初中数学-方程思想解题实例

方程思想解题实例一、知识梳理方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法方程思想的独特优势是使问题简单化，方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组），分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用，我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具方程思想的本质是用设未知数用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。二、课堂案例讲练几何中的方程思想在几何中建立等量关系的常用方法有错误!利用勾股定理建立等量关系；错误!利用图形中的线段相等建立等量关系；错误!利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。O,4利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式（一）利用勾股定理建立等量关系例1如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=DC=8cm,AD=BC=10cm,求EC的长.解析:想求得EC长,利用勾股定理计算，需求得FC长,那么就需求出BF的长，利用勾股定理即可求得B解：设解析:想求得EC，DE=(8—x)cm.,/△ADE折叠后的图形是^AFE,AAD=AF,ZD=ZAFE,DE=EF.a/AD=BC=1Ocm,aAAF=AD=10cm.又•.•AB=8cm,在Rt△ABF中,根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2aA82+BF2=102ABF=6cm.AFC=BC-BF=10-6=4cm.a在Rt△EFC中，根据勾股定理，得:FC2+EC2=EF»A42+x2=(8-x)2，即16+X2=64-16x+X2冷化简，得16x=48.Ax=3.故EC的长为3cm.

前思后想：翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段，另本题也可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决.课堂训练：.有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和8,若将两张纸片交叉重叠,则得到重叠部分面积最小是最大的是..动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出NCAE=NCAD,NACF=NACB的方法得到菱形AECF（见方案二）q（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？⑵请你通过计算，⑵请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中,哪种菱形面积较大？（二）利用三角形相似的性质建立等量关系例1:有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮,要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法:一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）;另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）.两种情形下正方形的面积哪个大？得:12得:12解析：（1）利用三角形的面积关系求出AB边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长;（2）设出正方形的边长，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长.解：I.。因为以ABC为直雨三角胺脸边长分别为3皿和41:町贝历二』承我々5.作皿边上的高6，会［吁电3下一凡3区4J7H~9919故匚H二"二cm.易得:：ADC^AACB,设正方形DEF锁边长为区方，图图3｛或冷机匕5叱设正方形边长为/cm.易淳：AAJJEtoAACE,.：yADDE±7E：最f立工3-4解的才早.―,377九■<第二种情形R正方形的面枳大.前思后想:(1)利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键；(2)也可根据△ADEs^ACB或4BFEs^bCA来解答.课堂训练：.如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25m,长臂OB=16.5m,♦当短臂端点A•下降0.85m时，长臂端点B升高多少？下面是小明的解题过程：一.AOA'O“如图，连接AA，,因为AO=A，O,BO=B'O,所以f=•又21=NBOBOAOAA'2,所以AAA。，O^ABBZO,有一=——，因为AO=1.25,BO=16.5,AAZ=0.85,所BOBB'1.250.85…, ………..16.5dd；，解得BB'=11.22,•即长臂端点B升图了11.22m”.16.5你认为小明的解题过程正确吗?如果不正确，请写出你的答案..如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上,点N、H分别在边AB、AC上,且AD±BC,垂足为D,AD交NH于点E,AD=8cm,BC=24cm,NF：NH=1：2，求此矩形的面积.AA.如图3,在梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,DC=5,AB=4<2,ZB=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.(1)求BC的长.C(2)试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.C（三）利用线段相等建立等量关系例1.如图，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,AD=10cm,BC=30cm,动点P从点A开始沿AD边向点D以每秒lcm的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒.（l）t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）四边形ABQP能成为等腰梯形吗?如果能，求出t的值；如果不能,请说明理由.解析：（1）当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形；⑵若四边形ABQP能成为等腰梯形，则一定要满足PD=CQ.解：(1)当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形，而AP=tx1=t；BQ=BC—CQ=30-tx3=30—3t.•・t=30—3t解之得：t=7.5(2)四边形ABQP能成为等腰梯形.二•四边形ABCD为等腰梯形AAB=CD,ZB=ZC.若四边形ABQP是等腰梯形.则AB=PQ,ZB=ZPQB,.\CD=PQ,ZC=ZPQB .CD〃PQ・•・四边形PQCD为平行四边形・,・PD=CQ.WPD=AD-AP=10-tx1=10-t；CQ=tx3=3t,则10-t=3t,解得t=2.5.前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象，然后设出未知量，根据题意寻找等量关系，第（2）问可这样思考：先逆向假设四边形ABQP能成为等腰梯形，则PD=CQ,建立相关的等式，若能解出符合题意的值,则存在，然后再顺向写出过程

课堂训练：1.如图，在直角梯形ABCD中,AD〃BC,ZC=90°,BC=16,DC=12,AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P,Q分别从点D,C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？2.如图，直角梯形八BCD中,AD〃BC,NABC=90。,已知Ag4B=3,2.如图，直角梯形八BCD中,AD〃BC,NABC=90。,已知Ag4B=3,BC=4,动点P从

B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发,沿线段DA向点X作匀速运

动.过Q点垂直于八。的射线交八C于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发，速度都为

每秒1个单位长度.当Q点运动到八点，P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.⑴求NC.PN的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(3)当t为何值时，四边形PCDQ构成等腰梯形?；(4)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将梯形ABCD的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值;若不存在,请说明理由(四)设未知量求角度例1：已知：如图所示，在△'BC中,AB=AC,D为AC上一点,且BD=BC,E为AB上一点，且AD=DE=EB那么ZA的度数是 _度.解析：设NEBD=x,根据等边对等角得出NA=2x,NC=NABC=3x,根据三角形内角和定理得出2x+3x+3x=180°,所以NA=45°前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时，通常都可以根据“三角形内角和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质”，找出相应的等量关系，通过列方程解决此类问题。课堂练习:.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为.等腰三角形两角的度数之比为4:1，其内角的度数分别为..如图，在.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为.等腰三角形两角的度数之比为4:1，其内角的度数分别为..如图，在^ABC中,AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,则NA=...*—.如图，点O是等边^ABC内一点，连接OA、OB、OC,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60端△ADC,连接OD.0）求证：4COD是等边三角形；（2）若OA=3,OC=4,OB=5,试判断^AOD的形状，并说明理由.（3）若NAOB=11（T,NBOC=a,请探究：当a为多少度时,^AOD是等腰三角形?函数中的方程思想函数中的方程思想主要体现在：1.求两个函数图象的交点问题； 2.已知y的值,求相应x的值。例1:如囱，直线产■联+Q与湘京于点竣与直线厂1交于点E,月酉续婢嵋与幡交于点q「则总底匚的面积为解析：根据题意分别求出A,B,C,D的坐标，再用Saa-Sar5即可求出^ABC的面积.

△Acd ABCD解：因为直线产-3身4中，L=4,故A点坐标为（0,4）；今41s解：因为直线产-3身4中，L=4,故A点坐标为（0,4）；今41s+4=Q,则1t=3,故口点坐标为（3,0）,■则，游-1•.故。点坐标/C-H,口），4-5

肝

4-5因为暗为亶线产-京4直线产|底的交点，故可列出方程组《4尸―/4~4」，胡得故％白金〜皿―§也BW*小孙知'吟案礴况-打4线―-①、*二亘，故照坐标为«，Z）Jy=2 "前思后想：本题也可将4ABC的面积分成两个三角形面积的和来求解例2 （2012南京）若反比例函数y=-与一次函数y=x+2的图象没有交点，则kx的值可以是（）A.-2B.-1C.1D.2解析:函数图象交点问题都可以通过联立方程组（也就是利用两个函数值相等）来解决，此题联立方程后会得到一个一元二次方程，没有交点就意味着此方程无解，也就是判别式小于0.k解：令一=x+2,得*2+2**=0由两图象没有交点，可得此方程无解，即b2-4ac=4+4k<0,X解得k<-l,故选A点评：用方程思想解函数图象交点问题,适应面更广，方法更简单,只需令yl=y2,在所形成的一元二次方程中，若求两函数图象交点，解出方程即可,若图象无交点，则判别式<0,若图象有交点，则判别式三0,若图象有两个不同的交点，则判别式>0课堂练习：. （2011黄石）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=一的图象没有公共点，则实数k的取值x范围是..一次函数图象y=kx+2与抛物线y=2xz+3x+l的交点个数为..已知，如图，一次函数y=2x+1与反比例函数y=-交于A,B两点,其中点A的横坐标为l.X（1）求反比例函数y=-的解析式；x（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线相交于点C,求^ABC的面积.课后作业检测1.在^ABC中，/A—/C=35。,/B-/A=5。,求/B=.2.在^ABC中，AB=AC,BD平分2.在^ABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC边于点D,3.如图，ZA=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则NDEF=ZBDC=75°,则NA的度数是一.…I.如图，已知第一象限内的图象是反比例函数¥二1图象的一个分支,第二象限内的图象是2反比例函数工图象的一个分支，在工轴上方有一条平行于工轴的直线上与它们分别交于点A、B,过点A、B作X轴的垂线,垂足分别为c、D.若四边形ACDB的周长为8且则点A的坐标是..如图①，在梯形ABCD中,AD//BC,/A=60°,动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A-B-C-D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知^PAD的面积S（单位：■川）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）..如图,已知^ABC中,AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.（1）①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后,△BPD与^COP是否全等,请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△COP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在^ABC的哪条边上相遇？A

7.(2012江宁二模)数学实验室：小明取出一张矩形纸片A5C。，Ad=BC=5AB=CD=25.他先在矩形ABCD的边A5上取一点M接着在CD上取一点N,然后将纸片沿MN折叠，使MB，与。N交于点K,得到△MNK(如图①).C(1)试判断△MNK的形状，并说明理由.(2)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值.1)1)(备用图)8.全国第十届数学教育方法论暨MM课题实施20周年纪念活动于9月27在无锡市一中拉开帷幕.与会期间全国数十位老师上了精彩纷呈的展示课,其中青岛一位老师的“折纸”课,武汉的裴光亚教授评价是：“栩栩如生，五彩缤纷”.课堂上老师提出这样一个问题:你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗？有两位同学很快折出了各自不同的菱形，如下图：图?图-4(1)如果图?图-4(1)如果该矩形纸片的长为4,宽为3,则图1、图2两图中的菱形面积分别为.⑵这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如图3所示:在矩形ABCD中，设AB=3,AD=4,请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的面积.(3)借题发挥：如图4,在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,若折叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合,折痕交AD于点F,交BC于点G,边DC折叠后与BC交于点M.试求^EBM的面积.

9.如图，在等腰梯形ABCD9.如图，在等腰梯形ABCD中,AD〃:BC,AB=CD=10,AD=6,BC=18,M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B,C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Qq(1)当P在B,C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？请说明理由.(2)当四边形ABPQ是直角梯形时，点P与C距离是多少？.如图，在直角梯形ABCD中,NA=90°,AB〃CD,AB=1,CD=6。(1)若AD=5,在线段AD上是否存在点P,使得以点P、A、B为顶点的三角形和以点P、C、D为顶点的三角形相似？若存在，这样的点P有几个？它们到点A的距离是多少？若不存在,请说明理由。(2)若设AD=m,在线段AD上存在唯一的一个点P,使得以点P、A、B为顶点的三角形和以点P、C、D为顶点的三角形相似？求m的值。一,1 ,,,.如图，已知直线y=5X+1与y轴交于点A,与X轴交于点D,抛物线1y=-X2+bx+c与直线交于A、E两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0)。⑴求该抛物线的解析式；图2。⑵动点P在X轴上移动，当4PAE是直角三角形时，求点P的坐标P图2。.（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-l,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,直线/是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数关系式;（2）设点P是直线I上的一个动点，当^PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线I上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.-2答案：（一）利用勾股定理建立等量关系174—. 2方案二：35.21cm2, 方案二小明同学所折的菱.（1）略（方案二：35.21cm2, 方案二小明同学所折的菱（二）利用三角形相似的性质建立等量关系不正确.作A,C±AB,B'D±AB,所以NA/CO=NB,DO=90°,又N1=N2，所以△OCA's^odb，A'CA'O因为A,O=AO=1.25,B/O=BO=16.5,A′C=0.85,所以0.851.25BD所以0.851.25BD―165，解得B,D=11.22,即长臂端点B升高了11.22m46.08cm23.(1)BC=10（2）分三种情况讨论：①当NC=MC3.(1)BC=1010t=10—2t得t= ②当MN=NC时，如图2,过N作NE1MC于E,图1图2图1图21 1由等腰三角形三线合一性质得EC=-MC=-（10—21）=5-1•.•NC=NC,/DHC=/NEC=90°・•.△NECs^DHCNCEC - DCHC25

t——8t5—t即一二——

5 31一一③当MN=MC时，如图3,过M作MF1CN于F点.FC=-NC=^2•.•NC=NC,/MFC=/DHC=90。・•.△MFCs、dhcFCMCHC1-t2.DC10—213560t——17图310 25 60综上所述，当t——、t——或t——时，△MNC为等腰三角形。（三）利用线段相等建立等量关系1.分三种情况:①若PQ=BQ。在Rt、PMQ中，PQ2―12+122，由PQ2=BQ2得12+122=(16-1)2,7解得t=—■；2②若BP=BQ。在Rt、PMB中，BP2=(16—21)2+⑵。由BP2=BQ2得:(16—21)2+122=(16-1)2 即3t2—321+144=0。由于A=—704<0・•・3t2-321+144:0无解，.，.PBWBQ③若PB=PQ。由PB2;PQ2,得12+122=(16-21)2+12216整理，得3t2-641+256—0。解得t——,t—16（不合题意，舍去）132综合上面的讨论可知：当t=7秒或t—16秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等23腰三角形。2.(1)NC=t+1,PN=3-2t,(2)(四)设未知量求角度t=2,(3)t=1,（4）不能，原因略1.60°或120° 2.120(1)略(2)略(3)125°或1函数中的方程思想11.K<—-4,30°或20°,80°,80°3.36° 4.10°或140°2.22.2个 3./r、 3(l)y x25(2)T课后作业检测1.75°40604.G5.4+2^36.(1)①⑻1.75°40604.G5.4+2^36.(1)①⑻耳EB略②^cm/s(2)ys7.（1）略（2）分两种情况:情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合,此时点K也与点D重合.设MK=MD=x,则AM=25-x,在Rt^DNM中，由勾股定理，得%2=(25-％1+52,解得，x=13.即MD=ND=13."=325情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC.A设MK=AK=CK=x,则UDK=25-x,同理可得1PMK=NK=13..S =32.5.△mnk8.解：（1）第一个菱形的面积=3*4：2=6'第二个菱形也是正方形「边长为3；…则其一为面积=3X3=9;a（2）如图：（以BD或AC为对角线,E、F在AD,BC上，且EF垂直平分BD或AC）如图,设线段ED的长为x.a二•四边形BFDE是菱形.ED=8£=乂4又\,矩形ABCD中AB=3,AD=4A.•.AE=4-xA在Rt△ABE中AE2+AB2=BE泌.（4-x）2+32=x2（5分）, 25解之得：x=—o一25・•・ED=——875・•・S菱形eafd二DE-AB=-8(3)如图:a・・•对折m・.DF=EFa设线段DF的长为x,则EF=xk/AD=3.•・AF=3-x•・•点E是AB的中点，且AB=2a.AE=BE=1在RtAAEF中有AE2+AF2=EF2V.I2+(3-x)2=x2、, 5解之得：x=3一 4.\AF=3-x=-3在矩形ABCD中由于对折.\ZD=ZFEM=9GoAZ1+Z2=90°a又•「NA=NB=90°AZ1+N3=90°AZ2=Z3aAAAEF^ABME,

AFAE = ,BEBM3BM=-4AS=-BE*BM=-