（适用于新高考新教材）高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练64离散型随机变量的分布列均值与方差

课时规范练64离散型随机变量的分布列、均值与方差基础巩固组1.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数ξ的最大值为()A.5 B.2 C.3 D.42.设随机变量X的分布列如下表,则P(|X2|=1)=()X1234P11m1A.712 B.12 C.5123.设随机变量X的分布列如下表,X0123P0.1a0.30.4则方差D(X)=()A.0 B.1 C.2 D.34.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又X的均值为E(X)=3,则a+b=()A.110 B.0 C.110 D5.已知随机变量X的分布列如下表,X012P0.2ab若E(X)=1,则D(X)=()A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.66.(多选)设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5=ak(k=A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P(ξ=1)=0.37.已知随机变量ξ的分布列如下表,则x=.

ξ012Px2x18.已知X的分布列如下表,设Y=2X+1,则Y的均值E(Y)的值是.

X101P11a综合提升组9.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围为()A.0,12C.12,110.(多选)(2022山东第二次学业质量检测)已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表,X012Pmnm则下列结论一定成立的是()A.P(X=1)<P(X≠1)B.E(X)=1C.mn≤1D.D(X+1)<111.(多选)袋内有形状、大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则下列说法正确的是()A.抽取2次后停止取球的概率为3B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为9C.取球次数ξ的均值为2D.取球次数ξ的方差为912.(多选)已知随机变量ξ的分布列是ξ101P11p随机变量η的分布列是η123P11p则当p在(0,1)内增大时,下列选项中正确的是()A.E(ξ)=E(η) B.D(ξ)=D(η)C.E(ξ)增大 D.D(η)先增大后减小13.已知随机变量X的分布列为X012Pa2ab已知a>0,b>0,当D(X)最大时,E(X)=.

14.对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题,则停止检测,否则一直检测到3次为止,设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2,则检测2次停止的概率为;设检测次数为X,则X的均值为.

15.(2022浙江,15)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=.

16.已知某盒子中共有6个小球,编号为1号至6号,其中有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.(1)若从盒中一次随机取出3个球,求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率;(2)若从盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取4次,求恰有3次取到黄球的概率;(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X).创新应用组17.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成4元;乙公司,无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从记录甲公司送餐员的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和均值E(X);②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日平均工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.课时规范练64离散型随机变量的分布列、均值与方差1.D解析:由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉4把打不开的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,ξ的最大值为4,故选D.2.C解析:由16+14+m+13=1,得m=14,所以P(|X2|=1)=P(X=1)+P3.B解析:由题得,a=10.10.30.4=0.2,则E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)[E(X)]2=54=1,故选B.4.A解析:依题意可得X的分布列为X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b依题意得,a解得a=110,b=0,故a+b=110.5.C解析:由分布列的性质,可得0.2+a+b=1,解得a+b=0.8. ①∵E(X)=1,∴0×0.2+1×a+2×b=1,即a+2b=1, ②联立①②,解得a=0.6,b=0.2.D(X)=(01)2×0.2+(11)2×0.6+(21)2×0.2=0.4.故选C.6.ABC解析:随机变量ξ的分布列为Pξ=k5=ak(k=1,2,3,4,5),Pξ=15+Pξ=25+Pξ=35+Pξ=45+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=115,故A正确;P(0.5<ξ<0.8)=Pξ=35=3×115=0.2,故B正确;P(0.1<ξ<0.5)=Pξ=15+Pξ=25=115+2×115=0.2,故C正确;P(7.12解析:由题得,x2+x+14=1,化简得x+32x12=0,解得x=12或x=32.因为0≤x≤1,所以x=8.23解析:由题得12+16E(X)=12+1∵Y=2X+1,∴E(Y)=2E(X)+1,∴E(Y)=239.A解析:由题可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1p)p,P(X=3)=(1p)2p+(1p)3=(1p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1p)p+3(1p)2>1.75,解得p>52或p<12,由p∈(0,1),可得p∈0,10.BCD解析:由分布列的性质,得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m.当m=14,n=12时,P(X=1)=P(X≠1),故选项A错误;因为E(X)=n+2m=1,故选项B正确;因为m,n均为正数,所以1=n+2m≥22mn,即mn≤18,当且仅当n=2m=12时,等号成立,故选项C正确;由n=12m>0,得0<m<12.又E(X)=1,所以D(X+1)=D(X)=11.BD解析:由题意可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×14=110.对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=310,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910,B选项正确;对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=112.BC解析:对于A,∵η=ξ+2,∴E(η)=E(ξ)+2,故A错误;对于B,∵η=ξ+2,∴D(ξ)=D(η),故B正确;对于C,∵E(ξ)=12+12p,∴当p在(0,1)内增大时,E(ξ)增大,故C正确;对于D,∵E(η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D(η)=12-p22×12+12-p22×1-p2+313.54解析:由题知b=13a,E(X)=2a+2(13a)=24a,则D(X)=(4a2)2·a+(4a1)2·2a+(4a)2·(13a)=16a2+6a.故当a=316时,D(X)最大,此时E(X)=14.0.162.44解析:检测2次停止的概率为(10.2)×0.2=0.16.检测次数X可取1,2,3,P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8×0.8×0.8+0.8×0.8×0.2=0.64,则E(X)=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.15.1635127解析:P(ξ=ξ的所有可能取值为1,2,3,4.P(ξ=1)=C62C73=1535,P(ξ=3)=C32C73=335,故E(ξ)=1×1535+2×1635+3×335+416.解(1)从盒中一次随机取出3个球,记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件A,则事件A包含事件“3个球中有2个红球”和事件“3个球中有2个黄球”,由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得P(A)=C3故取出的2个球颜色相同的概率为1320(2)盒中逐一取球,取后立即放回,每次取到黄球的概率为13,记“取4次恰有3次黄球”为事件B,则P(B)=C故取4次恰有3次黄球的概率为881(3)X的可能取值为2,3,4,5,6,则P(X=2)=A22A62=115P(X=4)=C21C42A33P(X=6)=C2所以随机变量X的分布列为X23456P12141所以随机变量X的均值为E(X)=2×115+3×215+4×15+5×415+17.解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M,则P(M)=C25(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a,当a=38时,X=38×6=228,当a=39时,X=39×6=234,当a=40时,X=40×6=240,当a=41时,X=40×6+1×7=247,当a=42时,X=40×6+2×7=254.所以X的可能取值为228,234,240,24