2024学年徐州市铜山区高二数学上学期第二次学情调研试卷及答案解析

学年徐州市铜山区高二数学上学期第二次学情调研试卷试卷满分：150分考试时长：120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．若数列为等差数列，且，则等于（

）A．5 B．4 C．3 D．22．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（）A．B．C． D．3．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（

）A． B． C．2 D．164．等比数列中，，则（

）A．4 B． C． D．5．已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．设数列an的前项和为，若，且，则（

）A． B． C． D．7．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面8．已知数列an满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）．9．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与均为的最大值 D．为的最小值10．已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（

）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是11．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（

）A．数列是等比数列B．数列的C．数列的前7项为负数D．数列最大项的值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知，则．13．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则.14．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知正方体（1）求出对角线AC1（2）求出平面的一个法向量．16．已知是等差数列的前n项和，且，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前100项和.17．已知数列满足：，.(1)若，求证：为等差数列.(2)求数列的前项和.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．(1)求证：平面PBC；（请用空间向量知识解题）(2)求证：平面BDE．（请用空间向量知识解题）19．已知数列满足，对任意正整数、都有.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和；(3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值.大许中学高二第一学期第二次学情调研数学试卷答案一、单选题1．若数列为等差数列，且，则等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.【详解】依题意，.故选：D2．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算可得解.【详解】如图所示，在三棱柱中，，，依题意，故选：A.3．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（

）A． B． C．2 D．16【答案】A【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解.【详解】由条件可知，，得.故选：A4．等比数列中，，则（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列通项公式求解即可.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以，所以.故选：B.5．已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律可得答案.【详解】∵与垂直，∴，∴，所以，因为，所以.故选：D.6．设数列的前项和为，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解.【详解】数列中，由，得，整理得，则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，于是，即，而满足上式，因此，，，ABD错误，C正确.故选：C7．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B8．已知数列满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，利用裂项求和法求得，根据单调性求得的取值范围.【详解】依题意，数列满足，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，由于是单调递增数列，而对于任意，不等式恒成立，所以实数的取值范围为故选：C二、多选题9．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与均为的最大值 D．为的最小值【答案】AC【分析】由已知可得公差，进而由与的关系可得，，根据等差数列的性质可得结论.【详解】因为，所以，故A正确；因为是等差数列且，所以公差，故B错误；因为，所以，又因为是等差数列且，所以与均为的最大值，故C正确，D错误.故选：AC.10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（

）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】AC【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．【详解】对于A：，与不是共线向量，故A错误；对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；对于C：，∴，故C错误；对于D：，设平面的法向量为，则，取，得，故D正确．故选：AC．11．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（

）A．数列是等比数列B．数列的C．数列的前7项为负数D．数列最大项的值为【答案】ABD【分析】利用等比数列的定义结合条件等式变形可判定A，从而求出通项公式判断BC，根据数列的单调性判断D.【详解】根据，可知是等比数列，首项为，公比为，故A正确；则有，所以，故B正确，C错误；不妨设最大项为，则，即，解之得，即最大项为，故D正确.故选：ABD三、填空题12．已知，则．【答案】【分析】根据空间向量的坐标运算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：.13．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则.【答案】0【分析】利用等比数列性质求得，然后由等差数列前项公式计算．【详解】因为公差，且成等比数列，所以，即，解得，所以．故答案为：014．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.【详解】，，与夹角的余弦值为，在上的投影向量为.故选：D．四、解答题15．已知正方体（1）求出对角线AC1（2）求出平面的一个法向量．16．已知是等差数列的前n项和，且，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前100项和.【答案】(1)(2)200【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）求出，利用分组求和公式得到答案.【详解】（1）设公差为d，结合题设有，解得，则故的通项公式为.（2），所以.17．已知数列满足：，.(1)若，求证：为等差数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）因为，所以，即，，又，所以是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）可得，则，所以，所以.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．(1)求证：平面PBC；(2)求证：平面BDE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证；（2）设平面BDE的法向量为，证明即得证.【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，因为，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因为，平面PBC．所以平面PBC．（2）证明：由（1）可得，，．设平面BDE的法向量为，则，即令，得，，则是平面BDE的一个法向量，因为，所以，因为平面BDE，所以平面BDE．19．已知数列满足，对任意正整数、都有.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和；(3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值.【答案】(1)(2).(3)【分析】（1）直接给赋值得到一个等比数