计算力专训25-一元一次方程的实际应用-日历类问题(解析版)

计算力专训25一元一次方程的实际应用—日历类问题1．在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,下图是2020年1月份的日历,我们用如图所示的四边形框出五个数.2020年1月(1)将每个四边形框中最中间位置的数去掉后,将相对的两对数分别相减,再相加,例如:,.不难发现,结果都是16.若设中间位置的数为,请用含的式子表示发现的规律,并写出验证过程.(2)用同样的四边形框再框出5个数,若其中最小数的2倍与最大数的和为56,求出这5个数中的最大数的值.【答案】（1）16；（2）这5个数中最大数的值为28.【分析】（1）根据题意，用含n的代数式表示数量关系，并化简，即可得到结论；（2）设中间位置的数为x，根据“最小数的2倍与最大数的和为56”，列出关于x的一元一次方程，即可求解．【详解】（1）规律：，验证：==2+14=16；（2）设中间位置的数为x，则最小的数为x-7，最大的数为x+7，根据题意得：2(x-7)+(x+7)=56，解得：x=21，，答：这5个数中最大数的值为28．【点睛】本题主要考查用代数式表示数量关系以及一元一次方程的实际应用，找出等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．2．如图，是某年11月月历（1）用一个正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的记为，则另外三个可用含的式子表示出来，从小到大依次为____________,_____________,_______________．（2）在（1）中被框住的4个数之和等于76时，则被框住的4个数分别是多少？【答案】（1）；（2）15,16,22,23．【分析】（1）根据日历的特点可得：左右相邻的两个数差1，上下相邻的两个数差7，据此解答即可；（2）根据（1）的结论：把表示出的这4个数相加即得关于x的方程，解方程即得结果．【详解】解：（1）因为左右相邻的两个数差1，上下相邻的两个数差7，所以若最小的数记为，则其它的三个数从小到大依次为：．故答案为：；（2）设这四个数中，最小的数为x，根据题意得：，解得：，所以，答：被框住的四个数分别是：15，16，22，23．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，属于基础题型，难度不大，熟知日历的特点、正确列出方程是解题的关键．3．用如图1所示的曲尺形框框（有三个方向），可以套住图2日历中的三个数，设被框住的三个数中（第一个框框住的最大的数为、第二个框框住的最大的数为、第三个框框住的最大的数为）（1）第一个框框住的三个数的和是：，第二个框框住的三个数的和是：，第三个框框住的三个数中的和是：；（2）这三个框框住的数的和分别能是81吗？若能，则分别求出最大的数、、．【答案】（1）3a−13；3b−9；3c−15；（2）能，b＝30，a,c的值不符题意【分析】（1）解本题的关键是找出被框住的三个数间的关系，通过观察，不难发现同行相邻两数之间相差1，同列相邻两数之间相差7，从而进行解答．（2）按照（1）的思路，分三种情况进行讨论即可．【详解】（1）第一个框框住的三个数的和是：a＋a−7＋a−6＝3a−13，第二个框框住的三个数的和是：b＋b−1＋b−8＝3b−9，c＋c−7＋c−8＝3c−15；故答案为：3a−13；3b−9；3c−15；（2）被第一个框框住的三个数的和是81，则3a−13＝81，解得a＝．显然与题意不合．被第二个框框住的三个数的和是81，则3b−9＝81，解得b＝30．符合题意．被第三个框框住的三个数的和是81，则3c−15＝81，解得c＝32．不符合题意．因此b＝30．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，找出日历表中的数字排列规律是解决问题的关键．4．在2020年元月的日历表中，某一天对应的号数的上、下、左、右四个数的和为.（1）如果某一天是号，请用含的代数式把表示出来；（2）的值可能是96吗？如果可能，求出这一天上、下、左、右四天，如果不可能，请说明理由；（3）的值可能是28吗？如果可能，求出这一天上、下、左、右四天，如果不可能，请说明理由.星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12345678910111213141516171819202122232425262728293031【答案】（1）；（2）可能；上边的号数为号，下边的号数为号，左边的号数为号，右边的号数为号；（3）不可能；理由见解析.【分析】（1）根据表格中数的规律，分别用a表示出上、下、左、右四个数，即可用含的代数式表示；（2）将m=96代入，判断a的值符不符合实际情况即可；（3）将m=28代入，判断a的值符不符合实际情况即可.【详解】解：（1）由表可知：号上边的号数为（）号，下边的号数为（）号，左边的号数为（）号，右边的号数为（）号故；（2）可能，将m=96代入中，解得：，由表格可知，符合题意则上边的号数为号，下边的号数为号，左边的号数为号，右边的号数为号答：可能，上边的号数为号，下边的号数为号，左边的号数为号，右边的号数为号；（3）不可能，理由如下将m=28代入中，解得：，则号上边的号数为=0号，不符合实际故m不可能等于28.【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握日历中号数的关系是解决此题的关键.5．列一元一次方程解决问题：在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为24？如果能，这三个日期数分别是多少？【答案】能，1，8，15【分析】设中间的数为x，其它两个为（x﹣7）与（x+7），表示出之和，根据三个日期数之和为24，列出方程，如果求出的解符合题意，那么相邻三行里同一列的三个日期数之和能为24，否则不能．【详解】解：设中间的数为x，其它两个为（x﹣7）与（x+7），根据题意得：x﹣7+x+x+7＝24，解得：x＝8，∴x﹣7＝1，x+7＝15，答：这三个日期数分别是1，8，15．【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程求解.6．下图是2019年10月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别，，，，.（1）直接写出______，______（用含的式子表示）；______；（2）在移动“凹”字型框过程中，小明说被框住的5个数字之和可能为106，小敏说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由；（3）若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，，，，且，则符合条件的的值为______.【答案】（1），，-5；（2）小明的说法是正确的.（3）21，23或29；【分析】（1）由5个数的位置关系，可用含a的代数式表示出a1，a2，a，a3，a4，再将其代入a4-a2中即可求出结论；

（2）令由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，结合图形可得出结论；

（3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b=2a+1可确定b值．【详解】解：（1）∵a1=a-8，a2=a-1，a3=a+1，a4=a-6，

∴a4-a2=a-6-（a-1）=-5．

故答案为：，，-5；（2）小明：，解得；小敏：，解得，（不符合题意，舍去），即小明的说法是正确的；（3）a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，

∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61．

∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b=2a+1，

∴b的值可以为：21，23，29．

故答案为：21，23或29．【点睛】本题考查一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．在排成每行七天的日历表中取下一个3×3方块（如图）.若所有日期数之和为189，求n的值.【答案】21【分析】根据日历的特点即可列出方程，即可求解.【详解】∵日历中间的数为n，所有日期数之和为189故（n-8）+（n-7）+（n-6）+（n-1）+n+（n+1）+（n+6）+（n+7）+（n+8）=189即9n=189,故n=21.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键熟知日历的特点.8．下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，⑴若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？⑵框出的4个数的和可能是26吗?为什么?【答案】（1）15,16,21,22;（2）无法构成平行四边形,理由见解析【解析】（1）设其中的一天为x，则其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7，然后根据它们的和为74，求解即可；

（2）由（1）得出4天之和为4x+14，即4x+14=26．求出x做判断即可．详解：（1）设第一个数是x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7，

则：x+x+1+x+6+x+7=74，

解得：x=15；

所以它分别是：15，16，21，22；

（2）设第一个数为x，

则4x+14=26，4x=12，x=3，

本月3号是周六，

由平行四边形框框出4个数，

得出结论：无法构成平行四边形．点晴：考查一元一次方程的实际应用，主要利用四边形圈出4个数的关系解题，其关系为设：若其中的一天为x，则其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7．9．在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为40？如果能，求出这三个数；如果不能，请说明理由．【答案】不能．理由见详解．【分析】先假定三个日期之和为40，然后列方程求出这三个日期，再检查是否符合题意（实际情况），若符合，则之和可为40，否则不能为40．本题列方程求出的这三个日期不符合实际，故相邻三行里同一列的三个日期数之和不能为40．【详解】解：设中间一行的日期为x，则同一列上一行的日期为（x-7），下一行的日期为（x+7）由题意得方程：（x-7）+x+(x+7)=40解之得x=．由于日期不能为分数，故相邻三行里同一列的三个日期数之和不能为40．【点睛】本题考查列一元一次方程解决实际问题时需要检验方稆的解是否符合题意（实际情况）．关键是在运用一元一次方程解决实际问题时一定要检验，否则就会犯不该犯的错误．10．如图是2019年6月份的日历．日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）细心观察：小张一家外出旅游5天，这5天的日期之和是20．小张旅游的第一天是____________号．（2）如果用一个长方形方框任意框出33个数，从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和是57，在这9个日期中，最小的日期是_____________号．（3）在这个月的日历中，用题（2）中的方框能否框出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期中，最小的日期是几号；如果不能，请说明理由．【答案】（1）2；（2）11；（3）不能，理由见解析【分析】（1）设第一天为x号，依次表示出剩余几天，然后根据日期之和为20，列方程求解；（2）设中间的数字为m，那么得到其余两个数分别为m-6，m+6，然后根据3个数字的和为57就可以列出方程求解，继而可求得最小的日期；（3）设中间的数字为n，依次表示出其他8个数字，令这几个数字之和为198，求出各个日期，然后结合图表，进行判断．【详解】（1）设第一天为x号，由题意得，x+x+1+x+2+x+3+x+4=20，解得：x=2，即小张旅游的第一天是2号，故答案为：2；（2）设中间的数为m，则其余两个数分别为m-6，m+6，由题意得，m+m-6+m+6=57，解得：m=19，则其余两个数为13，25，∴这9个数依次为：11，12，17，18，19，24，25，26，27则最小的日期为11，故答案为：11；（3）不能，理由如下：设中间的数为n，则其余8个数分别为：n-8，n-7，n-6，n-1，n+1，n+6，n+7，n+8，由题意得，n-8+n-7+n-6+n-1+n+n+1+n+6+n+7+n+8=198，解得：n=22，当n=22时，这9个日期分别是：14、15、16、21、22、23、28、29、31，对比图示的日历，发现不符合，因此不能用题（2）中的方框框出“总和为198”的9个数．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，结合图表，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．11．生活与数学（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是：（2）小丽同学也在某月的日历上圈出如图所示“七”字形，发现这八个数的和是125，那么这八个数中最大数为：（3）在第（2）题中这八个数之和为101（填“能”或“不能”）．【答案】（1）3；10；（2）26；（3）不能【分析】（1）根据日历上的数据规律即可得出答案；（2）先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，再用一元一次方程求解即可；（3）根据（2）的规律解得即可．【详解】解：（1）设中间的数为x，则这三个数分别为x-1，x，x+1，因为，所以，在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的3倍，设中间的数为x，则这五个数分别为x-7，x-1，x，x+1，x+7，因为，所以，在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是中间的数的5倍，又因为它们的和是50，则中间的数是10；故答案为：3，10．（2）设最小的数为x，则其余数分别为：x+6，x+7，x+8，x+14，x+21，x+22，x+23，根据题意得x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝125，解得x＝3，∴这八个数中最大数为3+23＝26．故答案为：26；（3）x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝101，解得x＝0，但是日历上最小的数是1，所以在第（2）题中这八个数之和不能为101．故答案为：不能【点睛】本题考查一元一次方程的应用．在日历上，左右两个数之间相差1，上下两个数之间相差7．能根据此规律列出方程是解决此题的关键．12．问题探究（1）在6月份的日历中（如图1），任意圈出一列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大）分别是________________________________．（2）连续的自然数1至2004按图中的方式派成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数（如图2）①图2中框出的这16个数之和是____________；②在图2中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于839、2000，是否可能？若不可能，试说明理由．若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数与最大数．【答案】（1）a−7，a，a+7；（2）①352；②存在和是2000的16个数，此时，最小的数是113，最大的数是113+24=137．不存在和是839的16个数，理由见详解．【分析】（1）经过观察可知，如果中间的数是a，则上面的数是a-7，下面的数是a+7；

（2）①可以把这16个数直接加起来，即可．②设最小的数是x，那么第一行的四个数的和就是4x+6，第二行的四个数的和就是4x+6+7×4=4x+34，第三行的四个数的和是4x+34+7×4=4x+62，第四行的四个数的和是4x+62+7×4=4x+90，（其中最大数是x+24），然后这16个数相加也就是四行数相加，令其结果等于2000或839，看计算出的x的值是不是整数，若是整数说明存在，若不是整数，就说明不存在．【详解】（1）∵若中间的数是a，那么上面的数是a−7，下面的数是a+7，∴这三个数(从小到大)分别是a−7，a，a+7，故答案是：a−7，a，a+7；（2）①16个数中，第一行的四个数之和是：10+11+12+13=46，第二行的四个数之和是：46+4×7=74，第三行的四个数之和是：74+4×7=102，第四行的四个数之和是：102+4×7=130，于是16个数之和=46+74+102+130=352，故答案是：352；②设最小的数是x，第一行的四数之和就是：4x+6，以此类推，第二行的四数之和就是：4x+34，第三行的四数之和就是：4x+62，第四行的四数之和就是：4x+90，若4x+6+4x+34+4x+62+4x+90=2000，解得：x=113，∴存在和是2000的16个数，此时，最小的数是113，最大的数是113+24=137．若4x+6+4x+34+4x+62+4x+90=839，解得：x=40.4375（不是整数,不合题意），∴不存在和是839的16个数．【点睛】本题主要考查有理数的加法运算的实际应用，用代数式表示数量关系以及一元一次方程的实际应用，根据题意，列出代数式以及一元一次方程，是解题的关键．13．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵.用框框住5个数.(1)将此框上、下、左、右平移，可以框住另外5个数，若中间的数为a，用代数式表示此框中由小到大的另4个数，并求这五个数的和.(2)此框中的5个数的和能等于2020吗?若能，请写出这5个数;若不能，请说明理由.【答案】(1)5a；(2)不能，理由见详解.【分析】（1）中间的数为a，左上角的数为（a-18），右上角的数为（a-14），左下角的数为（a+14），右下角的数为（a+18），然后计算它们的和即可；（2）根据5个数的和为2020，求出a是奇数就可能，不是奇数就不可能．【详解】解：（1）根据题意：设中间的数为a，则左上角的数为：（a-18），右上角的数为：（a-14），左下角的数为：（a+14），右下角的数为：（a+18）；∴这五个数的和为：（a-18）+（a-14）+（a+14）+（a+18）=5a；（2）根据题意，得：5a=2020，解得：a=404；∵404是偶数，不是奇数，∴此框中的5个数的和不能等于2020.【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据5个数的规律列出方程求解，以及根据规律列代数式．14．如图①，在五列若干行的表格中，将2，4，6，8，10，12，…若干个偶数有规律地放入．（1）第七行第二列的数是_______．（2）若用a表示第三列的某一个数，则该数左上角与右下角的两个数的和为_______．（3）小颖用图②所示的3×3的方框框住的9个数之和能等于612吗?若能，请求出这个方框内右上角的那个数．【答案】（1）；（2）；（3）能，．【分析】（1）根据题意可知中间数字的规律，再将代入即可得出答案；（2）根据题意得出第3列数的左上角与右上角的和都是中间数的2倍，即可得出答案；（3）设中间数为，根据题意列方程即可求得的值，再根据中间数字的规律即可求得的值，从而得出结论．【详解】解：（1）由题意得中间数字的规律为，当时，，因此第七行第三列为