浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为集合，根据集合交集定义.故选：C.2.已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为命题为真命题，则对恒成立，所以，即的取值范围是.故选：D.3.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.若，则【答案】C【解析】对于A，令，满足，但是，故A错误；对于B，令，则，即不成立，故B错误；对于C，因为，所以，即，故C正确；对于D，令，则，满足，但是不成立，故D错误.故选：C.4.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，即，即，解得或；所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立；所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.5.已知函数，且最大值为（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】，开口向下，因为，所以当时，单调递增；当，单调递减，所以当时，有最大值为.故选：C.6.已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由二次函数的对称轴为，所以由函数在上是减函数，则.故选：D.7.函数的部分图像如图，则的解析式可能是（）A B.C. D.【答案】B【解析】由图可知，函数的定义域为，对于A，函数的定义域为，不符合题意，故A错误；对于B，函数的定义域为，且，故B正确；对于C，函数的定义域为，不符合题意，故C错误；对于D，函数的定义域为，不符合题意，故D错误.故选：B.8.已知函数的定义域为，值域为，则（）A.函数的定义域为B.函数的值域为C.函数的定义域和值域都是D.函数的定义域和值域都是【答案】B【解析】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确；对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由图可知，是的子集，故A正确；不是的子集，故B错误；是的子集，故C正确；不是的子集，故D错误.故选：AC.10.已知正数a，b满足，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由题，即，故A正确：对于B，a，b为正数，为正数，，所以，当且仅当时，等号成立，故B不正确；对于C，a，b为正数，，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，a，b为正数，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ACD.11.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（）A.数域中均含的元素0，1B.有理数集C.一个数域D.整数集【答案】ABD【解析】对于A选项，根据定义，由，则，则0，1是任何数域中的元素，故A正确；对于B选项，当时，，故B正确；对于C选项，取，则，则不是一个数域，故C错误；对于D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推，整数集是任何数域的子集，若数集E，F都是数域，则，则整数集，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.12.若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为______.【答案】【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，解得，故函数，所以函数，∴，∴，∴函数的定义域为.13.设函数，则______.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以.14.函数，若，使得，则a的取值范围是______.【答案】【解析】若，使得，即在上的值域要包含在上的值域，又在上.①当时，单调递减，此时，解得；②当时，，显然不满足题设；③当时，单调递增，此时，解得.综上：a的取值范围为.四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，（1）分别求与；（2）已知，若，求实数a的取值范围.解：（1）因为，，所以，.（2）因为，又因为恒成立，所以所以，解得，所以.16.（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值.（2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.解：（1）因，则有，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为4.（2）当时，，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为6.17.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象.（1）画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）讨论方程解的个数.解：（1）函数是定义在上的偶函数，即函数的图象关于轴对称，图象如下：其递增区间为.（2）根据题意，令，则，则，又由函数是定义在上的偶函数，则，则.（3）当时，，所以当时，，又因为函数是定义在上的偶函数，所以当时，，方程解的个数即为函数y=fx与的交点个数，由图象可知，当时没有解；当或时有2个解；当时有4个解；当时有3个解.18.如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.（1）求y关于x的函数表达式；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？解：（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，，整理得.（2）由（1）知，即，，由基本不等式可得，令，则，解得（舍去）或.，当且仅当，即时等号成立，∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为.19.设为实数，函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）若，求