天津市河西区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

天津市河西区2023-024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知⊙O的直径为15cm，若直线l与⊙O只有一个交点，那么圆心OA．7cm B．7.5cm C．2．2sinA．12 B．22 C．323．下列是与中国航天事业相关的图标，可以看作是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（）A．12 B．1 C．33 5．如图，在△ABC中，若∠C=90°，则有（）A．tanA=ab B．sinA=bc6．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的度数为（）A．43° B．35° C．34° D．44°7．一元二次方程4xA．54，14 B．−54，14 C．45，8．抛物线y=x2−2x−3A．(3，0)和(−1C．(2，0)和(−49．一个扇形的半径为24cm，面积是240πA．300° B．240° C．180° D．150°10．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A．CB=CD B．∠ABC=∠ADC C．AB∥CD D．DE+DC=BC11．如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C'，连接B'C并延长交AB于点A．233π B．433π12．如图所示，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为100，小正方形面积为4，则图中∠θ的正切值为（）A．45 B．35 C．43二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．将点P(2，6)绕原点顺时针旋转180°14．不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．15．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=3，AC=3，则∠A的度数为16．若抛物线y=x2−6x+k与x轴没有交点，则实数k17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为AB边的中点，连接EF，则EF的长为．18．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，线段AB的端点A，B均落在格点上．⑴线段AB的长等于；⑵经过点A，B的圆交网格线于点C，在AB上有一点E，满足CE=AB，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解方程x220．学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有5、7、9三张扑克牌，学生乙手中有6、8、10三张扑克牌，每人从手中取出一张牌进行比较，数字小的为本局获胜．（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，请列举出所有情况；（2）求学生乙本局获胜的概率．21．请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答：（1）在Rt△ABC中，若∠C=90°，若∠A=30°，AC=3，求AB（2）在△ABC中，AB=AC=9，BC=6，求∠C的正弦．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2取1.414．23．如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径长为22，BF=3，求BE24．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，动点P从点A出发，以1单位长度/秒的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．（1）当点P运动到AB的中点，求此时x的值和△APQ的面积；（2）①当0<x<2时，求y与x之间的函数关系式；②当2<x≤4时，求y与x之间的函数关系式；（3）求在运动过程中△APQ面积的最大值．（直接写出结果即可）25．已知抛物线y=(x−n)(x−m)，其中n（1）若n=−1，m=3，求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线的对称轴为x=2，且抛物线经过点(1，p)．请你用含m的式子表示（3）若n=1，点M(m，0)，抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=22，点H是EF的中点，当MH的最小值是

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵直线l与⊙O只有一个交点，

∴该直线为⊙O的切线，

∴交点与圆心的距离等于半径，即15÷2=7.5cm，

故答案为：B.

【分析】根据直线l与⊙O只有一个交点，可判定该直线为圆的切线，得到交点与圆心的距离等于半径，从而求解.2．【答案】D【解析】【解答】2sin60°=2×32=33．【答案】D【解析】【解答】A：不是中心对称图形，不符合题意；

B：不是中心对称图形，不符合题意；

C：不是中心对称图形，不符合题意；

D：是中心对称图形，符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用中心对称图形的定义进行逐一判断，即可求解.4．【答案】C【解析】【解答】过点O作OD⊥AB垂足为点D，如图，

∴AD=12AB=1,

由题意可得∠OAD=30°，

∴OD=tan30°·AD=33×1=35．【答案】A【解析】【解答】由图可得A：tanA=ab，故该选项正确，符合题意；

B：sinA=ac，故该选项错误，不符合题意；

C：cosA=bc6．【答案】B【解析】【解答】∵∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角，

∴∠D=∠A，

∵∠A=42°，

∴∠D=42°，

∵∠APD=77°，

∴∠B=∠APD-∠D=77°-42°=35°，

故答案为：B.

【分析】先根据同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，再利用三角形的外角性质进行求解即可.7．【答案】A【解析】【解答】由4x2=5x−1可得4x2-5x+1=0，

∴两根之和为--54=58．【答案】A【解析】【解答】令y=0得x2−2x−3=0

即（x-3）（x+1）=0，

解得，x1=3，或x2=-1，

∴与x轴的两个交点分别为(3，0)和9．【答案】D【解析】【解答】由扇形面积公式可得：240π=nπ×242360°，

解得n=150°，10．【答案】C【解析】【解答】∵△DEC由△ABC绕点C逆时针旋转而得，

∴△DEC≅△ABC

∴CB=CE，故A错误，不符合题意；

∴∠ABC=∠DEC，故B错误，不符合题意；

∴CA=CD，∠BAC=∠EDC=120°,

∴∠ADC=60°,

∴△ADC是等边三角形，

∴∠CAD=60°，

∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-60°=60°，

∴∠ADC=∠BAD=60°,

∴AB∥CD，故C正确，符合题意；

∴BC=CE，

∵DE+DC>CE，

∴DE+DC>BC，故D错误，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用旋转的性质得到△DEC≅△ABC，根据三角形全等的性质得到：CB=CE，故A错误，不符合题意；∠ABC=∠DEC，故B错误，不符合题意；结合已知条件证明△ADC是等边三角形，得到∠ADC=∠BAD=60°,故C正确，符合题意；根据BC=CE，DE+DC>CE，判断D错误，不符合题意；从而求解.11．【答案】B【解析】【解答】∵CA=CB=4，B'D⊥AB，

∴AD=BD=12AB,

∵△AB'C'由△ABC旋转而得，

∴AB'=AB,

∴AD=12AB',

即sin∠AB'D=12,

∴∠AB'D=30°,

∴∠B'AD=60°,12．【答案】C【解析】【解答】如图，

∵大正方形面积为100，小正方形面积为4，

∴AB=10，CD=2，

由图可得AC=BD，

∴在Rt△ADB中，

AD2+BD2=AB2,即（AC+2）2+BD213．【答案】(【解析】【解答】由题意可得点P(2，6)绕原点顺时针旋转180°后的点的坐标为(−2，14．【答案】7【解析】【解答】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，∴摸出一个球是绿球的概率是79故答案为：79

【分析】利用概率公式求解即可。15．【答案】30°【解析】【解答】如图，

在Rt△ABC中，

tanA=BCAC=33,

∴∠A=30°，16．【答案】10（答案不唯一）【解析】【解答】∵抛物线y=x2−6x+k与x轴没有交点，

∴∆=（-6）2-4×1×k<0,

解得k>9，

∴实数17．【答案】2−【解析】【解答】如图，延长FE交CD于点H，连接EC，

∵点E是两弧的交点，点F为AB边的中点，

∴EF∥AD,

∵C是圆心，E在弧上，

∴CE=CB=2，

在Rt△EHC中，

EH=CE2-CH2=22-118．【答案】17；如图，取AB与网格线交点为P；连接CP并延长交网格线与点D，连接BD，与⊙O相交于点E．点E即为所求．【解析】【解答】（1）由题意得：AB=42+12=19．【答案】解：x2−6x+9=25-20x+4x2，

3x2【解析】【分析】先对方程进行整理，再利用因式分解进行求解即可.20．【答案】（1）画树状图如下：

总共有9种等可能的结果数，分别为：（5，6），（5，8），（5，10），（7，6），（7，8），（7，10），（9，6），（9，8），（9，10）；（2）学生乙本局获胜的结果数为3，所以获胜的概率为3【解析】【分析】（1）先画出树状图，根据树状图即可求解；

（2）根据树状图得到总共有9种等可能的结果数，学生乙本局获胜的结果数为3，利用概率公式代入数据计算即可求解.21．【答案】（1）解：如图，

∵∠C=90°，∠A=30°，

∴cos30°=ACAB=32,

（2）解：如图，过点A作AH⊥BC垂足为H，

∵AB=AC，

∴CH=12BC=12【解析】【分析】(1)先根据题意画出图形，结合已知条件利用cos30°=ACAB代入数据即可求解；

22．【答案】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，在Rt△ACD中，tanA=tan45°=CDADsinA=sin45°=CDAC=22，AC=在Rt△BCD中，tanB=tan37°=CDBD≈0.75，BD=CDsinB=sin37°=CDBC≈0.60，CB=CD∵AD+BD=AB=63，∴CD+CD0.75解得CD≈27，AC=2CD≈1.414×27=38.178≈38.2，CB=CD0.60≈27答：AC的长约为38.2cm，CB的长约等于45.0m．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC=2CD，CB=CD0.6023．【答案】（1）解：连接OF，如图，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB,

∵OF=OC，

∴∠OFC=∠ACB,

∴∠ABC=∠OFC,

∴OF∥AB,

∵FG⊥AB，

∴FG⊥OF，

∵OF是⊙O的半径，

∴FG是⊙O的切线；（2）解：连接OE，如图，

∵AB是⊙O的切线，点E为切点，

∴OE⊥AB,

∵FG⊥AB，FG⊥OF，

∴四边形OFGE是矩形，

∴FG=OE=GE=22,

在Rt△GBF中，

BG=F【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的性质以及等量代换得到∠ABC=∠OFC,进而得到OF∥AB,结合已知条件，从而求解；

（2）利用切线的性质证明四边形OFGE是矩形，根据矩形的性质得到FG=OE=GE=2224．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=2，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2，∠CAB=60°，

∵点P是AB的中点，

∴BP=AP=1，

此时x=1，

∴AQ=1，

∴PA=QA=1，

∴△APQ是等边三角形，

∴（2）解：①当0<x<2时，过点Q作QH⊥AB于点H，如图，

根据题意可得PB=QA=x，

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=2，

∴AB=BD=AD=CD，∠D=∠B=60°，

∴△ABC与△ACD是等边三角形，

∴AC=AB=2，∠BAC=60°=∠ACD，

∵sin∠BAC=QHQA,

∴QH=QA·sin60°=32x，

∴S△APQ=y=12（2-x）×32x，

整理得：y=-（3）解：当0≤x≤2时，y=-34（x-1）2+34，

∴当x=1时，ymax=34；【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AB=BC=2，结合已知证明△ABC是等边三角形，进一步可得AC=AB=2，∠CAB=60°，证明△APQ是等边三角形，从而求解；

（2）①利用锐角三角函数求出QH的长，根据三角形面积公式代入数据即可求解；②利用锐角三角函数求出QN的长，根据三角形面积公式代入数据即可求解；

（3）利用二次函数的性质即可求解.25．【答案】（1）解：∵n=