专题08 等差数列通项与前n项和（12大考点知识串讲+热考题型+专题训练）

专题08等差数列通项与前n项和知识点1等差数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列）【注意】（1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．（2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．知识点2等差数列的通项与性质1、等差数列的通项公式已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为：2、等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq\f(a＋b,2).3、等差数列的性质（1）若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则.特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，.（2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即（3）若是公差为d的等差数列，则①（c为任一常数）是公差为d的等差数列；②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列；③（k为常数，k∈N*）是公差为2d的等差数列．（4）若，分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列(p，q是常数)是公差为的等差数列．（5）通项公式的推广：(n，m∈N*)．知识点3等差数列的前n项和与性质1、等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式2、等差数列的前n项和的常用性质（1）设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列；（2）数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为；（3）若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数时，，，；②当项数为奇数时，，，.（4）在等差数列，中，它们的前项和分别记为则3、等差数列的前n项和公式与二次函数将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得.当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点．考点1等差数列的基本量计算【例1】（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（）A．B．C．D．3【变式1-1】（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）数列为等差数列，若,，则（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，则（）A．240B．180C．120D．60【变式1-3】（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．C．2022D．2023【变式1-4】（2023·江西新余·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则等差数列的公差（）A．3B．2C．D．4考点2等差数列通项性质应用【例2】（2023·河北·高二校联考阶段练习）在等差数列中，，则的值为（）A．20B．15C．10D．5【变式2-1】（2023·宁夏银川·高二银川二中校考阶段练习）已知等差数列，其前项和为，则（）A．24B．36C．48D．64【变式2-2】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则（）A．4B．5C．D．【变式2-3】（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在等差数列中，，，则（）A．39B．76C．78D．117【变式2-4】（2023·高二课时练习）在等差数列中，，则.考点3等差数列单调性及应用【例3】（2023·高二课时练习）（多选）已知等差数列的公差,则下列四个命题中真命题为（）A．数列是递增数列B．数列是递增数列C．数列是递增数列D．数列是递增数列【变式3-1】（2023·安徽马鞍山·高二统考期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【变式3-2】（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，则（）A．数列为递增数列B．数列为递减数列C．D．【变式3-3】（2023·河北衡水·高二安平中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（）项．A．4B．5C．6D．7考点4增减项构造等差新数列【例4】（2023·江西·高二统考期末）在和两个实数之间插入个实数，，，，使数列为等差数列，那么这个数列的公差为（）A．B．C．D．【变式4-1】（2023·辽宁锦州·高二渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（）A．4043B．4044C．4045D．4046【变式4-2】（2023·上海·高二校考期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【变式4-3】（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2024项的和为.【变式4-4】（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列．（1）求新数列的通项公式；（2）16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．考点5等差数列的片段和性质【例5】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则.【变式5-1】（2023·甘肃酒泉·高三酒泉中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则.【变式5-2】（2023·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为.【变式5-3】（2022·陕西西安·高二西光中学校考阶段练习）等差数列的前n项和，若，则（）A．10B．20C．30D．15【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，，，则.考点6等差数列前n项和与n的比值【例6】（2023·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（）A．10B．100C．110D．120【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【变式6-2】（2023·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．【变式6-3】（2023·江苏常州·高二奔牛高级中学校考期末）在等差数列中,,其前项和为,则.【变式6-4】（2023·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为．考点7两个等差数列前n项和的比值【例7】（2023·黑龙江大庆·高二校考期末）等差数列和的前项和分别为和，如果，的值是（）A．B．C．D．【变式7-1】（2023·福建宁德·高二宁德第一中学校考阶段练习）（多选）已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是（）A．B．C．D．【变式7-2】（2023·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为与,且,则（）A．B．C．D．【变式7-3】（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（）A．2B．C．1D．【变式7-4】（2023·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则考点8等差数列的奇偶项和性质【例8】（2023·甘肃定西·高二临洮中学校考阶段练习）已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（）A．100B．105C．90D．95【变式8-1】（2023·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为偶数项之和为则()A．B．C．D．【变式8-2】（2022·江苏苏州·高二苏州第十中学校校考阶段练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为.【变式8-3】（2023·高二课时练习）在等差数列中，已知公差，且，求的值．【变式8-4】（2023·高二课时练习）求下列两题：（1）等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差；（2）项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项．考点9等差数列前n项和最值【例9】（2022·江西新余·统考二模）设等差数列的前项和为，且，，则当（）时，最大.A．B．C．D．【变式9-1】（2023·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则取得最大值时，n的值是（）A．23B．13C．14D．12【变式9-2】（2023·福建宁德·高二宁德第一中学校考阶段练习）（多选）设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（）A．是唯一最大值B．是最大值C．D．是最小值【变式9-3】（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，公差.（1）求的表达式（2）是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.【变式9-4】（2023·江苏苏州·高二沙洲中学校考开学考试）（多选）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（）A．若，则当且仅当时，取得最大值B．若，则当且仅当时，取得最大值C．若，则当且仅当时，取得最大值D．若，，则当或14时，取得最大值考点10含绝对值的等差数列求和【例10】（2023·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）在数列中，，则等于（）A．445B．765C．1080D．3105【变式10-1】（2023·湖北黄冈·高二校考阶段练习）已知数列满足，，设的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）求．【变式10-2】（2023·福建三明·高二校考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，若.（1）求数列的通项公式与；（2）求数列的前50项和.【变式10-3】（2023·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知各项都为正数的数列的前项和为,且满足.（1）求数列的通项公式;（2）若，求数列的前项和.【变式10-4】（2023·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前项和.考点11等差数列的判定与证明【例11】（2023·海南·高二校考阶段练习）设为数列的前n项和，.（1）求；（2）证明是等差数列.【变式11-1】（2023·云南·高二学业考试）已知数列中，，，.（1）求的值；（2）证明：数列是等差数列；（3）求数列的通项公式.【变式11-2】（2023·江苏盐城·高二新丰中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的通项公式.【变式11-3】（2023·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列等差数列.【变式11-4】（2023·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知数列满足：，.（1）计算数列的前4项；（2）求证：是等差数列；（3）求的通项公式.考点12等差数列的实际应用【例12】（2023·福建厦门·高二厦门集美中学校考阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则芒种日影长为（

）A．尺B．尺C．尺D．尺【变式12-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考阶段练习）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（）A．35B．32C．29D．26【变式12-2】（2023·江苏扬州·高二邗江中学校考期中）现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（）A．33B．34C．36D．37【变式12-3】（2023·河南驻马店·高二统考期中）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升.”在该问题中前7天共分发多少升大米？（）A．1170B．1440C．1785D．1772【变式12-4】（2023·福建福州·高二校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将到这个自然数中被除余且被除余的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为．1．（2023·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）已知数列为等差数列，，，则（）A．B．C．D．2．（2023·山东泰安·高二泰安第二中学校考阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A．B．C．D．3．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知为等差数列的前项和，若，则（）A．26B．27C．28D．294．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到了5000元.他们第1天只收到了20元，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，这次募捐活动一共进行了（）A．20天B．25天C．30天D．35天5．（2023·陕西咸阳·高二校考阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，，都有，则的值为（）A．B．C．D．6．（202