浙江省台州市六校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台州市六校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，，由，得，所以.故选：B.2.双曲线的焦距为（）．A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】因为双曲线方程为，所以，，因为，所以，所以双曲线的焦距是4.故选D．3.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由题得，所以到平面的距离为，故选：C.4.已知圆与圆的位置关系为（）A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【答案】C【解析】圆圆心为，半径，圆圆心，半径，则，圆心距，因为，所以两圆位置关系为外切.故选：C.5.已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】已知直线经过两条直线的交点，则，解得，故交点坐标为，因为的一个方向向量为，所以直线方程为，即，故选：C.6.已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得双曲线渐近线为，且，所以，即，又，所以，所以.故选：D7.已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线与圆相切，切点分别为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为椭圆，即，所以右焦点坐标，又圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，所以圆的标准方程为：，设，根据圆的性质得，，因为，四边形的面积，即，设Mx,y，则，因为点在椭圆上，所以，将代入到中得，对于二次函数，其对称轴为，所以，，所以，当时，，当时，，所以，故选：B.8.在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径，所以，，所以，所以，所以，所以，，设与所成角为，则，整理得，所以外接球的表面积为.故选：A二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.直线的方向向量，平面的法向量，则C.已知直线经过点，则到的距离为D.若，则为钝角【答案】AC【解析】A：对于空间向量，若，空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面，所以一定共面，故A对；B：因为，,所以与不平行，故不成立，故B错；C：由题设，，则直线上的单位方向向量为，故，所以到直线的距离，故C对；D：当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故D错.故选：AC10.已知直线，则下列选项正确的是（）A.当直线与直线平行时，B.当直线与直线垂直时，C.当实数变化时，直线恒过点D.直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4【答案】ACD【解析】A：由题意，，则，对；B：由题意，，则，错；C：直线可化为，联立，直线恒过点，对；D：由题意，直线与负半轴均有交点，令，则，令，则，易知，所以直线和负半轴构成的三角形面积，令，则，当且仅当，即时取等号，所以直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4，对.故选：ACD11.如图，在长方体中，，点是平面上的动点，满足，（）A.在底面上的轨迹是一条直线B.三棱锥的体积是定值C.若角是直线和平面所成角，则的最大值是D.不存在点，使得【答案】ABC【解析】A：在上取，连接并延长交延长线于，在和中，且，所以，则，所以，由长方体性质易得，而都在面内，所以面，面，故，根据题设，易知，，同理可证，由且都在面内，所以面，即面，又面面，由，只需在直线，即在底面上的轨迹是一条直线，对；B：由长方体的结构特征知：面，即面，所以到面的距离恒定不变，即三棱锥的体积是定值，对；C：由面，易知是直线和平面所成角的平面角，所以，要使该值最大，只需最小，显然当时最小，而，，且，所以，则，则，，故，对；D：由面，面，则，若存在，使，又且都在面内，此时面，面，只需，显然，在面上以为直径的圆与的交点作为点，满足，故存在点，使得，错.故选：ABC三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.向量与共线，且方向相同，则__________.【答案】14【解析】因为向量与共线，且方向相同，所以，则，得到，解得，，所以，故答案为：.13.设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且,则的面积等于__________.【答案】24【解析】由题设，令且m>0，则，即，所以，而，则，所以为直角三角形，且，故其面积为.故答案为：14.圆和圆锥曲线的关系十分密切，它们有很多相似的结论.例如，过圆上任意不同两点作圆的切线，如果切线垂直且相交于点，则动点的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆，过椭圆上任意不同两点作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点，则动点的轨迹方程是__________.【答案】【解析】设，若切线的斜率存在且不为0，则过点的切线方程为，联立方程，消去y可得，则，整理可得，由题意可知：关于的方程有两个不同的实数根，则且，整理可得；若切线的斜率不存在或为0，则点为，满足；综上所述：，即动点的轨迹方程是.故答案为：.四､解答题（本题共5小题；其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分；共77分）15.如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设.（1）用表示；（2）求的长.解：（1）连接，，则；（2）由（1）可得，所以，因为是正四面体，，故夹角均为，所以，，所以，即的长为.16.在坐标平面上有两定点，动点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值.解：（1）设Px,y，因为，所以，平方并整理得，即；（2）已知直线与圆交于两点，设，联立，得，所以，得，，所以或，又，则.17.如图，在四棱锥中，平面平面，且，.（1）求证：平面平面；（2）设.若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角夹角余弦值的大小.解：（1）在四棱锥中，面面，面，面面，所以面，又面，所以面面.（2）以A为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由，则，设，则，所以，设面的法向量为n=x,y,z，则，取，则，所以，即，化简得，解得或（舍），所以，，设平面的法向量，且，，则，取，则，设二面角的夹角大小为，则，所以二面角的夹角的余弦值为.18.已知椭圆焦距为2，离心率e是（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为.①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值；②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.解：（1）依题意有，解得，所以椭圆的方程为；（2）①设，则联立，，由弦长公式可得：同理可得：，所以令，则当的最小值是；②，由代替m，得，当，即时，，过点.当，即时，，，当时，，经验证直线过点，综上，直线恒过点.19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设Ax1,y1,Bx2,y2，则欧几里得距离；曼哈顿距离（1）若，求之间曼哈顿距离和余弦距离；（2）若点，求的最大值；（3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由.解：（1）由题可得，，；（2）设，