安徽省淮北市“五校联考”2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案）

九年级数学（沪科版）卷三注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列三角函数的值等于的是（）A．cos30° B．tan30° C．cos45° D．sin30°2．如图，直线，AB＝3，BC＝2，CD＝1，则下列式子中不成立的是（）第2题图A．EC:CG＝5:1 B．EF:FG＝1:1 C．EF:FC＝3:2 D．EF:EG＝3:53．在菱形ABCD中，若对角线AC＝10，BD＝6，则的值为（）A． B． C． D．4．如图，，则下列结论中正确的有（）①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE．第4题图A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．若函数和函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则坐标系的横轴可以是（）第5题图A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称P为“同号点”．下列函数的图像中，不存在“同号点”的是（）A．y＝－x＋1 B． C． D．7．已知点，都在二次函数的图像上，若，则m的取值范围为（）A． B． C． D．8．如图，点A为边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，若用线段比表示的值，则下列选项中错误的是（）第8题图A． B． C． D．9．已知点和在反比例函数的图像上，若，则（）A． B．C． D．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A－C－D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A－B－C－D的方向运动，当其中一点到达点D时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（），则下列图中能大致反映y与x之间函数关系的是（）第10题图A． B．C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数和的图像分别经过□ABCD的两个顶点A，B，□ABCD的另外两个顶点C，D均在x轴的正半轴上，若□ABCD的面积等于9，则k的值为______．第11题图12．如图，在△ABC中，E是线段AC上一点，AE:CE＝1:2，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，若△ABE的面积等于4，则△BCD的面积等于______．第12题图13．如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为______．14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，连接AB．已知抛物线．第14题图（1）当抛物线同时经过A，B两点时，h的值为______；（2）若抛物线与线段AB有公共点，则h的取值范围是______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：．16．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2），过点C作CD⊥x轴，垂足为点D．求证：∠ABC＝∠ACD．第16题图四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，O是坐标原点，点B，C的坐标分别为（3，－1），（2，1）．第17题图（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形．（2）分别写出点B，C的对应点，的坐标．（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M的对应点的坐标．18．如图，在□ABCD中，AB＝5，BC＝8，AE⊥BC于点E，，求的值．第18题图五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，直线y＝－x＋4与坐标轴交于A，B两点，点M（2，m）在直线AB上，点N与点M关于y轴对称．第19题图（1）若点N在反比例函数的图像上，求k的值．（2）若线段MN被反比例函数的图像分成两部分，且这两部分长度的比为1:3，求k的值．20．某中学创客拓展小组研制的智能操作机器人如图1所示，水平操作台为l，底座AB固定且AB⊥l，其高度为50cm，连杆BC为70cm，手臂CD为60cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC和手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2所示，求手臂端点D离水平操作台L的高度DE的长（结果精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）．（2）物品在水平操作台L上距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC和手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？如果能，请说明理由．第20题图1第20题图2六、（本题满分12分）21．在一次数学实践课上，老师出了这样一道题：如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是a，b，c，请用a，c，∠B表示．（1）甲同学认为要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以过点A作AD⊥BC于点D，如图2所示；乙同学认为要想得到，便要利用Rt△ABD或Rt△ACD；丙同学认为要先求出AD＝______，BD＝______（用含c，∠B的三角函数表示）；丁同学顺着他们的思路，求出______（提示：）．（2）请利用丁同学的结论解决下面的问题：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠A＜90°，AB＝5，AD＝4，．求四边形ABCD的面积．第21题图1第21题图2第21题图3七、（本题满分12分）22．如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EFD＝90°，△DEF的顶点与△ABC的斜边AB的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段AC与线段EF相交于点Q，射线ED与射线BC相交于点P．第22题图（1）求证：△AEQ∽△BPE．（2）求证：PE平分∠BPQ．（3）当AQ＝2，，求PQ的长．八、（本题满分14分）23．已知点P（m，n）是抛物线上的一个动点，点A的坐标为（0，－3）．【特例探究】（1）如图1，直线l过点Q（0，－1）且平行于x轴，过点P作PB⊥l，垂足为点B，连接PA．①当m＝0时，PA＝______，PB＝______；②当m＝2时，PA＝______，PB＝______．【猜想验证】（2）对于m取任意一实数，猜想PA与PB的大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】（3）请利用（2）的结论解决下面的问题：如图2，点C的坐标为（2，－5），连接PC，问PA＋PC是否存在最小值？如果存在，请说明理由，并求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第23题图1第23题图2

九年级数学（沪科版）卷三参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案ADBBCCBCDA10．A解析：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于点E，∴（cm），∴（），D不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4－2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴（cm），∴，B不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x－4）（cm），CP＝（x－2）（cm），∴PQ＝CQ－CP＝2x－4－x＋2＝（x－2）（cm），作AG⊥DC于点G，∴（cm），∴，C不正确．第10题图1第10题图2第10题图3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．13 12．24 13．或14．（1）（2）解析：（1）∵抛物线，∴对称轴为直线x＝h，当抛物线同时经过A，B两点时，抛物线的对称轴为直线，∴．（2）当抛物线经过点A时，则，解得或；当抛物线经过点B时，则，解得或．若抛物线与线段AB有公共点，则h的取值范围是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式．16．证明：∵A（3，0），B（0，4），C（4，2），CD⊥x轴，∴OA＝3，OB＝4，AD＝4－3＝1，CD＝2，∴，，，∴，，，在△ABC和△ACD中，，∴△ABC∽△ACD，∴∠ABC＝∠ACD．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．解：（1）如图（2），（3）第17题图18．解：在△ABE中，AE⊥BC，AB＝5，，∴BE＝3，AE＝4，∴EC＝BC－BE＝8－3＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，∴CD＝EC，∴△CED为等腰三角形，∴∠CDE＝∠CED，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠ADE，在Rt△ADE中，AE＝4，AD＝BC＝8，，∴．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．解：（1）∵点M（2，m）在直线y＝－x＋4上，∴m＝－2＋4＝2，∴点M（2，2），N（－2，2），∵点N（－2，2）在反比例函数的图像上，∴，解得k＝－4．（2）∵点M（2，2），N（－2，2），∴MN＝4，设线段MN与反比例函数的图像交于点C，第19题图1第19题图2①如图1，当NC:MC＝1:3时，NC＝1，∴点C（－1，2），∴k＝－1×2＝－2；②如图2，当MC:NC＝1:3时，CM＝1，∴点C（1，2），∴k＝1×2＝2；故k的值为－2或2．20．解：（1）如图1，过点C作CP⊥AE，垂足为点P，过点B作BQ⊥CP，垂足为点Q，∵BA⊥AM，∴四边形ABQP是矩形，∴∠ABQ＝90°，PQ＝AB＝50cm，∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝∠ABC－∠ABQ＝53°，在Rt△BCQ中，BC＝70，∴（cm），∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ＋QP＝56＋50＝106（cm），∴手臂端点D离水平操作台l的高度DE为106cm．（2）能，理由：如图2，当B，C，D共线时，手臂端点D能碰到最远的距离，在Rt△ABD中，AB＝50cm，BD＝BC＋CD＝70＋60＝130cm，∴（cm）∵AM＝110cm，∴120cm＞110cm，∴手臂端点D能碰到点M．第20题图1第20题图2六、（本题满分12分）21．（1），，（2）如图，延长DC，AB交于点E，∵AB＝5，AD＝4，，∴由（1）中结论可知，解得，∴∠A＝60°，∵∠ADC＝90°，∴∠E＝30°，∵AD＝4，∴AE＝8，BE＝3，根据，，得，，∴四边形ABCD的面积．第21题图七、（本题满分12分）22．（1）证明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝∠DEF＝45°，而∠PEB＋∠AEQ＝∠PEB＋∠BPE＝180°－45°＝135°，∴∠AEQ＝∠BPE，∴△AEQ∽△BPE．（2）证明：∵△AEQ∽△BPE，，∵AE＝BE，∴，∵∠A＝∠DEF＝45°，∴△AEQ∽△EPQ，∴∠AEQ＝∠EPQ，∵∠AEQ＝∠BPE，∴∠EPQ＝∠BPE，即PE平分∠BPQ．（3）解：如图，过点E作EH⊥BP于点H，第22题图由题意可知，AQ＝2，，∠ACB＝90°，∴由勾股定理易得