重庆市部分区2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市部分区2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，，，集合的关系是集合间的包含关系，用符号是错误的，故ABD错误，C正确.故选：C.2.已知全集，能表示集合，，关系的图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，因为，所以BA，B正确.故选：B.3.若命题：，，的否定为（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】该命题为全称量词命题，则命题的否定是否定结论，同时把全称量词改为存在量词，所以命题的否定是，，.故选：D.4.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】要使函数有意义，则应有，解得且，所以函数的定义域为.故选：D.5.函数零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，函数和都是减函数，所以函数在区间上单调递减，，，因为，所以，又，，所以，又函数在上连续，根据零点存在性定理可得零点所在的区间为.故选：.6.是幂函数在上单调递减的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要件【答案】C【解析】由幂函数在上单调递减，得，解得，反之，，幂函数在上单调递减，所以是幂函数在上单调递减的充要条件.故选：C.7.已知，，，则，，大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为是减函数，所以，所以，因为是增函数，所以，所以，因为是增函数，所以，所以，所以.故选：A.8.当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，即，且，所以，当且仅当，即时等号成立，因为不等式恒成立，所以，即，解得，故的取值范围为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】函数是非奇非偶函数，是上的奇函数，BD不是；显然函数、都是R上的偶函数，在区间上都单调递增，AC是.故选：AC.10.设，则下列命题错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】若，显然，，但是和都不成立，因此选项都不对；若，显然，但是不成立，因此选项C不正确；因为，所以，因此选项D正确.故选：ABC.11.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（）A.浮萍每月的增长率为2B.第6个月时，浮萍面积为C.浮萍每月增加的面积都相等D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则【答案】BD【解析】由图可知，函数图象经过，即，则，所以，所以不是常数，则浮藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，故A错误，C错误；当时，，故B正确；若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，由指数函数的单调性知，故D正确.故选：BD.12.1837年，狄利克雷提出了函数的现代定义，即如果变量与变量相关，使得根据某个规则，每个值都对应唯一一个值，那么就是关于自变量的函数．并举出了个著名的函数-狄利克雷函数：，下列说法正确的有（）A. B.的值域为C. D.【答案】AD【解析】当，此时，当，，此时，则，故A正确；对B，由题意可知，故B错误；对C，由题意可知均为有理数，所以，故C错误；对D，若，则，则，若，则，则，综上可得：，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5共20分．13.若，则函数的最小值为__________.【答案】6【解析】因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：6.14.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则______.【答案】2【解析】因为当时，，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以.故答案为：2.15.已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为______.【答案】（或者，答案不唯一）【解析】由，知满足条件，又时，，可得，故满足这两个条件的一个函数为.故答案为：（或者，答案不唯一）.16.设函数，当时，的单调递增区间为______，若且，使得成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】当时，，其图象如下图：由图知，函数的单调递增区间为；，其图象关于对称，显然当时，由二次函数对称知且，使得成立，符合题意；则时，当时，关于对称的曲线为，联立，得或（舍去），所以当时，满足，即，符合题意；当时，曲线，与曲线无公共点，不符合题意；综上，实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17计算：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.18.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）当时，所以，因为，所以，所以.（2）因为，所以，当时，符合题意，则，即，当时，则只需，解得，综上可得实数的取值范围为.19.已知关于的不等式.（1）若该不等式的解集为，求和的值；（2）若，求该不等式的解集.解：（1）因为不等式的解集为，所以二次方程的根为，由韦达定理可得，解得.（2）若，则不等式为，即，令，得，当，即时，；当，即时，无解；当，即时，，综上：时，解集为；时，解集为；时，解集为.20.已知函数，且．（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）求函数在上的值域．解：（1）∵，且，，.（2）函数在上单调递增，证明：任取，且，则∵，，即，∴函数在上单调递增．（3）由（2）得在上单调递增，∴在上单调递增，又，∴在上的值域为．21.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系．要求及图示如下：①函数是区间上的增函数；③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分；⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分．现有以下三个函数模型供选择：（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）．（1）请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；（2）求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟．（注：，结果保留整数）．解：（1）由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型（1），，为线性增长，不合题意；对于模型（2），是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适；对于模型（3），对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型（3），此时，所求函数过点，则，解得，故所求函数为，经检验，当时，，符合题意，综上所述，函数的解析式为.（2）由（1）得，因为每天得分不少于3分，所以，即，所以，即，所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟.22.已知函数图象经过点和点，.（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程在区间上有实数根，求的取值范围；（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围.解：（1）依题意可得，解得，所以.（2）因为关于的方程在