2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3第1课时充分条件与必要条件课时分层作业含解析新人教B版必修第一册

PAGE1-课时分层作业(八)充分条件与必要条件(建议用时：40分钟)一、选择题1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a＞b B．a＞b－1C．a＞b＋1 D．a2＞b2C[a＞b＋1＞b，反之不成立，所以选C.]2．a<0，b<0的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0C．eq\f(a,b)>1 D．eq\f(a,b)＜－1A[a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.故选A.]3．设a，b∈R，则“a＋b＞4”是“a＞2且b＞2”的()A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若a＞2，b＞2，则a＋b＞4，但当a＝4,b＝1时也有a＋b＞4，故选B.]4．下列命题中q是p的必要条件的是()A．p：A∩B＝A，q：A⊆BB．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1C．p：|x|＜1，q：x＜0D．p：x2＞2，q：x＞2A[由A∩B＝A能得出A⊆B，其余选项都不符合要求．故选A.]5．设x∈R，则“x>eq\f(1,2)”是“x＜－1或x＞eq\f(1,2)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[“x＞eq\f(1,2)”是“x＜－1或x＞eq\f(1,2)”的充分不必要条件．故选A.]二、填空题6．设a∈R，则“a<1”是“a2<1”必要[由“a<1”推不出“a2<1”，而由“a2<1”能推出“a<1”，故“a<1”是“a2<7．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”或“必要”)必要[因为NM，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．]8．已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．(－∞，1][p：x＞1，若p是q的充分条件，则p⊆q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.]三、解答题9.指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(2)p：a<b，q：eq\f(a,b)<1.[解](1)若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不肯定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；(2)若a<b<0，则推不出eq\f(a,b)<1，反之若eq\f(a,b)<1，当b<0时，也推不出a<b，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．10．已知命题p：实数x满意－a＜x＜3a(其中a＞0)，命题q：实数x满意1＜x(1)若a＝1，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[解]记命题p：x∈A，命题q：x∈B，(1)当a＝1时，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|1＜x＜4}，∵p与q均为真命题，则x∈A∩B，∴x的取值范围是(1，3).(2)A＝{x|－a＜x＜3a}，B＝{x|1＜x＜4}∵p是q的必要不充分条件，∴集合B⊆A，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a≤1，,3a≥4，))解得a≥eq\f(4,3)，综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).11．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1B[对于选项A，当x＝1，y＝1时，满意x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满意x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．故选B.]12.命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5C[命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.]13．命题p：x＞a，命题q：－2＜x≤1，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的最大值是________．－2[命题p：x＞a，命题q：－2＜x≤1，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是a≤－2.故a的最大值是－2.]14．已知命题p：1－c＜x＜1＋c(c＞0)，命题q：x＞7或x＜－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．(0，＋∞)[命题p对应的集合A＝{x|1－c＜x＜1＋c，c＞0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x＞7或x＜－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以A∩B＝或A不是B的子集且B不是A的子集，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－c≥－1，,1＋c≤7))①或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋c≥－1，,1－c≤7，))②解①得c≤2，解②得c≥－2.又c＞0，综上得c＞0.]15．推断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B.[解](1)因为a，b∈R，a＋b＞0，所以a，b至少有