广州大学版高数课件高数

广州大学版高等数学课件本课程旨在帮助学生掌握高等数学的基本理论和方法，培养数学思维能力和解决实际问题的能力。课程内容涵盖微积分、线性代数、概率论与数理统计等，并结合实例讲解。课件大纲1第一章函数与极限函数的定义、图象、性质、运算，极限的概念和性质，无穷小和无穷大，连续性。2第二章导数与微分导数的概念和计算，导数的应用，微分的概念和应用，高阶导数。3第三章微积分基本定理不定积分和定积分的概念，微积分基本定理，牛顿-莱布尼茨公式。4第四章微分方程微分方程的概念，一阶微分方程和高阶微分方程的解法，应用问题。第一章函数与极限本部分探讨数学中的基本概念之一：函数。我们将深入研究函数的定义、性质和图象，并引出函数的极限，为后续的微积分学习奠定基础。函数的定义和图象定义函数是指自变量的变化而引起因变量的变化，这种变化的对应关系。例如，函数f(x)=x^2，当自变量x取值1、2、3时，因变量y分别取值1、4、9。图象函数的图象是指在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标，因变量为纵坐标，所有对应点连接而成的曲线。通过图象，我们可以直观地了解函数的变化趋势，例如，函数f(x)=x^2的图象是一个开口向上的抛物线。函数的性质单调性函数值随自变量的变化而增减，对应函数单调递增或递减。奇偶性函数关于原点对称或关于y轴对称，对应奇函数或偶函数。周期性函数在一定区间内重复出现相同的变化规律，对应周期函数。有界性函数的值在某个区间内存在上下界，对应有界函数。函数的运算加法两个函数的加法运算，对应自变量的函数值相加。减法两个函数的减法运算，对应自变量的函数值相减。乘法两个函数的乘法运算，对应自变量的函数值相乘。除法两个函数的除法运算，对应自变量的函数值相除。极限的概念函数值的逼近当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近某个定值，这个定值称为极限。极限的概念极限反映了函数在自变量趋于某个值时的变化趋势，是微积分的基础概念。极限的应用极限在数学分析、微积分、物理学等领域有着广泛应用，是理解连续性、导数、积分等概念的重要工具。极限的性质和的极限两个函数的和的极限等于它们各自极限的和。积的极限两个函数的积的极限等于它们各自极限的积。商的极限两个函数的商的极限等于它们各自极限的商，前提是分母的极限不为零。常数的极限常数函数的极限等于该常数本身。无穷小和无穷大11.无穷小当自变量趋近于某个值时，函数的值无限接近于零。22.无穷大当自变量趋近于某个值时，函数的值无限增大。33.重要性理解无穷小和无穷大的概念对于理解极限、连续性和微积分的基本定理至关重要。连续性函数的连续性函数在某一点连续意味着该点左右两侧的函数值趋于相同。直观地，函数图像在该点没有断裂。连续性的重要性连续性是微积分的基础概念之一，它保证了函数的许多性质，如可微性、可积性等。在应用领域，连续性也至关重要，例如在物理学、经济学和工程学等领域。第二章导数与微分导数和微分是微积分中的基本概念，它们与函数的变化率密切相关。导数是函数在某一点的变化率，可以用来描述函数的增长或下降速度。微分则是导数的增量，它可以用来近似地描述函数的改变量。导数的概念切线斜率导数定义为函数曲线在某一点的切线斜率。它表示函数在该点处的变化率。瞬时变化率导数也表示函数在某一点的瞬时变化率，反映了函数值随自变量的变化而变化的速度。数学定义导数的数学定义是极限，它描述了函数值在自变量变化趋近于零时的变化趋势。导数的计算求导公式基本函数的导数，例如常数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。导数法则和差法则、积法则、商法则和链式法则等，用于计算复合函数的导数。隐函数求导利用隐函数的定义，对隐函数两边求导，并解出导数。参数方程求导参数方程表示曲线，对参数方程分别对参数求导，然后求出曲线斜率的导数。导数的应用求函数的最值利用导数判断函数的单调性和极值，从而求得函数的最大值和最小值。求曲线的切线方程利用导数求出曲线在某一点处的切线斜率，再利用点斜式求出切线方程。解决实际问题导数可应用于解决经济学、物理学、工程学等领域的实际问题，如求最大利润、最短时间、最大速度等。微分的概念定义微分是函数在某一点的变化率的近似值。它表示函数在该点附近的变化量。公式微分的公式为dy=f'(x)dx，其中f'(x)是函数f(x)在点x处的导数，dx是自变量的增量。应用微分在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用，例如计算速度、加速度和体积等。微分的应用11.近似计算微分可以用来近似计算函数在某一点附近的函数值，例如用一阶微分来近似计算函数的增量。22.最值问题微分可以用来求解函数的极值点，即函数取得最大值或最小值的点，可以用来求解最优化问题。33.速度和加速度微分可以用来计算物体的速度和加速度，例如可以用导数来表示物体的瞬时速度和瞬时加速度。44.经济学微分在经济学中也有广泛的应用，例如用微分来分析成本、利润和边际收益等经济指标。高阶导数定义高阶导数是指对函数进行多次求导的结果。例如，二阶导数是对函数求导两次，三阶导数是对函数求导三次，以此类推。计算高阶导数的计算方法是依次对函数进行求导，直到得到所需的阶数的导数。应用高阶导数在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用。例如，在物理学中，二阶导数可以用来表示加速度，三阶导数可以用来表示加加速度。第三章微积分基本定理微积分基本定理是微积分学的重要定理之一，它建立了微分和积分之间的联系，是微积分学的一个重要理论基础。微积分基本定理可以用来计算函数的积分，并提供了微积分在许多应用领域中的重要工具。不定积分的概念逆运算不定积分是导数的逆运算，也被称为原函数。函数族不定积分的结果是一个函数族，而不是一个单一函数，因为导数相同的函数有无数个。积分常数不定积分中包含一个积分常数C，代表导数为0的所有常数函数。定积分的概念面积定积分是函数曲线与坐标轴之间的面积.分割将积分区间分成多个子区间，每个子区间对应一个矩形.求和将所有矩形的面积加起来，得到定积分的值.微积分基本定理11.积分与导数的关系微积分基本定理建立了积分与导数之间的桥梁，它们是互逆运算。22.计算定积分利用微积分基本定理，可以将定积分的计算转化为求原函数，简化计算过程。33.应用广泛微积分基本定理在许多领域都有应用，例如物理学、经济学、工程学等。牛顿-莱布尼茨公式积分和导数关系定积分和导数是微积分中的基本概念，牛顿-莱布尼茨公式揭示了它们之间的紧密联系。函数的积分公式表明定积分的值等于原函数在积分区间的两个端点处的值之差。计算方法该公式提供了一种计算定积分的便捷方法，避免了繁琐的求和运算。第四章微分方程微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了函数与其导数之间的关系。微分方程在物理学、化学、工程学、经济学等许多领域都有广泛的应用。微分方程的概念包含未知函数及其导数微分方程是数学方程式，涉及未知函数及其导数，例如y'和y''。描述物理现象它们常用于描述物理现象，例如运动、热量流动和电磁场。通过求解找到函数求解微分方程的目标是找到满足方程的函数，即找出该函数的显式或隐式表达式。一阶微分方程的解法1可分离变量法可分离变量法是最常用的解法之一，它将微分方程化为两个变量的积分。2积分因子法积分因子法是另一种常见的解法，它将微分方程化为一个精确微分的形式。3常数变易法常数变易法是一种特殊方法，适用于解决一阶线性非齐次微分方程。高阶微分方程的解法1降阶法将高阶微分方程转化为低阶微分方程2常数变易法将齐次方程的解代入非齐次方程3特征根法利用特征根求解线性常系数微分方程4拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程应用问题物理微分方程在描述物体运动、热传递和波传播等方面发挥重要作用。化学微分方程可用于模拟化学反应速率、物质浓度变化和反应平衡等。生物学微分方程有助于理解种群增长、传染病传播和生物代谢过程等