浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∵，∴∴，故选：A2.设复数满足，则的虚部为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】复数满足，则.则的虚部为-2.故选：B.3.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知直线的一个方向向量为，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率.因为直线的斜率，且，所以.故选：A.4.“”是方程“表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】要使方程表示双曲线，则.解不等式，可得.当时，不一定满足，例如当时，方程不表示双曲线；而当方程表示双曲线时，一定有，那么一定满足.所以是方程表示双曲线的必要不充分条件.故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】根据诱导公式，，则，即.根据二倍角公式，则.将其分子分母同时除以得到，进一步化为.把代入上式，可得.故选：C.6.已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】动点在平面上运动，且不共线，则存在实数，使.即，所以.又，不共面，由空间向量基本定理可知，故，解得.即.因为四面体正四面体，且棱长为.所以，.所以.故选：C.7.已知事件满足，则（）A.若与相互独立，则 B.若与互斥，C.若，则与相互对立 D.若，则【答案】D【解析】选项A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误；选项B，若A与B互斥，则不可能同时发生，即，故B错误；选项C，若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于”，则，但事件并不互斥，也不对立，故C错误；选项D，若，则，则，故D正确故选：D.8.设，若存在，使为偶函数，则可能的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数，.则是偶函数，因为不可能是奇函数，由两函数解析式可知，若和都是偶函数，满足题意.要使为偶函数，则，即，当时，，函数为偶函数，要使为偶函数，只需为偶函数即可.由恒成立，即对任意恒成立，（不合题意，舍去），或，.可得，，即，取可得，故C正确，其余选项不存在，使其成立.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9.已知圆与圆交于两点，则（）A.两圆半径相同 B.两圆有3条公切线C.直线的方程是 D.线段的长度是【答案】AD【解析】，，所以A选择正确；，，∴，两个圆相交，所以有2条公切线，B选项错误；两个方程相减得，C选项错误；垂径定理可得，∴，D选项正确；故选：AD.10.已知样本数据是两两不同的四个自然数，且样本的平均数为4，方差为5，则该样本数据中（）A.众数为4 B.上四分位数为6 C.中位数为4 D.最小值为1【答案】BCD【解析】已知样本数据的平均数为，根据平均数公式，可得.又已知方差为，根据方差公式，则.展开结合，则，则即，则.开方则.不妨设，则，（1）当时，，，显然无解.（2）当时，，，则，开方则.再讨论：令，显然无满足题意自然数解.令，显然无满足题意自然数解.（3）当时，，，则，开方则.再讨论：令，显然无满足题意自然数解.令，显然满足题意自然数解.（4）当时，，，则，开方则.又，则，显然无满足题意自然数解.（5）当时，，，则，开方则.又，则显然无满足题意自然数解.综上所得，满足题意得自然数解只有：.分析各个选项.众数：众数是一组数据中出现次数最多数，这里数据两两不同，没有众数，所以A选项错误.上四分位数：，即，所以上四分位数为，B选项正确.中位数：将数据从小到大排序为，中位数为.C选项正确最小值：最小值为，D选项正确.故选：BCD.11.数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点，动点到的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（）A.双纽线有对称中心和对称轴 B.双纽线方程是C.的最大值为 D.面积的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，因为，关于原点对称，设点是双纽线上的点，那么点关于原点对称点到，的距离之积与到，的距离之积相同.关于轴，设在双纽线上，点关于轴对称的点到，的距离之积与到，的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A选项正确.对于B，设，，.因为，所以.展开可得.进一步展开.令，则，即.将代回得.展开.整理得，B选项正确.对于C，由均值不等式.已知，所以，当且仅当时取等号，的最小值为，C选项错误.对于D，设，根据三角形面积公式.因为，所以.因为最大值为，所以的最大值为，D选项正确.故选；ACD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点为抛物线的焦点，则点坐标为______．【答案】【解析】已知点为抛物线的焦点，则焦点在x轴上，则,由抛物线焦点坐标公式知道点坐标为.故答案为：.13.若关于的方程有解，则的取值范围是______．【答案】【解析】令，则，则，即.方程有解，可转化为，即关于的方程，有解.设，，则，则当即时，取最大值，；当即时，取最小值，；则的值域为，要使有解，则的取值范围是.故答案为：.14.棱长为2的正方体中，为内一点，且，则的最小值为______．【答案】【解析】如图，连接与平面交于点，因为为正方形，则，又因为平面，平面，则，且，平面，则平面，由平面，则，同理可得：，且，平面，所以平面，因为，且为边长为的等边三角形，即，解得，又因为，则，且的内切圆半径，外接圆半径，即，可知点在以为圆心，半径为的圆上（且在内），当且仅当点在线段上时，取到最小值，又因为，可得，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知直线．（1）若直线与直线平行，求的值；（2）若圆关于直线的对称图形为曲线，直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值．解：（1）因为直线与直线平行，则，解得.（2）圆关于直线的对称图形为曲线是圆，圆的圆心为，半径为，设圆心，直线的斜率为，由题意可得，解得，所以，圆的标准方程为，因为，所以，点在圆内，当时，圆心到直线的距离取最大值，且，所以，圆截直线的弦长的最小值为.16.在平面四边形中，，点在上且满足，且（1）求；（2）若，求四边形周长的最大值解：（1）在中，由正弦定理得：，又，则，于是．（2）依题意，，则，有，，则，在中，，令，在中，由余弦定理得，于是，解得，当且仅当时取等号，所以四边形周长的最大值为.17.已知四棱锥的底面为等腰梯形，，（1）求证：平面；（2）若四棱锥的体积为，求二面角的平面角的余弦值解：（1）过点作交于点，如下图所示，四边形为等腰梯形，，，所以，即，即，又平面，平面.（2）方法一：设四棱锥的高为，，四边形为平行四边形，，，又平面；如图，以为原点，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，，，，，且，设平面的法向量为m=x,y,z，则，取，则，，设面法向量为n=a,b,c，则，取，则，得，由题意，，设二面角夹角为是钝角，则．方法二：设四棱锥的高为，，，又平面；又平面平面平面，过作交延长线于，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，过作的垂线，垂足为，连，由于平面，平面平面，，则为所求二面角的平面角的补角．，四边形平行四边形，，，，，，平面，平面，，，设二面角的平面角为则．18.椭圆，动直线与椭圆相切于点，且点在第一象限．（1）若直线的斜率为．求点的坐标；（2）若过原点的直线与垂直，垂足为，求面积的最大值．解：（1）设直线：，代入椭圆，得：动直线与椭圆相切于点．又因为点在第一象限，．方程的解为，得（2）如图：设直线交轴于因为直线与垂直，．联立与，得将代入椭圆得动直线与椭圆相切于点得即当且仅当，即时取等号．面积的最大值为．19.曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点它们之间的曼哈顿距离（1）已知点，求的值；（2）已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积：（3）已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值．解：（1）．（2）设，当时，；当时，；当时，；当时，．所以