专题02 空间向量的应用（13大考点知识串讲+热考题型+专题训练）

专题02空间向量的应用知识点1直线的方向向量与平面的法向量1、直线的方向向量的定义及表示（1）定义：若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。（2）空间直线的向量表示式：直线l的方向向量为a，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式．2、平面的法向量的定义及表示（1）定义：如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合（2）利用待定系数法求平面法向量的步骤=1\*GB3①设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)=2\*GB3②选向量：在平面内选取两个不共线向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))=3\*GB3③列方程组：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，))列出方程组=4\*GB3④解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0.))=5\*GB3⑤赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)=6\*GB3⑥得结论：得到平面的一个法向量知识点2空间中直线、平面的平行1、线线平行的向量表示：若分别为直线的方向向量，则使得.2、线面平行的向量表示法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则.法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则.法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则.3、面面平行的向量表示设分别是平面的法向量，则，使得.知识点3空间中直线、平面的垂直1、线线垂直的向量表示：若分别为直线的方向向量，则.2、线面垂直的向量表示：设直线的方向向量，是平面的法向量，法1：，使得.法2：在平面内取两个不共线向量，若.则.3、面面垂直的向量表示：设分别是平面的法向量，则.知识点4向量法求空间夹角1、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.2、直线与平面所成角（1）夹角定义：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.（2）利用空间向量求异面直线所成角的步骤：=1\*GB3①建立适当的空间直角坐标系，=2\*GB3②求出两条异面直线的方向向量的坐标，=3\*GB3③利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，=4\*GB3④结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。3、平面与平面的夹角（1）平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.（2）若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.知识点5向量法求空间距离1、点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－a·u2)(如图)．2、点到平面的距离已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）.3、线面距与面面距线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。（1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。（2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。考点1向量法解决线线平行问题【例1】（2023春·高二课时练习）已知直线的方向向量分别为和，若，则.【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：.【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：.考点2向量法解决线面平行问题【例2】（2022秋·福建泉州·高二校考期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（）A．，B．，C．，D．，【变式2-1】（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.求证：平面.【变式2-4】（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.求证：平面；考点3向量法解决面面平行问题【例3】（2023秋·高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（）A．－3B．－4C．3D．4【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.【变式3-4】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．考点4向量法解决线线垂直问题【例4】（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）（多选）在等腰梯形中，M，N分别是，的中点，沿将折起至，使平面平面（如图）.已知，下列四个结论正确的是（）A．B．C．D．【变式4-1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间四边形中，，．证明：．【变式4-2】（2023秋·高二课时练习）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：.【变式4-3】（2023秋·河南商丘·高二校考阶段练习）如图所示，已知是一个正方体，求证：．【变式4-4】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.证明：.考点5向量法解决线面垂直问题【例5】（2023秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．【变式5-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.求证：平面.【变式5-3】（2023秋·全国·高二随堂练习）在正四棱柱中，，，E在线段上，且.求证：平面DBE.【变式5-4】（2023·全国·高二专题练习）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．求证：平面.考点6向量法解决面面垂直问题【例6】（2023·河南三门峡·高二统考期末）已知平面、的法向量分别为、，若，则等于（）A．1B．2C．0D．3【变式6-1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点在上，．求证：平面平面.【变式6-2】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？【变式6-3】（2023秋·高二课时练习）如图，已知正三棱柱的各条棱长均为，点是棱的中点．求证：平面平面．【变式6-4】（2023·全国·高二专题练习）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.证明：平面平面.【变式6-5】（2023·全国·高二专题练习）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．求证：平面平面.考点7向量法求异面直线夹角【例7】（2023秋·江苏常州·高三校考开学考试）在空间直角坐标系中，已知异面直线，的方向向量分别为，，则，所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式7-1】（2023春·福建漳州·高二校考期中）如图，在正方体中，是底面正方形的中心，点为的中点，点在上，则直线与所成的角为（）A．B．C．D．【变式7-2】（2023·四川眉山·高三校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式7-3】（2023秋·河南商丘·高二校考阶段练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式7-4】（2023秋·吉林·高二校考阶段练习）若三棱锥中，，，，点E为BC中点，点F在棱AD上（包括端点），则异面直线AE与CF所成的角的余弦值的取值范围是．考点8向量法求直线与平面夹角【例8】（2023秋·河南驻马店·高二统考期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【变式8-1】（2023秋·河北沧州·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（）．A．B．C．D．【变式8-2】（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.

（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【变式8-3】（2023秋·宁夏·高二校考阶段练习）如图，长方体是的中点.（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值.【变式8-4】（2023秋·湖南常德·高三校考阶段练习）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，，，以为直径的圆经过点F．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．考点9向量法求平面与平面夹角【例9】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式9-1】（2023秋·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，则平面与平面所成的角为（）A．B．C．D．【变式9-2】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【变式9-3】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在四棱台中，四边形是正方形，是边上一点，平面平面．（1）求实数的值；（2）若，求二面角的余弦值．【变式9-4】（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段､的中点.（1）求证：平面；（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.考点10向量法求点到直线距离【例10】（2023秋·高二课时练习）已知直线过点，直线的一个方向向量为，则到直线的距离等于（）A．B．C．D．5【变式10-1】（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（）A．B．C．D．【变式10-2】（2023·山东·高二校考开学考试）在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（）A．3B．C．D．【变式10-3】（2023秋·河北邢台·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为.【变式10-4】（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为.考点11向量法求异面直线的距离【例11】（2023·全国·高二专题练习）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（）A．B．C．D．【变式11-1】（2023·全国·高二专题练习）（多选）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（）A．与垂直B．是异面直线与的公垂线段，C．异面直线与所成的角为D．异面直线与间的距离为【变式11-2】（2023·全国·高三专题练习）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为．【变式11-3】（2023秋·湖北武汉·高二校考阶段练习）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（）A．1B．C．D．【变式11-4】（2023·全国·高二专题练习）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求异面直线与之间的距离．考点12向量法求点到平面的距离【例12】（2023秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．【变式12-1】（2022秋·湖北黄冈·高二统考期中）已知正方形的边长为4，平面，，E是中点，F是靠近A的四等分点，则点B到平面的距离为（）A．B．C．D．【变式12-2】（2023秋·广东梅州·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则当取最小时，点的坐标是（）A．B．C．D．【变式12-3】（2023秋·广东梅州·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，．（1）求证：；（2）求点到平面的距离．【变式12-4】（2023秋·广西南宁·高二校考开学考试）如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.考点13向量法求其他空间距离【例13】（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（）．A．B．C．D．【变式13-1】（2023·全国·高二专题练习）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（）A．B．C．D．【变式13-2】（2022·全国·高二专题练习）设正方体的棱长为2，求：（1）求直线到平面的距离；（2）求平面与平面间的距离.【变式13-3】（2023·全国·高二专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．【变式13-4】（2022·高二单元测试）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．1．（2022秋·浙江绍兴·高二校考期中）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则直线与平面的位置关系是（）A．或B．C．与相交但不垂直D．2．（2023春·全国·高一专题练习）已知向量为平面α的一个法向量，为一条直线l的方向向量，则∥是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（2023·全国·高二专题练习）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，，则l1∥l2B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l⊥αC．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则α⊥βD．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α4．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（2023秋·河南商丘·高二校考阶段练习）如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（）A．1B．C．D．26．（2023秋·江西赣州·高三校考开学考试）棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（）A．B．1C．D．7．（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）（多选）已知，分别是正方体的棱和的中点，则（）A．与是异面直线B．与所成角的大小为C．与平面所成角的正弦值为