2024-2025学年高考数学考点第五章三角函数解三角形三角函数的图象与性质理

PAGEPAGE1三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无概念方法微思索1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．1．（2024•新课标Ⅱ）若，是函数两个相邻的极值点，则A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】，是函数两个相邻的极值点，，故选．2．（2024•新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间，单调递增的是A． B． C． D．【答案】A【解析】不是周期函数，可解除选项；的周期为，可解除选项；在处取得最大值，不行能在区间，单调递增，可解除．故选．3．（2024•新课标Ⅲ）设函数，已知在，有且仅有5个零点．下述四个结论：①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个微小值点③在单调递增④的取值范围是，其中全部正确结论的编号是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】当，时，，，在，有且仅有5个零点，，，故④正确，因此由选项可知只需推断③是否正确即可得到答案，下面推断③是否正确，当时，，，若在单调递增，则，即，，故③正确．故选．4．（2024•新课标Ⅲ）函数的最小正周期为A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的最小正周期为，故选．5．（2024•新课标Ⅰ）已知函数，则A．的最小正周期为，最大值为3 B．的最小正周期为，最大值为4 C．的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为4【答案】B【解析】函数，故函数的最小正周期为，函数的最大值为，故选．6．（2024•天津）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由的最小正周期大于，得，又，，得，，则，即．，由，得．，．取，得．，．故选．7．（2024•新课标Ⅱ）函数的最小正周期为A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的最小正周期为：．故选．8．（2024•新课标Ⅲ）函数的最大值为A． B．1 C． D．【答案】A【解析】函数．故选．9．（2024•新课标Ⅲ）设函数，则下列结论错误的是A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在，单调递减【答案】D【解析】．函数的周期为，当时，周期，故正确，．当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故正确，当时，，则的一个零点为，故正确，．当时，，此时函数不是单调函数，故错误，故选．10．（2024•山东）函数的最小正周期为A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，，，故选．11．（2024•北京）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为__________．【答案】【解析】解法1:，其中，，所以最大值为，所以，即，所以，所以，时均满意题意，故可选时，．解法，，又函数的最大值为2，所以当且仅当，时函数取到最大值，此时，，则，于是，时均满意题意，故可选时，．故答案为：．12．（2024•上海）函数的最小正周期为__________．【答案】【解析】函数的最小正周期为，故答案为：．13．（2024•江苏）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是__________．【答案】【解析】因为函数的图象向右平移个单位长度可得，则的对称轴为，，即，，当时，，当时，，所以平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是，故答案为：，14．（2024•北京）函数的最小正周期是__________．【答案】【解析】，，的周期，故答案为：．15．（2024•北京）设函数，若对随意的实数都成立，则的最小值为__________．【答案】【解析】函数，若对随意的实数都成立，可得：，，解得，，则的最小值为：．故答案为：．16．（2024•江苏）已知函数的图象关于直线对称，则的值为__________．【答案】【解析】的图象关于直线对称，，，即，，当时，，故答案为：．17．（2024•新课标Ⅱ）函数的最大值是__________．【答案】1【解析】，令且，，则，当时，，即的最大值为1，故答案为：118．（2024•新课标Ⅱ）函数的最大值为__________．【答案】【解析】函数，其中，可知函数的最大值为：．故答案为：．19．（2024•上海）已知函数，．（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域．【解析】（1）由于的周期是，所以，所以．令，故或，整理得或．故解集为或，．（2）由于，所以．所以．由于，，所以．，故，故．所以函数的值域为．20．（2024•全国）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求在区间，的最大值与最小值．【解析】．（1）的最小正周期；（2），，，，．即在区间，的最大值为，最小值为．1．（2024•东湖区校级模拟）若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】把函数，依据所得图象的一条对称轴方程是，可得：，，可得：，由于：，故的最小值为．故选．2．（2024•镜湖区校级模拟）函数的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为①的最小正周期为2；②图象的一条对称轴为直线；③在上是减函数；④的最大值为．A．①④ B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【解析】由函数的部分图象如图所示，可得，①正确；由图知，左侧第一个零点为：，所以对称轴为：，所以不是对称轴，②不正确；在，，上是减函数；③正确；因为正负不定，的最大值为．所以④不正确综上可得：①③正确．故选．3．（2024•二模拟）设函数，已知在，上单调递增，则的取值可以是A．1 B． C． D．【答案】D【解析】在，上，，，函数在，上单调递增，，且，求得，故选．4．（2024•天津二模）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】时，可得：，．要是函数有且只有两个零点，则，解得：．故选．5．（2024•香坊区校级一模）已知函数的最小正周期为，函数图象关于直线对称，且满意函数在区间上单调递增，则A． B． C． D．【答案】D【解析】依据题意，函数的最小正周期为，即，则，则，函数图象关于直线对称，且满意函数在区间上单调递增，则函数在时取得最大值，则有，变形可得：，又由，即，则，故选．6．（2024•新华区校级模拟）函数在区间上单调，且恒成立，则此函数图象与轴交点的纵坐标为A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，，即，，即．因为时，取得最大值，所以，即，，，即，，故选．7．（2024•松原模拟）已知函数，则下列结论错误的是A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，则得函数的图象D．函数在区间上单调递减【答案】D【解析】对于函数，令，可得，故函数的图象关于点对称，故正确；令，可得，是最小值，故函数的图象关于直线对称，故正确；将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选项正确；在区间上，，，没有单调性，故错误，故选．8．（2024•二模拟）已知函数的最小正周期为2，则的值为A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为2，则，解得；所以．故选．9．（2024•黄州区校级二模）若函数，则A．（1）（3）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（1）（3） D．（3）（2）（1）【答案】B【解析】对于函数，（1），（2），（3），，（1）；，（2）；，（1），故有（1）（2）（3），故选．10．（2024•碑林区校级模拟）关于函数有下列四个结论：①是奇函数；②是周期函数；③，；④在区间内单调递增．其中全部正确结论的序号是A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【解析】函数，函数的定义域为，，所以函数为奇函数．故①正确．，所以函数的最小值正周期为，故函数为周期函数，故②正确．当时，，，不对；故③错误；由在单调递增，而在单调递减，可知在单调递增，函数在单调递增，依据①可知是奇函数，在区间，单调递增，则在区间内单调递增；故④正确；故选．11．（2024•全国I卷模拟）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若在，上是增函数，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】直线与函数图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则，所以，所以，由，解得，；所以函数在，上是单调增函数；又在上是单调增函数，即，，，解得；所以的取值范围是，．故选．12．（2024•泸州二模）下列不等式成立的是A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，而函数在区间，上是增函数，故有，故解除．由于，而函数在区间，上是增函数，故有，故解除．由于，，而函数在区间0，，上是增函数，故有，即，故解除．由于，，且函数在区间上是减函数，故，即，故正确，故选．13．（2013•资阳二模）下列不等式成立的是A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，函数在0，上是增函数，故有，即，故解除．由于函数在，上是增函数，，，故解除．由于函数在上是增函数，，故解除．由于，，函数在上是减函数，，即，故正确，故选．14．（2013•新津县校级一模）函数的最小正周期为A． B． C． D．【答案】B【解析】由正切函数的周期公式得：．故选．15．（2024•辽宁模拟）函数图象的对称中心坐标为A．， B．， C． D．【答案】【解析】由于D函数的对称中心为，令，解得，故函数的对称中心为，故选．16．（2013•宝鸡二模）已知正切函数的图象关于点对称，则A．或0 B．1或0 C．或0或1 D．1或【答案】C【解析】正切函数的图象关于点对称，是正切函数的图象的对称中心，，．故，0或1，故选．17．（2024•靖远县四模）已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值是A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，可得，则，即，因为，所以．故选．18．（2024•河南模拟）函数的图象的一条对称轴方程为A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，则，所以其图象的对称轴方程为，解得，当时，．故选．19．（2024•河南模拟）已知函数图象的一条对称轴是，且在上是单调函数，则的最大值为A．5 B．6 C．10 D．12【答案】D【解析】函数图象的一条对称轴是，，即，．且在上是单调函数，明显对称轴在此区间的左侧．，，两边同时乘以，可得①，且②，再把①②这2个式子相加，可得，，即得最大值为12，故选．20．（2024•重庆模拟）函数的图象A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称【答案】B【解析】对于函数，令，可得，故它的图象关于点对称，故选．21．（2024•乐山模拟）已知点在函数且，的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴．若在区间内单调，则A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，得，得，又因为在区间内单调，所以，得，得．所以．又因为，所以或3．当时，，得，又，所以，此时直线是函数的图象的一条对称轴，且在区间内单调．所以．当时，，得，又，所以，此时，所以直线不是函数的图象的一条对称轴．所以，，故选．22．（2024•朝阳区二模）已知函数，则下列四个结论中正确的是A．函数的图象关于，中心对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间内有4个零点 D．函数在区间，上单调递增【答案】C【解析】对于函数，令，求得，故函数的图象不关于，中心对称，故解除；令，求得，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故解除；在区间上，，，当，，0，时，，故函数在区间内有4个零点，故正确；在区间，上，，，没有单调性，故错误，故选．23．（2024•广西二模）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数的图象A．关于点，对称 B．关于点，对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】B【解析】相邻两条对称轴之间的距离等于，，，，．令，；即对称轴为：，；故均错误；令，；即对称中心为：，，；即错，对；故选．24．（2024•商洛模拟）若函数在，上的最小值小于零，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】，，，，设，则，，作出函数的图象如图，由得，则或，则当时的，第一个零点为，即当时，，要使在，上的最小值小于0，则只须要，即可，得，得，的取值范围为，．故选．25．（2024•广州一模）设函数，若对于随意的都有成立，则的最小值为A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，若对于随意的，都有，是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期，；故选．26．（2024•西湖区校级模拟）函数的值域是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由余弦函数的单调性，函数在，上是增，在上减，故其最大值在处取到为1最小值在处取到为0，故其值域是，；故选．27．（2024•广西一模）已知函数的一个零点是，则当取最小值时，函数的一个单调递减区间是A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】的一个零点是，由得，得，即或，，，的最小值为，此时，由，，得，，当时，的一个单调递减函数区间为，，故选．28．（2024•咸阳一模）函数的单调递增区间是A． B． C． D．【答案】C【解析】解得，，函数的单调递增区间是．故选．29．（2024•新疆一模）函数在区间单调递减，在区间有零点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，得，，即函数的单调递减区间为，，，在区间单调递减，且，，即，得，，即，，，当时，，由得，在区间有零点，满意，当时，，得，综上，故选．二、填空题30．（2024•道里区校级一模）若，是函数两个相邻的零点，则__________．【答案】2【解析】因为，是函数两个相邻的零点，所以，解得．故答案为：2．31．（2024•西湖区校级模拟）函数的最小正周期是，则2，该函数的单调递增区间为__________．【答案】2；，，【解析】函数的最小正周期是，则，令，求得，故函数的增区间为，，，故答案为：2；，，．