算误差21.已知函数在点x=1.0，1.1，1.2处的函数值（见下表），试用二点微分公式求在点x=1.1处的导数值，并估计误差。1.01.11.20.2500000.2267570.206612解：由二点数值微分公式可得：，其误差为：0.016，其误差为：0.01524.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：解：令时等式精确成立，可解得：即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。26.试应用复合梯形公式计算积分要求误差不超过，并把计算结果与准确值比较。解：复合梯形公式的余项为本题，本题余项为要使，得，取得于是有检验：27.验证Gauss型求积公式求积系数及节点分别为，,，。解：因为上述Gauss型求积公式的代数精度为3，所以对进行检验即可将如下两组分别代入，可知满足方程。解线性方程部分1.用选列主元高斯消元法求解下列方程组：（1）（2）【解】 （1）所以： ，,.（2）所以： ，,.3.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组（1）解：（2）解：4．用追赶法解线性代数方程组。解：，，，，5.用追赶法解方程组。解：由题可知：矩阵为三对角占优矩阵，由追赶法知：设的分解为：，按照矩阵乘法展开与原矩阵对比可得：，，，，，，，，，。下面解此方程组，先解，即：，解得：，再解，。即：，解得：即为方程的解。7.用平方根法（Cholesky分解）求解方程组：（1）。（2）。[解]由系数矩阵的对称正定性，可令，其中L为下三角阵。（1）求解可得，求解可得。（2）。求解可得，求解可得。8.用平方根法解方程组。解：因为系数矩阵为对称正定矩阵，应用平方根法，可分解为即如下形式：，按照矩阵乘法展开与原矩阵对比整理得：，，，，，，。，，。先解方程组，即：，解得：，再解，即：，解得：即为方程的解。9．求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量＝0）。解：（1）雅可比迭代式为：，取则（2）雅可比迭代式为取，则10．设有线性代数方程组判断雅克比迭代的收敛性；判断高斯—塞德尔迭代的收敛性。解：（1）雅克比迭代矩阵故雅克比迭代发散（2）高斯—塞德尔迭代矩阵==，，故高斯—塞德尔迭代收敛11.设方程组（a）；（b）；试考察解此方程组的雅克比迭代法及高