重庆市七校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市七校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为抛物线可化为，所以其准线方程为.故选：C.2.已知向量，若，且，则的值为（）A.0 B.4 C.0或4 D.1或4【答案】C【解析】因为且，所以，解得，又因为，所以，当时解得，此时，当时解得，此时，故选：C3.圆与圆公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意圆，即，所以圆心，，圆，即，所以圆心，，所以两圆圆心距，所以两圆外切，公共切线为3条.故选：C4.“中国剩余定理”原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足七七数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（）A.9 B.25 C.30 D.41【答案】B【解析】依题意，，显然数列是等差数列，，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值25.故选：B.5.若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆故.根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有：……①，……②由题知……③在中使用余弦定理有：……④将①②③代入④式得到：……⑤现在我们可以计算三角形的面积：因此，的面积是.故选：B.6.在正方体中，是中点，点在线段上（含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设，所以，设，所以，所以，，设平面的一个法向量为，所以，令，所以，所以，令，对称轴，所以，所以，即，故选：A.7.的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，，设，则的几何意义为的值，如图，作点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为.而，即最小值为，所以的最小值为.故选：D8.已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限，所以，则，因为双曲线的渐近线方程为，则，所以；记，则，由解得，因为，由双曲线的定义可得，所以，，由余弦定理可得：，则，所以，整理得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，错选不得分．9.已知函数，则（）A.为奇函数 B.为其定义域上的减函数C.有唯一的零点 D.的图象与直线相切【答案】AC【解析】对于A：的定义域为且关于原点对称，又，所以为奇函数，故A正确；对于B：，所以在定义域内单调递增，故B错误；对于C：因为且在定义域内单调递增，所以有唯一零点，故C正确；对于D：因为，令，所以，所以斜率为的切线方程为：，，即，，显然，故D错误；故选：AC.10.设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（）A.B.成等差数列，公差为C.取得最大值时D.时，的最大值为33【答案】ABD【解析】由题意，，则数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，而开口向下的二次函数的对称轴为，所以当或时，取得最大值，故C错误；对于A，由，得，，所以，而，所以，故A正确；对于B，由，得，，，所以，，成等差数列，公差，故B正确，对于D，由得，故D正确；故选：ABD.11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（）A.当点E运动时，总成立B.当E向运动时，二面角逐渐变小C.二面角的最小值为D.三棱锥的体积为定值【答案】ACD【解析】对于A，连接，，，因为四边形为正方形，故，又⊥平面，平面，所以，又，平面，所以平面.因为平面，所以，同理可证.因为，平面，所以平面，因为平面，所以总成立，故A正确.对于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以当E向运动时，二面角的大小不变，故B错误.对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，因为E，F在上，且，故可设，，，则，由题知平面ABC的一个法向量为，设平面ABE的一个法向量为，则，解得，取，则，故，设二面角的平面角为，则为锐角，所以，又，所以当时，取得最大值，取得最小值，故C正确；对于D，因为，点A到平面EFB的距离即到平面的距离，为，所以，为定值，故D正确.故选：ACD12.已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（）A.线段长度的最小值为B.当直线斜率为时，中点坐标为C.以线段为直径的圆与直线相切D.存在点，使得【答案】ACD【解析】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，，联立可得，且，所以，所以，且，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：因为，所以，所以，所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误；对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线，垂足分别为，如下图：由抛物线的定义可知：，即等于以为直径的圆的半径长，故C正确；对于D：当时，。所以，由选项A可知：，所以，所以此时，所以的倾斜角互补，所以，故D正确；故选：ACD.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是__________.【答案】【解析】因为，，，成等差数列，所以，因为，，成等比数列，所以，所以，故答案为：.14.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因方程表示焦点在x轴上的双曲线，则有，解得，故答案为：.15.如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程__________.【答案】或【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于，此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中，，又，所以，由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即，所以椭圆的标准方程为或，故答案为：或.16.在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.【答案】①②【解析】在正方体中，连接，如图，对角面为矩形，因为点分别是棱的中点，则，而，即平面截正方体所得截面为梯形，显然过点与平面平行的平面交平面、平面分别于，因此，连，平面、平面与平面分别交于，，因此，而，即四边形为平行四边形，于是，即点M为的中点，同理为中点，，因为动点始终满足平面，于是平面，又在侧面上，所以点的轨迹是线段，轨迹长为；以点D为原点建立空间直角坐标系，则，则，令，则有，，于是点到直线的距离，当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.故答案为：；四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线l过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.解：（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，可设圆心坐标，则，解得，.所以圆心，半径，故圆的方程为.（2）由直线l过点且被圆C截得的弦长为，根据圆的弦长公式，可得，即，解得，当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件；当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即，可得，解得或，所以直线方程为或.18.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程；（2）讨论函数的单调性.解：（1）由题得,则在点处的切线与直线平行,即又曲线在点处的切线为即.（2）令得或（i）当即时,单调递增极大值单调递减极小值单调递增（ii）当即时,恒成立,在上单调递增,无单调递减区间.（iii）当即时,单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述,当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为；当时,在上单调递增,无单调递减区间；当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.19.如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．

（1）求；（2）求的长．解：（1）.（2）因为，所以，所以的长为.20.数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，公比．（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：恒成立.解：（1）设等差数列的公差为，，则，解得或（舍去），，.（2）由（1）得，，①，②①②得，，，，21.如图，在斜三棱柱中，是边长为的正三角形，且四棱锥的体积为.（1）求三棱柱的高；（2）若，平面平面，为锐角，求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）设三棱柱的高为，因为四边形是平行四边形，所以，所以，所以，所以，且，所以，即三棱柱的高为.（2）过作，因为为锐角，所以垂足在线段上，记为，连接，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，所以，又因为，所以为中点，又因为为等边三角形，所以，由上可知：两两垂直，以为坐标原点，以方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，又因为，所以，设平面的一个法向量为，，所以，令，所以，设平面的一个法向量为，，所以，令，所以，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.22.已知椭圆的长轴长为4，离心率为，定点．（1）