2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.2 解直角三角形(一)同步测控优化训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.2解直角三角形(一)同步测控优化训练(含答案)28.2解直角三角形（一）一、课前预习(5分钟训练)1.在△ABC中，∠C=90°，且已知b和∠B，下列求c的表达式正确的是()A.c=bcosBB.c=bsinBC.c=D.c=2.用计算器计算下列函数值:（1）sin25°=___________；(2)sin78°41′21″=___________；（3）cos25°=___________；(4)cos78°41′21″=___________；（5）tan28°=___________；(6)tan58°41′21″=___________.3.比较上题中（1）与(2)、（3）与（4）、（5）与（6）的值，你会发现锐角越大,正弦值______________、余弦值______________、正切值______________.二、课中强化(10分钟训练)1.若sinα＜cosα,则锐角α的取值范围是()A.α＜60°B.45°＜αC.α＜45°D.不能确定2.∠α,∠β为锐角,若∠α＞∠β，则sinα_____sinβ,cosα_____cosβ,tanα____tanβ.(填=、＞或＜＝)3.如图28-2-1-1，一条铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB＝________________m.图28-2-1-1图28-2-1-24.如图28-2-1-2，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如果已知∠A和c，写出求其他的边和角的式子；（2）如果已知a,b，写出求其他的边和角的式子；（3）如果已知b,∠A，写出求其他的边和角的式子；（4）如果已知a,∠A，写出求其他的边和角的式子.5.如图28-2-1-3，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=8°14′，已知观察所A的高AC=41.11米，求观察所A到船只B的水平距离BC.（精确到1米）图28-2-1-3三、课后巩固(30分钟训练)1.若锐角∠A>45°，cosA的值()A.cosA＜B.cosA＞C.cosA＜D.cosA＞2.若有意义，则锐角α的取值范围是()A.30°≤α<90°B.0°<α≤30°C.60°≤α<90°D.0°<α≤60°3.如图28-2-1-4，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=，则BC的长是________________.图28-2-1-44.如果∠A+∠B+∠C=180°,那么cos的值等于______________.5.在△ABC中,∠C=90°,a=,b=,求c，∠A.6.如图28-2-1-5，工人师傅在加工此垫模时，需计算斜角α的度数，已知AC＝140mm，BD＝83mm，AE＝124mm，FG＝150mm，试求α的度数.（精确到0.1°）图28-2-1-57.如图28-2-1-6，在山坡上种树，要求株距（相邻两树之间的水平距离）是5.5米.测得坡角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少?（精确到0.1米）图28-2-1-68.如图28-2-1-7，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并保持坝顶宽度不变，但被水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5（有关数据在图上已注明）,求加高后的坝底HD的长为多少？图28-2-1-79.如图,由D点测得塔基A点和塔顶B点的仰角分别为30°和54°30′,已知塔基高出地平面35米,求塔高AB.(精确到0.1米)图28-2-1-810.如图28-2-1-9，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB.当太阳光与水平线成50°时,测得该树在斜坡上的树影BE的长为7m,求树高.(精确到0.1m)图28-2-1-9参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.在△ABC中，∠C=90°，且已知b和∠B，下列求c的表达式正确的是()A.c=bcosBB.c=bsinBC.c=D.c=解析：根据sinB=,可得C正确.答案：C2.用计算器计算下列函数值:（1）sin25°=___________；(2)sin78°41′21″=___________；（3）cos25°=___________；(4)cos78°41′21″=___________；（5）tan28°=___________；(6)tan58°41′21″=___________.解析：本题练习使用计算，目的是熟悉用计算器求三角函数值的方法.答案:略.3.比较上题中（1）与(2)、（3）与（4）、（5）与（6）的值，你会发现锐角越大,正弦值______________、余弦值______________、正切值______________.解析：通过比较sin25°和sin78°41′21″的大小可以知道锐角大小与其正弦值大小的关系；或者根据已知的特殊角如sin30°与sin60°的大小关系也可得出结论.sin30°=,sin60°=,可见锐角越大，正弦值越大；同理，锐角越大，余弦值越小，正切值越大.答案：越大越小越大二、课中强化(10分钟训练)1.若sinα＜cosα,则锐角α的取值范围是()A.α＜60°B.45°＜αC.α＜45°D.不能确定解析：当α=45°时，sinα=cosα，而正弦值随锐角α的增大而增大，余弦值随锐角α的增大而减小，故C正确.答案：C2.∠α,∠β为锐角,若∠α＞∠β，则sinα______________sinβ,cosα_______cosβ,tanα____tanβ.(填=、＞或＜＝)解析：运用三种函数值与锐角的变化规律来解本题.答案：＞＜＞3.如图28-2-1-1，一条铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB＝m.图28-2-1-1图28-2-1-2解析：如图,作等腰梯形的高DE、CF，把AB分成三段AE、EF、FB，利用坡度可以求得，AE=BF=12.∴AB=34.答案：344.如图28-2-1-2，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如果已知∠A和c，写出求其他的边和角的式子；（2）如果已知a,b，写出求其他的边和角的式子；（3）如果已知b,∠A，写出求其他的边和角的式子；（4）如果已知a,∠A，写出求其他的边和角的式子.解：在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)∵sinA=,∴a=c·sinA.∵cosA=,∴b=c·cosA.∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A.(2)∵tanA=,查表求出∠A,∴∠B=90°-∠A.c=(或c=).(3)∵tanA=,∴a=b·tanA.∵cosA=,,∴c=或(c=).∴∠B=90°-∠A.(4)∵sinA=,∴c=.∵tanA=,∴b=a,∠B=90°-∠A.5.如图28-2-1-3，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=8°14′，已知观察所A的高AC=41.11米，求观察所A到船只B的水平距离BC.（精确到1米）图28-2-1-3解：根据题意,得∠B=α=8°14′,在Rt△ABC中，AC=41.11,∴BC=≈284（米）.答:284米.三、课后巩固(30分钟训练)1.若锐角∠A>45°，cosA的值()A.cosA＜B.cosA＞C.cosA＜D.cosA＞解析：根据余弦函数特点，锐角越大,值越小，∴A正确.答案：A2.若有意义，则锐角α的取值范围是()A.30°≤α<90°B.0°<α≤30°C.60°≤α<90°D.0°<α≤60°解：∵2cosα-1≥0,∴cosα≥.∴选D.答案：D3.如图28-2-1-4，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=，则BC的长是________________.图28-2-1-4解析：由cos∠BDC=知，设CD=3k,BD=5k,又∵BD=AD，∴AD+CD=3k+5k=8k=8k=1.∴CD=3cm.∴BD=5cm.∴BC=4cm.答案：4cm4.如果∠A+∠B+∠C=180°,那么cos的值等于______________.解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-(∠A+∠B).∴cos=cos=cos(90°-)=sin.答案：sin5.在△ABC中,∠C=90°,a=,b=,求c，∠A.解：在Rt△ABC中,b=，a=,由勾股定理,得c=;tanA=,∴A=30°.6.如图28-2-1-5，工人师傅在加工此垫模时，需计算斜角α的度数，已知AC＝140mm，BD＝83mm，AE＝124mm，FG＝150mm，试求α的度数.（精确到0.1°）图28-2-1-5解：BC=BD-(FG-AE)=57.在Rt△ABC中，tanα=≈0.4071，∴α≈22.2°.7.如图28-2-1-6，在山坡上种树，要求株距（相邻两树之间的水平距离）是5.5米.测得坡角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少?（精确到0.1米）图28-2-1-6解：在Rt△ABC中，∠A=24°，AC=5.5,∴AB=≈6.0（米）答:斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.0米.8.如图28-2-1-7，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并保持坝顶宽度不变，但被水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5（有关数据在图上已注明）,求加高后的坝底HD的长为多少？图28-2-1-7解：由题意,得MN=EF=3.2+2=5.2,NF=6.在Rt△HNM与Rt△EFD中，MN∶HN=1∶2.5,EF∶FD=1∶2.∴HN=13,DF=10.4.∴HD=HN+NF+FD=29.4(米).答：加高后的坝底HD的长为29.4米.9.如图,由D点测得塔基A点和塔顶B点的仰角分别为30°和54°30′,已知塔基高出地平面35米,求塔高AB.(精确到0.1米)图28-2-1-8解：在Rt△ADC中,AC=35,∠ADC=30°,∴CD=≈60.6(米).在Rt△CDB中,∠BDC=54°30′,∴BC=CD·tan54°30′≈85.0（米）.∴AB=BC-AC=50.0(米).答：塔高AB是50米.10.如图28-2-1-9，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB.当太阳光与水平线成50°时,测得该树在斜坡上的树影BE的长为7m,求树高.(精确到0.1m)图28-2-1-9解：过光线与斜坡的交点E，作ED⊥AB,垂足为D点，由题意,得∠BED=15°,∠AED=50°,在Rt△EDB中，BE=7,∴DE=BE·cos∠BED≈6.76(米),BD=BE·sin∠BED≈1.81(米).在Rt△AED中,∠AED=50°,∴AD=DE·tan∠AED≈8.10(米).∴AB=AD-BD≈6.3（米）答：树高是6.3米.28.2解直角三角形阶段性反馈测试一、达标训练1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=ccosBB．b=atanBC．a=csinAD．a=bcotB2．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）A．B．C．D．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，cosB=，则斜边c长为（）A．6B．4C．D．4．两条宽度均为40米的公路相交成α角，则两条公路相交的公共面积为（）A．C．1600sinαD．800sinα5．某落地钟钟摆的摆长为0.5米，来回摆动的最大夹角为60°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a米，最大高度为b米，则b-a等于（）A．B．-C．+D．-6．测量底部可以到达的山高AB，可选择与B点在同侧同一直线上的两点C，D，测得CD=50米，在C点测得山顶A的仰角为45°，在D点测得山顶A的仰角为30°，则山高AB等于（）A．50（）米B．25（+1）米C．25（-1）米D．50（-1）米7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，那么BC=_______．8．在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°，甲、乙两地同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西_______．9．如图1，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80m，那么点B离水面的高度BC的长为______m．图1图2图3图410．如图2，小亮在操场上距离旗杆AB的C处用测角仪测得旗杆一顶端A的仰角为30°，已知BC=9m，测角仪的高CD为1.2m，那么旗杆的高为______m．（结果保留根号）11．学校校园内有块如图3所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园至少需要投资______元．12．如图4，甲、乙两楼的楼间距AC为10米，某人在甲楼楼底A处测得乙楼的楼顶B的仰角为60°，在乙楼楼底C处测得甲楼楼顶D的仰角为45°，则甲楼比乙楼矮_____米．（结果保留两个有效数字）13．如图，一货轮自西向东航行，上午8时到一座灯塔P的南偏西60°，距灯塔68海里的M处，12时到达这座灯塔的南偏东60°的N处，求货轮的航行速度．14．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底上CB=5米，迎水面坡度为1：，背水面坡度为1：1，坝高为4米，求：（1）坝底宽AD的长；（2）迎水坡CD的长；（3）坡角α、β．15．在四边形ABCD中，∠C=120°，∠B=∠D=90°，CD=3，BC=12，试求四边形ABCD的面积．16．某数学兴趣小组利用树影测量树高，已测出树AB的影长AC=9米，并测出此时太阳光线与地面成30°的夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）二、中考链接17．（2008，湖北襄樊）如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测处旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°，若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的距离为______米．（结果保留根号）18．（2008，湖北荆门）如图，山脚下有棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50米，到达点D，用高为1.5米的测角仪CD，测得树顶的仰角为10°，已知山坡坡角为15°，求树AB的高．（精确到0.1米）三、拓展思维19．如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的目的地B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，接到气象部门的通知，一台风中心正以40海里/小时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）都会受到影响．（1）B处是否会受到台风的影响？请说明理由；（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果保留根号）

答案:一、1．A2．A3．A点拨：cosB==，又∵a=4，∴c=6．4．A点拨：公共部分为菱形，菱形边长为：5．D点拨如图所示．∵摆长为0.5米，∴OA=，∴b-a=0.5-，∴b-a=（-）米．6．B点拨：设AB=a，∵∠BCA=45°，∴BC=a，∴tan∠ADB=，∴a=25（+1）米，∴AB=25（+1）米．7．88．48°9．4010．（3+1.2）点拨：过D点作DE⊥AB于点E，∴AE=3m，∴AB=（3+1.2）m11．6750元点拨：先作出三角形的高，并求出高，再根据高求出面积．12．7.3点拨：利用三角函数求得AD=10，BC=10，∴BC-AD=10-10≈7.3（米）．13．过P点作PA⊥MN于点A．∵∠MPA=60°，∠NPA=60°，MP=68，利用三角函数可求得MA=34，NA=34海里，∴MN=68海里，∴速度为68÷4=17（海里/时）．14．（1）过C点作CE⊥AD交AD于点E，过B作BF⊥AD交AD于点F．∴tana=，∴DE=4，同理可得AF=4，∴AD=（9+4）米．（2）8米（3）α=30°，β=45°．15．延长BC，与D的延长线交于点E．∵∠BCD=120°，∴∠DCE=60°，在Rt△CDE中，CD=3，∠DCE=60°，∴∠E=30°，EC=，∴EC=6，∵BC=12，∴BE=12+6=18．在Rt△ABE中，∠E=30°，BE=18，则AB=6，S△ABE=18×6×=54，S△CDE=ED×CD×=3×3×=，S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=54-=．16．（1）约5.2米（2）当树身在倒下过程中与太阳光线垂直时，树影最长，设太阳光与地面交于点F，树顶为E，树底为A，∠F=30°，∠AEF=90°，已知树高3米，影长AF=≈10.4米，所以树影的最大长度约为10.4米．二、17．10+3点拨：过点C作AB的垂线分别构造两个直角三角形求解．18．延长CD交PB于点F，则DF⊥PB，∴DF=BDsin15°≈50×0.26=13，∴CE=BF=BDcos15°≈50×0.97=48.5，∴AE=CE·tan10°≈48.5×0.18=8.73，∴AB=AE+CD+DF=8.73+1.5+13=23.2（米）．三、19．（1）如图，过B点作AC的垂线，垂足为点D．AB=20×16=320海里，∠BAC=30°，∴BD=160海里，160<200，所以会受台风影响．（2）在Rt△ADB中，AB=320，BD=160，则AD=160，要使卸货不受台风影响，则必须在点B距台风中心第一次为200海里前卸完货，如图，BE=200，在Rt△BDE中，DE=120海里，则AE=160-120，台风速度为40海里/小时，则时间t==4-3，所以为避免受到台风影响，该船应在（4-3）小时内卸完货．28.2解直角三角形综合训练（检测时间：60分钟满分：100分）班级_______姓名________得分_______一、选择题（每题4分，共28分）1．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏西27°，那么从A观测此时C处的方向为（）A．南偏东27°B．东偏西27°C．南偏东73°D．东偏西73°2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，且3a=4b，则∠A的度数是（）A．53.7°B．53.13°C．53°13′D．53°48′3．如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）A．1：B．3：C．1：3D．3：14．若等腰△ABC的底边BC上高为2，cotB=，则△ABC的周长为（）A．2+B．1+2C．2+2D．4+5．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们体会到了国旗的神圣，某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法，在地面距杆脚5米远的地方，他用测倾器测得杆顶的仰角为α，且tanα=3，则杆高（不计测倾器高度）为（）A．10mB．12mC．15mD．20m6．如图1所示，在锐角△ABC中，BE⊥AC，∠ADE=∠C，记△ADE的面积为S1，△ABC的面积为S2，则=（）A．sin2AB．cos2AC．tan2AD．cot2A(1)(2)(3)7．已知楼房AB高50m，如图2所示，电视收视塔塔基距楼房房基的水平距离BD为50m，塔高DC为m，则下列结论正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔顶俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°二、填空题（每题4分，共20分）8．斜皮的坡角是1：，则坡角α=______，如果水平宽度是2米，那么它的铅直高度是_______．9．如图3所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为________．10．从位于A处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600m的B处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向的C处，则B，C间的距离是______m．11．如图4所示，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=______．(4)(5)12．如图5所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，斜边AB在x轴上，点C在y轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），则直角边BC所在直线的解析式为_________．三、解答题（共52分）13．（6分）已知△ABC中，∠C=90°，cosA=，求cosB，tanA．14．（6分）在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，且2b=a+c（1）求∠A的正弦值．（2）当b=20时，求c值．15．（10分）某学校宏志班的同学们五．一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图，他们先在A处测得塔顶C的仰角为30°，再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请用以上数据计算塔高．（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m）16．（10分）如