浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.2.已知集合，，若，则实数可以为（）A.1 B.3 C.4 D.7【答案】D【解析】由，知，C不可能；由，知且，否则中有元素1或者3，矛盾，即AB不可能；当时，，符合题意，因此实数可以为7.故选：D.3.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A B.C. D.【答案】A【解析】令函数，显然在上单调递减，，因为任意，不等式恒成立，于是，所以.故选：A.4.哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（）A.60° B.90° C.120° D.150°【答案】C【解析】根据力的平衡，的合力为，如图所示：由于，且的夹角为，则为等边三角形，则，则与重物重力之间的夹角为.故选：C.5.“”是“函数的定义域为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数的定义域为则恒成立，即，解得，故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.故选：B.6.已知函数，，是正实数．若存在唯一的实数，满足，则的最小值为（）A.46 B.48 C.52 D.64【答案】B【解析】根据函数，是正数，且存在唯一的实数，满足,可得，即，由，则，所以，故.故选：B.7.某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，其中是原有废气的污染物含量（单位：），是正常数．若在前消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（）参考数据：，，，A. B. C. D.【答案】B【解析】由题有，设小时后污染物含量不超过，则，解得，即至少经过29小时能达到排放标准.故选：B.8.若实数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，则为偶函数，设，则因为在上均为增函数，故，故，故在上为增函数，且为偶函数.又，则，即，当且仅当时取等号.故，故.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在中（）A.若，则 B.若，则C. D.【答案】ACD【解析】对A，在中，由余弦函数单调性可得，故A正确；对B，若为钝角，为锐角，则，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D正确.故选：ACD.10.已知（）（）A.当时，的值域为 B.当时，C.当时，是偶函数 D.当时，是奇函数【答案】BC【解析】当时，，此时的值域为，故A错误，当时，在上单调递增，所以，B正确，当时，，，所以是偶函数，C正确，当时，，，则，，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误.故选：BC.11.已知函数（）的最小正周期为，则（）A.B.函数在上为增函数C.是的一个对称中心D.函数的图像关于轴对称【答案】BD【解析】对A，，又最小正周期为，故，则，故A错误；对B，，当时，，为正弦函数的单调递增区间，故B正确；对C，，故不是的一个对称中心，故C错误；对D，为偶函数，图像关于轴对称，故D正确.故选：BD.12.已知函数，则（）A.函数是周期函数B.函数有最大值和最小值C.函数有对称轴D.对于，函数单调递增【答案】BC【解析】因为，对于C选项，因为，所以，函数的图象关于直线对称，C对；对于D选项，因，，故函数在上不单调，D错；对于B选项，因为函数的图象关于直线对称，要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值即可，设，当时，，令，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增，当时，，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，由对称性可知，函数在上为减函数，故函数在处取得最大值，且，故函数在处取得最小值，且最小值为，当时，则，则函数在上为减函数，对任意的、，且，则，，则，由不等式的基本性质可得，即，所以，函数在上单调递减，又因为当时，函数取得最大值，故函数仅在处取得最大值，对任意的，，，若，则，若，则，则，则，所以，.综上所述，对任意的，，又因为函数在上单调递减，故当时，在处取得最小值，综上所述，函数既有最大值，也有最小值，C对；对于A选项，由C选项可知，函数仅在处取得最大值，若函数是以为周期的周期函数，则，与题意矛盾，故函数不可能是周期函数，A错.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______0（填＞或＜）．【答案】＞【解析】，故2对应的角度终边在第二象限，则.14.函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当______时，游客流量最大．【答案】8【解析】因为，所以，所以当，即时，取最大值，所以时，取最大值，又游客流量越大所需服务工作的人数越多，所以时，游客流量最大．15.已知函数则方程的所有根之积为______．【答案】【解析】令，由可得，当时，由，即，则，即方程无解；当时，由，可得或.（1）当时，当时，由可得，解得，，当时，由可得，；（2）当时，当时，由可得，，方程无解，当时，由可得，，因此，方程的所有根之积为.16.若函数的值域为，则实数的最小值为______．【答案】【解析】根据题意，函数定义域为，因为的值域为，所以在上恒成立，当时，则，则，此时必有，变形可得，当时，则，则，此时必有，变形可得，综合可得：在上恒成立，设，，则，因为，所以且，由基本不等式可得，即，所以，因为在上恒成立，所以，解得，故实数的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）结合题意可得：.（2）结合题意可得：.18.已知向量，．（1）若，求的坐标；（2）若，求与的夹角．解：（1）由题意，设．，，，或．（2），，，即，．设与的夹角为，则．又，，与的夹角为．19.已知函数．（1）求函数的最小正周期与对称轴方程；（2）当且时，求的值．解：（1）由题设有，所以，函数的最小正周期是，由，可得，所以，函数的对称轴方程为.（2）由得，即，因为，所以．若，则与，矛盾，则．从而．于是．20.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于．记．（1）求的长（用表示）；（2）求面积的最大值，并求此时角的大小．解：（1）过，作的垂线，垂足分别为，，则，，，．（2）．，，，即时，，因此，当时，面积最大值为．21.已知函数．（1）当时，讨论的单调性（不必给出证明）；（2）当时，求的值域；（3）若存在，，使得，求的取值范围．解：（1）当时，，因为为减函数，为增函数，故在上单调递减.（2）当时，，当且仅当时取等号；所以的值域为．（3）令，则问题等价于存在，，使得，令，因为在有两个零点，故，即，解得．由韦达定理和根的定义可知：，．，又因为，故的取值范围为．22.二次函数的最大值为，且满足，，函数．（1）求函数的解析式；（2）若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：