2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE6-第四章4.3请同学们仔细完成[练案8]A级基础巩固一、选择题1．函数y＝ex与y＝lnx的图像(D)A．关于原点对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称[解析]∵函数y＝ex与y＝lnx是互为反函数，∴其图像关于直线y＝x对称．2．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过(B)A．第一、二象限 B．其次、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限[解析]因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图像经过其次、三象限．3．函数y＝f(x)的图像过点(1,3)，则它的反函数的图像过点(D)A．(1,2) B．(2,1)C．(1,3) D．(3,1)[解析]∵互为反函数的图像关于直线y＝x对称，∴点(1,3)关于直线y＝x的对称点为(3,1)，故选D．4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(8)＝(A)A．3 B．eq\f(1,3)C．－3 D．－eq\f(1,3)[解析]由题意可知f(x)＝logax，f(2)＝loga2＝1，a＝2，即f(x)＝log2x，f(8)＝log28＝3．5．(多选题)函数y＝2|x|在下面的区间上，不存在反函数的是(AC)A．[－1,1] B．(－∞，0]C．[－2,4] D．[2,4][解析]函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数y＝2|x|在[－1,1]，[－2,4]上不单调．二、填空题6．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5,2)，则b＝__1__．[解析]由互为反函数的图像关于直线y＝x对称可知，点Q′(2,5)必在f(x)＝2x＋b的图像上，∴5＝22＋b，∴b＝1．7．函数f(x)＝eq\r(4－x)的反函数是__f－1(x)＝4－x2(x≥0)__．[解析]函数的值域为[0，＋∞)，令y＝eq\r(4－x)，将其中的x，y对调得x＝eq\r(4－y)，解得y＝4－x2，所以反函数f－1(x)＝4－x2(x≥0)．8．若函数y＝f(x)的反函数是y＝－eq\r(2－x2)(－1≤x≤0)，则原函数的定义域是__[－eq\r(2)，－1]__，f(－1)＝__－1__．[解析]因为原函数的定义域为反函数的值域，又－1≤x≤0，所以1≤2－x2≤2，即y∈[－eq\r(2)，－1]．令－eq\r(2－x2)＝－1，解得x＝±1，因为原函数的定义域为[－eq\r(2)，－1]，所以x＝－1．三、解答题9．已知y＝eq\f(1,2)x＋a与y＝3－bx互为 反函数，求a、b的值．[解析]由y＝eq\f(1,2)x＋a，得x＝2y－2a，∴y＝2x－2A．即函数y＝eq\f(1,2)x＋a的反函数为y＝2x－2a，由已知得函数y＝2x－2a与函数y＝3－bx为同一函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝2,－2a＝3))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2),b＝－2))．10．求下列函数的反函数．(1)f(x)＝eq\f(1,2x＋1)；(2)f(x)＝1－eq\r(1－x2)(－1≤x＜0)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－10≤x≤1,x2－1≤x＜0))．[解析](1)设y＝f(x)＝eq\f(1,2x＋1)．∵x≠－eq\f(1,2)，∴y≠0．由y＝eq\f(1,2x＋1)，解得x＝eq\f(1－y,2y)．∴f－1(x)＝eq\f(1－x,2x)(x≠0)．(2)设y＝f(x)＝1－eq\r(1－x2)．∵－1≤x＜0，∴0＜y≤1．由y＝1－eq\r(1－x2)，解得x＝－eq\r(2y－y2)．∴f－1(x)＝－eq\r(2x－x2)(0＜x≤1)．(3)设y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－10≤x≤1,x2－1≤x＜0))，当0≤x≤1时，－1≤y≤0，由y＝x2－1，得x＝eq\r(1＋y)；当－1≤x＜0时，0＜y≤1，由y＝x2，得x＝－eq\r(y)．∴f－1(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(1＋x)－1≤x≤0,－\r(x)0＜x≤1))．B级素养提升一、选择题1．若f(lnx＋1)＝x，则f(5)＝(C)A．log5e B．ln4C．e4 D．4e[解析]解法一：令lnx＋1＝t，则x＝et－1，∴f(t)＝et－1，∴f(5)＝e5－1＝e4．解法二：令lnx＋1＝5，则lnx＝4，∴x＝e4，∴f(5)＝e4．2．若函数y＝eq\f(ax,1＋x)的图像关于直线y＝x对称，则a的值为(B)A．1 B．－1C．±1 D．随意实数[解析]因为函数图像本身关于直线y＝x对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，eq\f(a,2))与(eq\f(a,2)，1)均在原函数图像上，故可得a＝－1．3．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(C)A．－e B．－eq\f(1,e)C．eq\f(1,e) D．e[解析]∵函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，∴f(x)＝lnx，又∵函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称，∴g(x)＝－lnx，∴g(a)＝－lna＝1，∴lna＝－1，∴a＝eq\f(1,e)．4．函数y＝10x2－1(0＜x≤1)的反函数是(D)A．y＝－eq\r(1＋lgx)(x＞eq\f(1,10)) B．y＝eq\r(1＋lgx)(x＞eq\f(1,10))C．y＝－eq\r(1＋lgx)(eq\f(1,10)＜x≤1) D．y＝eq\r(1＋lgx)(eq\f(1,10)＜x≤1)[解析]由y＝10x2－1(0＜x≤1)，得x2－1＝lgy，即x＝eq\r(lgy＋1)．又∵0＜x≤1，即－1＜x2－1≤0，∴eq\f(1,10)＜10x2－1≤1，即原函数的值域为(eq\f(1,10)，1]．∴原函数的反函数为y＝eq\r(lgx＋1)(eq\f(1,10)＜x≤1)．二、填空题5．若点(1,2)既在y＝eq\r(ax＋b)的图像上，又在其反函数的图像上，则a＝__－3__，b＝__7__．[解析]由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y＝eq\r(ax＋b)的图像上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\r(a＋b),1＝\r(2a＋b)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝7))．6．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝__2__．[解析]令g(x)＝1，则2lgx＝0，∴x＝1．∵f(x)与g(x)互为反函数，∴f(1)＝1，g(1)＝1＋2lg1＝1，∴f(1)＋g(1)＝2．7．设a＞0且a≠1，若函数f(x)＝ax－1＋2的反函数的图像经过定点P，则点P的坐标是__(3,1)__．[解析]因为函数f(x)＝ax－1＋2经过定点(1,3)，所以函数f(x)的反函数的图像经过定点P(3,1)．三、解答题8．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)推断f－1(x)的单调性．[解析](1)要使函数f(x)有意义，需满意2－x＞0，即x＜2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R．(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即x＝2－ay．∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，∵a＞1，x1＜x2，∴ax1＜ax2即ax1－ax2＜0，∴f－1(x2)＜f－1(x1)，∴y＝f－1(x)在R上是减函数．9．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)探讨f(x)的单调性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．[解析](1)要使函数有意义，必需ax－1＞0，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．∴当a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a＞1时，设0＜x1＜x2，则1＜ax1＜ax2，故0＜ax1－1＜ax2－1，∴loga(ax1－1)＜loga(ax2－1)，∴f(