专题07 抛物线的标准方程及几何性质（8大考点知识串讲+热考题型+专题训练）

专题07抛物线的标准方程及几何性质知识点1抛物线的定义1、抛物线定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹。其中，定点F抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2、抛物线定义的集合语言表示：.注意事项：（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．知识点2抛物线的方程与几何性质1、抛物线的方程与几何性质标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形范围对称轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径2、焦半径公式设抛物线上一点的坐标为，焦点为.（1）抛物线，.（2）抛物线，.（3）抛物线，.（4）抛物线，.知识点3直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点.（2）直线的斜率存在.设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程（或）解的个数.①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点.②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.2、抛物线的一般弦长设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.（2）,推导：由题意，知，①②由①-②，得，故，即.（3）直线的方程为.3、抛物线的焦点弦长如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.3、抛物线中点弦问题设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：考点1抛物线的定义及几何性质【例1】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（）A．抛物线没有离心率B．抛物线的离心率为1C．若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切D．抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点【变式1-1】（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【变式1-2】（2023·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）抛物线上一点到焦点的最小距离为（）A．1B．C．D．【变式1-3】（2023·广东云浮·高二校考阶段练习）设抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的坐标为.【变式1-4】（2023·陕西咸阳·高二校考阶段练习）（多选）已知F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（）A．焦点B．准线方程C．点或D．焦点到准线的距离为4考点2利用定义求距离和差最值【例2】（2023·江西宜春·高二校考阶段练习）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（）A．8B．C．D．【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考期中）已知定点，点为抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值为（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）已知Q为抛物线C:上的动点，动点M满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为则|QM|+|QF|的最小值是（）A．B．C．D．4【变式2-3】（2023·山东菏泽·高二统考期中）设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论错误的是（）A．准线的方程是B．的最大值为2C．的最小化为5D．以线段为直径的圆与轴相切【变式2-4】（2023·江苏宿迁·高二统考期中）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为．考点3抛物线标准方程的求解【例3】（2023·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（）A．B．C．D．【变式3-1】（2023·陕西渭南·高二校考期中）点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2023·黑龙江·高二哈三中校考期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2023·云南·高二校联考阶段练习）如果抛物线的焦点在直线上，那么抛物线的方程是（）A．B．C．D．【变式3-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为．考点4与抛物线有关的轨迹问题【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程；【变式4-1】（2023·高二课时练习）设是定直线的法向量，定点在直线上，定点在直线外，为一动点，若点满足，则动点的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【变式4-2】（2023·高二课时练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．【变式4-3】（2022·河南南阳·高二统考期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1.（1）求点的轨迹方程；（2）求线段中点的轨迹方程.考点5直线与抛物线的位置关系【例5】（2023·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知抛物线的准线为，且与直线相切，则（）A．2B．1C．D．【变式5-1】（2022·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考期中）过点与抛物线只有一个交点的直线有（）条.A．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2023·上海·高二吴淞中学校考阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【变式5-3】（2023·高二课时练习）已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值．【变式5-4】（2023·高二课时练习）（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（）A．B．C．D．考点6抛物线的焦半径及焦点弦【例6】（2023·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线上，且，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则（）A．B．4C．6D．8【变式6-1】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的公共点从右到左依次为点、、，则（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023·河北保定·高二定兴第三中学校联考期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（）A．1B．2C．D．4【变式6-3】（2023·江苏南通·高二统考期中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则．【变式6-4】（2023·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为.考点7抛物线的中点弦问题【例7】（2023·贵州六盘水·高二统考阶段练习）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（）A．1B．C．D．【变式7-1】（2023·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（）A．B．2C．或2D．以上都不是【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的一条弦恰好以为中点，弦的长是，则（）A．1B．2C．3D．4【变式7-3】（2023·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且．（1）求抛物线的方程（2）已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．【变式7-4】（2023·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.考点8抛物线中多边形面积问题【例8】（2023·江西九江·高二九江一中校考期中）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线在点处的切线方程为.（1）求抛物线的方程；（2）设，为抛物线上两点，且，当点到直线的距离最大时，求的面积.【变式8-2】（2023·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期末）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.（1）求抛物线C的方程；（2）记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.【变式8-3】（2023·湖南·高二校联考期中）椭圆：的左、右焦点分别为，.过作直线交于，两点.过作垂直于直线的直线交于，两点.直线与相交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）求四边形面积的取值范围.【变式8-4】（2023·四川攀枝花·高二统考期末）已知抛物线：（）的焦点为F，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过原点垂直于的直线与抛物线的准线相交于点．设、的面积分别为、，求的最大值．1．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．2．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为18，到轴的距离为12，则（）A．6B．8C．10D．123．（2023·全国·校联考模拟预测）已知点为抛物线：上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（）A．4B．5C．7D．104．（2023·河南焦作·高二焦作市第一中学校考期末）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与拋物线准线相交于，若，则的值为（）A．B．1C．2D．35．（2023·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．（2023·吉林四平·高二统考期中）已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（）A．B．C．D．7．（2023·贵州贵阳·高三统考开学考试）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（）A．4B．C．8D．8．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（）A．1B．C．2D．9．（2023·陕西咸阳·高二普集高级中学校考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，直线与